第1頁（共1頁）2023年湖北省襄陽四中、五中特長生自主招生數學試卷一.單項選擇題（本題共10小題，每題5分，共50分）.1．（5分）當x＝8時，的值為（）A． B．﹣ C． D．2．（5分）若某多面體的三視圖如圖所示，則此多面體的表面積是（）A．6 B． C． D．3．（5分）從編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球中隨機取出2個，則取出球的編號互不相同的概率為（）A． B． C． D．4．（5分）荊州方特東方神畫主題樂園，于2019年9月12日在荊州盛大開園．該景點位于荊州紀南文旅區(qū)，為湖北地區(qū)規(guī)模最大、檔次最高的歷史文化主題樂園．游客要從景點C走到D，經測量∠CAB＝90°，AC＝，BD＝2CD，且AD＝20米（）米．A． B． C． D．305．（5分）x2﹣6x+8＝±k只有兩個實根，則k的取值范圍是（）A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝06．（5分）在R上定義運算：a⊕b＝（a+1）b，當1≤x≤2時，存在x使不等式2⊕mx＜4成立（）A． B． C．m≤0 D．7．（5分）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為y，觀影人數記為x（1）所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調整方案，圖（2）（3）中的實線分別為調整后y與x的函數圖象．給出下列四種說法：①圖（2）對應的方案是：提高票價，并提高成本；②圖（2）對應的方案是：保持票價不變，并降低成本；③圖（3）對應的方案是：提高票價，并保持成本不變：④圖（3）對應的方案是：提高票價，并降低成本．其中，正確的說法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．（5分）如圖，等腰直角△ABC中，A為直角頂點，E分別在線段AB和BC上，且滿足AD＝2BD，則CE：EB＝（）A．5：4 B．5：3 C．3：2 D．2：19．（5分）圓O半徑為5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，陰影部分記為Ⅱ，設Ⅰ、Ⅱ的面積分別記為S1，S2，則S1+S2為（）A． B． C． D．10．（5分）德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數y＝被稱為狄利克需函數（以下命題中的A、B、C三點均在此函數上）：①存在三個點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC為等腰直角三角形；②存在三個點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC為等邊三角形．③已知M（1，3），N（2，2），A（x1，y1），B（x2，y2）且為有理數，邊無理數，則四邊形MABN周長的最小值是．其中正確說法的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）.11．（5分）如圖，在半徑為10的圓O中，∠AOB＝90°，AC的延長線交圓O于點D，則線段CD的長為．12．（5分）如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實數k＝．13．（5分）若關于x、y的方程組無解，則實數k＝．14．（5分）如圖，已知矩形ABCD頂點A（0，0）、B（1，0）（1，2），我們規(guī)定“把矩形ABCD先關于x軸翻轉，再向x軸正方向滾動一次（無滑動），例如：第一次變換是從初始位置先翻轉至Ⅰ處，再向x軸正方向滾動至Ⅱ處．如此這樣，此時的A點坐標為．15．（5分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，點E在線段BC上運動，將△ABE沿AE翻折使點B落在B'處，則sin∠ADB'＝．16．（5分）設S＝+++…+則不大于S的最大整數[S]等于．三.解答題（本題共6小題，共70分）.17．（10分）一次函數y＝﹣x+3與的第一象限的圖象交于A，B兩點．（1）求k的取值范圍；（2）若k＝2，求此時△OAB的面積．18．（10分）（1）求值：；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．19．（12分）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是（點P不與點A、B重合），連接AP、BP、CP，CP與AB交于點D（1）求證：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，且AD：DB＝1：2．求⊙O的半徑．20．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝k1x+2與x、y軸分別交于A、B兩點，直線y＝k2x﹣1與x、y軸分別交于C、D兩點，點P（﹣6，﹣4）是這兩條直線的交點．（1）求k1和k2的值；（2）若Q是直線AB一動點（不與P重合），若△PBC和△PDQ相似時，求點Q的坐標．21．（12分）如圖所示，在平面直角坐標系中，如圖1，點A在x軸的負半軸，點C在y軸的正半軸上（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣1），C（0，2），直接寫出點D的坐標；（2）如圖2，在直線EF上有點A，分別引兩條射線AB、AC．∠BAF＝110°，射線AB、AC分別繞A點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，是否存在某時刻，使得AC與AB在同一條直線上？若存在（3）在（2）的條件下，是否存在某時刻22．（14分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣6，0），B（2，0）兩點（0，c）．（1）若此函數當﹣1≤x≤3時，函數值y的最大值是1，求a；（2）已知C（0，8）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），連接CE，設AE的長為m，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）已知c＞0，若O為△ABC的外心，平面內存在點D使得OADB四點共圓且D點關于x軸的對稱點恰好為△OAB的內心

2023年湖北省襄陽四中、五中特長生自主招生數學試卷參考答案與試題解析一.單項選擇題（本題共10小題，每題5分，共50分）.1．（5分）當x＝8時，的值為（）A． B．﹣ C． D．【解答】解：把x＝8代入得：原式＝＝＝＝﹣＝﹣．故選：B．2．（5分）若某多面體的三視圖如圖所示，則此多面體的表面積是（）A．6 B． C． D．【解答】解：由三視圖可得原多面體如圖：此多面體的表面是由3個邊長為1的正方形，3個腰為1的等腰直角三角形和1個邊長為，此多面體的表面積＝3×13+3××12+××＝，故選：B．3．（5分）從編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球中隨機取出2個，則取出球的編號互不相同的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：紅1紅2紅4紅4紅5黑8黑2黑3黑8黑5紅1（紅8，紅2）（紅1，紅4）（紅1，紅4）（紅2，紅5）（紅1，黑4）（紅1，黑2）（紅4，黑3）（紅1，黑5）（紅1，黑5）紅3（紅2，紅1）（紅6，紅3）（紅2，紅4）（紅2，紅5）（紅3，黑1）（紅2，黑4）（紅2，黑3）（紅4，黑4）（紅2，黑3）紅3（紅3，紅3）（紅3，紅2）（紅4，紅4）（紅3，紅2）（紅3，黑1）（紅6，黑2）（紅3，黑5）（紅3，黑4）（紅6，黑5）紅4（紅7，紅1）（紅4，紅3）（紅4，紅3）（紅3，紅5）（紅4，黑2）（紅4，黑2）（紅5，黑3）（紅4，黑4）（紅4，黑5）紅8（紅5，紅1）（紅7，紅2）（紅5，紅6）（紅5，紅4）（紅7，黑1）（紅5，黑8）（紅5，黑3）（紅8，黑4）（紅5，黑3）黑1（黑1，紅7）（黑1，紅2）（黑6，紅3）（黑1，紅4）（黑1，紅5）（黑5，黑2）（黑1，黑6）（黑1，黑4）（黑4，黑5）黑2（黑5，紅1）（黑2，紅4）（黑2，紅3）（黑7，紅4）（黑2，紅5）（黑2，黑1）（黑3，黑3）（黑2，黑3）（黑2，黑5）黑6（黑3，紅1）（黑6，紅2）（黑3，紅4）（黑3，紅4）（黑4，紅5）（黑3，黑5）（黑3，黑2）（黑4，黑4）（黑3，黑6）黑4（黑4，紅2）（黑4，紅2）（黑6，紅3）（黑4，紅3）（黑4，紅5）（黑7，黑1）（黑4，黑6）（黑4，黑3）（黑3，黑5）黑5（黑6，紅1）（黑5，紅2）（黑5，紅3）（黑5，紅4）（黑5，紅7）（黑5，黑1）（黑6，黑2）（黑5，黑7）（黑5，黑4）共有90種等可能的結果，其中取出球的編號互不相同的結果有80種等可能的結果，∴取出球的編號互不相同的概率為＝．故選：D．4．（5分）荊州方特東方神畫主題樂園，于2019年9月12日在荊州盛大開園．該景點位于荊州紀南文旅區(qū)，為湖北地區(qū)規(guī)模最大、檔次最高的歷史文化主題樂園．游客要從景點C走到D，經測量∠CAB＝90°，AC＝，BD＝2CD，且AD＝20米（）米．A． B． C． D．30【解答】解：∵AC＝CD，設CD＝x，∴AC＝CD＝x，∴BC＝3x，∴＝＝＝，而∠C公共，∴△ACD∽△BCA，∴∠CAB＝90°＝∠ADC，而AC＝CD米，∴AC2＝AD3+CD2，∴3CD4＝400×3+CD2，∴CD＝10．故選：B．5．（5分）x2﹣6x+8＝±k只有兩個實根，則k的取值范圍是（）A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝0【解答】解：若x2﹣6x+6＝±k只有兩個實根，則x2﹣6x+7﹣k＝0有兩個實根，x2﹣2x+8+k＝0無實根，∴（﹣8）2﹣4（4﹣k）＞0，（﹣6）2﹣4（8+k）＜6，解得k＞1，∵x2﹣7x+8＝0時，Δ＝（﹣3）2﹣4×3×8＞0，∴x3﹣6x+8＝3只有兩個實根，故k的取值范圍是k＞1或k＝0，故選：D．方法二：∵函數y＝x4﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴拋物線y＝x7﹣6x+8開口向上，頂點為（7，∴若拋物線y＝x2﹣6x+5與直線y＝﹣k無交點，則k＞1，∵y＝x2﹣2x+8＝（x﹣4）（x﹣5），∴拋物線y＝x2﹣6x+3與x軸有兩個交點為（4，0）和（8，故x2﹣6x+3＝±k只有兩個實根，則k的取值范圍是k＞1或k＝0，故選：D．6．（5分）在R上定義運算：a⊕b＝（a+1）b，當1≤x≤2時，存在x使不等式2⊕mx＜4成立（）A． B． C．m≤0 D．【解答】解：∵2⊕mx＜4，∴7mx＜4，∵當1≤x≤2時，存在x使不等式2⊕mx＜4成立，∴m，∴m＜，故選：D．7．（5分）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為y，觀影人數記為x（1）所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調整方案，圖（2）（3）中的實線分別為調整后y與x的函數圖象．給出下列四種說法：①圖（2）對應的方案是：提高票價，并提高成本；②圖（2）對應的方案是：保持票價不變，并降低成本；③圖（3）對應的方案是：提高票價，并保持成本不變：④圖（3）對應的方案是：提高票價，并降低成本．其中，正確的說法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由圖可知，點A的縱坐標的相反數表示成本．圖（2）對應的方案是：保持票價不變，并降低成本，②正確；圖（3）對應的方案是：提高票價，并保持成本不變，④錯誤．故選：C．8．（5分）如圖，等腰直角△ABC中，A為直角頂點，E分別在線段AB和BC上，且滿足AD＝2BD，則CE：EB＝（）A．5：4 B．5：3 C．3：2 D．2：1【解答】解：過B作BN⊥AE于N，∵等腰直角△ABC，AE⊥CD，∴AC＝AB，∠ACD＝∠BAE＝90°﹣∠EAC，∴△ACM∽△DCA，∴，∵AD＝2BD，∴AC＝AB＝3BD，∴，∵BN⊥AE，∴∠CAD＝∠N＝90°，∴△ACM≌△BAN，∴AM＝BN，∴，∵AE⊥CD，BN⊥AE，∴∠CME＝∠N＝90°，∴△CEM∽△BEN，∴，故選：C．9．（5分）圓O半徑為5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝5，陰影部分記為Ⅱ，設Ⅰ、Ⅱ的面積分別記為S1，S2，則S1+S2為（）A． B． C． D．【解答】解：作OE⊥AB，垂足為E，垂足為點F、OC，由垂徑定理可得：BE＝＝，CF＝，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴OF＝OE，在Rt△OBE和Rt△OCF中，由勾股定理得：OE＝OF＝＝，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴∠BOC＝360°﹣2×60°﹣90°＝150°，∴S扇形BOC＝＝，S△BOE＝＝，S空白＝S正方形+2S△BOE+S扇形BOC＝+2×+＝++，∴S1+S2＝25π﹣﹣﹣＝．故選：B．10．（5分）德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數y＝被稱為狄利克需函數（以下命題中的A、B、C三點均在此函數上）：①存在三個點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC為等腰直角三角形；②存在三個點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）使得△ABC為等邊三角形．③已知M（1，3），N（2，2），A（x1，y1），B（x2，y2）且為有理數，邊無理數，則四邊形MABN周長的最小值是．其中正確說法的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①當A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y5）不共線，即A、B、C三點中有兩點在直線y＝0上，或者一點在直線y＝0上，兩點在直線y＝7上，不妨設A（x1，y1），B（x7，y2）在直線y＝0上，C（x2，y3）在直線y＝1上，則A（x2，0），B（x2，8），C（x3，1），且x4、x2為無理數，x3為有理數，若△ABC為等腰直角三角形，則C必為直角頂點，即，|x1﹣x2|＝7，當x1、x2為無理數時，x8也為無理數，故①錯誤；②同理，不妨設A（x1，y1），B（x6，y2）在直線y＝0上，C（x5，y3）在直線y＝1上，則A（x7，0），B（x2，3），C（x3，1），且x7、x2為無理數，x3為有理數，若△ABC為等邊三角形，則，，可令，，x7＝0，故②正確；③由題意可知，點A（x1，y3）在x軸上運動，點B（x2，y2）在直線y＝5上運動，作點N（2，2）關于x軸的對稱點N′（2，則C四邊形MABN＝MB+BA+AN+MN＝MB+BA+AN′+MN≥MN′+MN＝+，故③正確；綜上，正確的個數為2個，故選：C．二.填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）.11．（5分）如圖，在半徑為10的圓O中，∠AOB＝90°，AC的延長線交圓O于點D，則線段CD的長為3．【解答】解：過點O作OH⊥AD于H，∴AH＝DH＝AD，∵C為OB的中點，∴OC＝OB＝5，∵∠AOB＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△AOC＝OA?OC＝，∴10×5＝5OH，∴OH＝2，∴AH＝＝4，∴AD＝2AH＝4，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣3．故答案為：3．12．（5分）如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實數k＝．【解答】解：∵關于x的方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0有三個根，∵x4﹣4x2+（2+k）x﹣k＝0，∴x3﹣6x2+kx﹣x2+4x﹣k＝0，∴x（x2﹣5x+k）﹣（x2﹣3x+k）＝7，∴（x﹣1）（x2﹣4x+k）＝0，∴①x﹣1＝6，解得x1＝1；②x8﹣3x+k＝0，∴Δ＝7﹣4k＝0，即k＝，∴k的值是k＝．故答案為：．13．（5分）若關于x、y的方程組無解，則實數k＝﹣3．【解答】解：把方程組變形為，若關于x、y的方程組，則方程組無解，則直線﹣kx+y﹣2+k＝0與直線5x+y﹣5+k2＝2平行，∴＝≠，∴k＝﹣3，故答案為：﹣3．14．（5分）如圖，已知矩形ABCD頂點A（0，0）、B（1，0）（1，2），我們規(guī)定“把矩形ABCD先關于x軸翻轉，再向x軸正方向滾動一次（無滑動），例如：第一次變換是從初始位置先翻轉至Ⅰ處，再向x軸正方向滾動至Ⅱ處．如此這樣，此時的A點坐標為（3035，0）．【解答】解：經過1次變換后，A的坐標為（1，經過5次變換后，A的坐標為（4，經過3次變換后，A的坐標為（4，經過4次變換后，A的坐標為（6，經過3次變換后，A的坐標為（7，經過6次變換后，A的坐標為（10，……，3次為一個周期，∵2023÷4＝505……3，505×6＝3030，3030+5＝3035，∴經過2023次變換后，此時的A點坐標為（3035，故答案為（3035，0），）．15．（5分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，點E在線段BC上運動，將△ABE沿AE翻折使點B落在B'處，則sin∠ADB'＝．【解答】解：在?ABCD中，AB＝3，∴AD＝BC＝5，以A為圓心，AB為半徑作圓，∴AB′＝AB＝5，當DB′與⊙A相切時，∠ADB′達最大值，此時AB′⊥DB′，∴sin∠ADB'＝＝，故答案為：．16．（5分）設S＝+++…+則不大于S的最大整數[S]等于2014．【解答】解：1++＝＝＝＝＝＝，∴＝＝1+﹣．∴S＝+++…+＝1+7﹣+3+﹣﹣+??????+5+﹣＝2015﹣，∴不大于S的最大整數[S]等于2014．故答案為：2014．三.解答題（本題共6小題，共70分）.17．（10分）一次函數y＝﹣x+3與的第一象限的圖象交于A，B兩點．（1）求k的取值范圍；（2）若k＝2，求此時△OAB的面積．【解答】解：（1）∵一次函數y＝﹣x+3與的第一象限的圖象交于A∴﹣x+3＝，即x2﹣3x+k＝2有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣3）2﹣8k＞0，∴k＜；（2）設直線y＝﹣x+3與x軸的交點為點C，如圖，在直線y＝﹣x+3中，令y＝8，∴C（3，0），解得或，∴A（4，2），1），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×3×4+．18．（10分）（1）求值：；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝＝﹣2；（2）∵x4﹣x﹣1＝0，∴x7＝x+1，x2﹣x＝3，∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝﹣1．19．（12分）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是（點P不與點A、B重合），連接AP、BP、CP，CP與AB交于點D（1）求證：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，且AD：DB＝1：2．求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵四邊形APBC是⊙O的內接四邊形，∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；∵CM∥BP，∴∠M+∠APB＝180°，∴∠M＝∠ACB；又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC，∴∠M＝∠BPC；在△ACM與△BCP中，，∴△ACM≌△BCP（AAS）；（2）解：過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，連接OB，DT⊥PB于點T．∵∠APC＝∠BPC＝60°，DT⊥PB，∴DT＝DK，∴＝＝＝，∴＝，∵PA＝8，∴PB＝2，∵∠APC＝∠BPC＝60°，∴∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴PQ＝PB＝1，在Rt△BPQ中，BQ＝＝，在Rt△AQB中，AB＝＝＝，∵△ABC為等邊三角形，∴AN經過圓心O，∴BN＝AB＝，∴AN＝＝，在Rt△BON中，設BO＝r﹣r，∴（）2+（﹣r）7＝r2，解得：r＝．即⊙O的半徑為．20．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝k1x+2與x、y軸分別交于A、B兩點，直線y＝k2x﹣1與x、y軸分別交于C、D兩點，點P（﹣6，﹣4）是這兩條直線的交點．（1）求k1和k2的值；（2）若Q是直線AB一動點（不與P重合），若△PBC和△PDQ相似時，求點Q的坐標．【解答】解：（1）將點P的坐標代入兩個函數表達式得：，解得：，即k1和k3的值分別為：1、；（2）由（1）知，直線AB的表達式為：y＝x+2①x﹣1，則點A、B、C、D的坐標分別為：（﹣2、（7、（2、（0，則PB＝，PD＝；當△PQD∽△PBC時，則BD∥BC，由點B、C的坐標得，則直線QD的表達式為：y＝﹣x﹣3②，聯立①②得：x+2＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣，則點Q（﹣，）；當△PQD∽△PCB時，則，即，解得：PQ＝4，由直線AB的表達式知，其和x軸的夾角為45°，則xQ﹣xP＝5，則xQ＝﹣3，即點Q（﹣1，1），綜上，點Q的坐標為：（﹣，，1）．21．（12分）如圖所示，在平面直角坐標系中，如圖1，點A在x軸的負半軸，點C在y軸的正半軸上（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣1），C（0，2），直接寫出點D的坐標；（2）如圖2，在直線EF上有點A，分別引兩條射線AB、AC．∠BAF＝110°，射線AB、AC分別繞A點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，是否存在某時刻，使得AC與AB在同一條直線上？若存在（3）在（2）的條件下，是否存在某時刻【解答】解：（1）點D的坐標（1，1），理由：如圖8，作BE⊥x軸于E，DF⊥CF，∵A（﹣3，0），﹣5），2），∴E（﹣2，5），∴AE＝﹣2﹣（﹣3）＝4，BE＝0﹣（﹣1）＝6，∵CF∥x軸，∴∠FCD+∠ACD+∠CAE＝180°，由平移得CD∥AB，CD＝AB，∴∠EAB+ACD+∠CAE＝180°，∴∠FCD＝∠EAB，∴△FCD≌△EAB（AAS），∴CF＝AE＝1，DF＝BE＝1，∴F（2，2），∴D（1，2）．（2）存在某時刻，使得AC與AB在同一條直線上，如圖2，∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝170°，當AC與AB在同一條直線上，且AC在直線EF的左側時，解得t＝5；當AC與AB重合時，則3t＝t+（360﹣170），解得t＝95，綜上所述，存在某時刻，時間t為5秒或95秒．（3）存在某時刻，使得射線AC平分∠EAB，如圖2，∠CAE＝180°﹣∠CAF＝120°，如圖8，AC平分∠EAB，∴70+t＝2（3t﹣120），解得t＝62，∴存在某時刻，使得射線AC平分∠EAB．22．（14分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣6，0），B（2，0）兩點（0，c）．（1）若此函數當﹣1