第12講勾股定理及其逆定理（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問(wèn)題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊,在中，，則，，；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)；②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等；③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）.考點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】題型一、勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用例1．在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且，試判斷△AEF是否是直角三角形？試說(shuō)明理由．【變式】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為（）.A.14B.16C.20D.28例2．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.則BD的長(zhǎng)為（）.【變式】如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)且PC=BC．一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm題型二、勾股定理及其逆定理與其他知識(shí)的結(jié)合應(yīng)用例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，將Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是________________．例4.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為().A.3B.4C.5D.6【變式】如圖為梯形紙片ABCD，E點(diǎn)在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE為折線，將C折至BE上，使得CD與AB交于F點(diǎn)，則BF長(zhǎng)度為何（）.A．4.5 B．5C．5.5 D．6例5．一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE＝米時(shí)，有DC2＝AE2＋BC2．例6.某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造．測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m．現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)．【變式】“希望中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現(xiàn)可直接測(cè)量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，請(qǐng)求出這塊花圃的面積．【中考過(guò)關(guān)真題練】一、填空題1．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個(gè)花壇的面積為_(kāi)____．（結(jié)果保留）2．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為_(kāi)_________．3．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以點(diǎn)A、B為圓心畫(huà)圓．如果點(diǎn)C在⊙A內(nèi)，點(diǎn)B在⊙A外，且⊙B與⊙A內(nèi)切，那么⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是__________．4．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)位置確定的圖形，如果它的所有點(diǎn)都在一個(gè)水平放置的矩形內(nèi)部或邊上，且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖1），那么這個(gè)矩形水平方向的邊長(zhǎng)稱為該圖形的寬，鉛錘方向的邊長(zhǎng)稱為該矩形的高．如圖2，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，邊AB水平放置．如果該菱形的高是寬的，那么它的寬的值是_____．二、解答題5．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值．6．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)．7．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）連接BD，求∠DBC的正切值．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┰谥?，，，．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)矩形經(jīng)過(guò)一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)，那么我們把這個(gè)矩形叫做這個(gè)多邊形的外接矩形．如圖，矩形是正六邊形的外接矩形，如果正六邊形的邊長(zhǎng)為2，那么矩形長(zhǎng)邊與短邊的比是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）在和中，，，，，，判定這兩個(gè)三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）4．（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）如果三角形一條邊上的中線恰好等于這條邊的長(zhǎng)，那么我們稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”．在中，，若是“勻稱三角形”，那么_______．5．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)O是線段上一點(diǎn)，的半徑為1，如果與矩形的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段長(zhǎng)的取值范圍是__．6．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，那么：的值是______．7．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB=10，則它的周長(zhǎng)等于_____．8．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是__．9．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____．10．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G為等腰的重心，，如果以2為半徑的圓分別與、相切，且，那么的長(zhǎng)為_(kāi)______.三、解答題11．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖所示），已知點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上．(1)求此雙曲線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷的形狀，并求的正切值．12．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某種型號(hào)圓形車載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過(guò)滑動(dòng)A、B可以調(diào)節(jié)的高度．當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當(dāng)滑動(dòng)桿的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿的高度．(2)如圖3，當(dāng)某手機(jī)被支架鎖住時(shí)，鎖住高度與手機(jī)寬度恰好相等（），求該手機(jī)的寬度．13．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B在x軸上，（如圖所示），二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D落在線段AB上，求圖像平移后得到的二次函數(shù)解析式．14．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為的圓中，、都是圓的半徑，且，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，求的大??；(2)如果設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)，如果以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值．15．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，sinB=，點(diǎn)F在BC上，AB=AF=5，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥CB交AC于點(diǎn)E，且AE：EC=3：5，求BF的長(zhǎng)與cotC的值．16．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，拋物線過(guò)點(diǎn)B（3，0），C（0，-3），D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接BC，CD，DB，求的正切值；(3)點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，直線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使和相似，若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖①，已知梯形ABCD中，//，，，，，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，作，設(shè)射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．(1)求的度數(shù)；(2)如果射線PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（即點(diǎn)E、F與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；(3)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．【名校自招練】一．填空題（共1小題）1