江蘇省南通市通州高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中

沖刺考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.cos2150-sin215°=()

2.已知。=(4,2),則與&垂直的單位向量的坐標(biāo)為()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鷲齊

飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)A,

B,C處測(cè)得閣頂端點(diǎn)P的仰角分別為30,6045，且4?=8c=75米，則滕王閣的

高度0P=()米.

29V15

D.

2

5.已知cos(a+工)=-^^TT

則sin(2a——)=)

6106

492424

A.-竺B.D.

50502525

6.在矩形A8C。中，已知OC=3OE，BF=^BC,|AE|=V3,|AF|=A/6,則AC.8O=

（）

277

A.-----B.—7C.—9D.—

82

7.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.已知從-2屏csinA+c?=4,

且a=2,則△ABC面積的最大值是（）

A.4-2石B.6C.2+石D.

2

8.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2,6+c=26,且4ABC

的面積為誣，則ARAC=（）

2

A癡R2「30376

A?----D.n

4444

二、多選題

9.下列有關(guān)向量命題，不正確的是（）

A.若則”〃B.已知cwO，&ac=b-c9則a=〃

C.若a=Ab=c，則。=cD.若a=b，則|〃|=|勿且

10.設(shè)復(fù)數(shù)z=U"D,則（）

l+i

313_5,

A.z的虛部為:B.元=-：+：iC.z-z=-D.z3=1

222

11.已知函數(shù)/（x）=2sinx+cosx+l,對(duì)VxeR,均有f（藥）4/（力4/（々）,則（）

A./（3）-/伍）=-2石B./（內(nèi)）+/（%2）=2

._25/5._275

Cr.sinXj------nD.sin又1=~~~

12.在ABC中,角A,3,C對(duì)邊分別為a,A,c,設(shè)向量/n=（cM+b）,zi=?c）,且機(jī)//〃，

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.A=2BB.C=2A

C.1<-<2D.若ABC的面積為U,則C=9

a42

三、填空題

13.菱形A3c。中，n=(-2,火)，訪=(2,2-3)，則實(shí)數(shù)女的值為

14.在二ABC中，已知tanA+tan3+GlanAtan8=>/5,則C=

試卷第2頁，共4頁

15.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且°=豆，A=60,若三角

形有且只有--解，則b的取值范圍為.

16.在AABC中，A號(hào)，點(diǎn)。在邊BC上，ADAC=O,若的面積為46，則

4。的最大值為.

四、解答題

17.設(shè)i為虛數(shù)單位，aeR,復(fù)數(shù)z=2+ai,z2=4-3i.

⑴若是實(shí)數(shù)，求a的值；

(2)若五是純虛數(shù),求4+z?.

z2

18.已知a=(2,—1),b=(3,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若1=(5,f),(2a+c]//b,求實(shí)數(shù)f的值；

⑵若ma+b與-a+8的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(2x+1)+百sin?X-A/3COS2X~~.

⑴求函數(shù)〃x)的最小值；

⑵若吃€且/(%)=等-g，求8s2%的值.

20.在,ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin?C+cos2B=sinAsinC+cos2A.

⑴求3；

TT

(2)若C=§,b=2,。為BC的中點(diǎn)，在AO上存在點(diǎn)。，使得O8-OC=1，求sin/OCA

的值.

21.如圖，一幅壁畫的最高點(diǎn)A處離地面4米，最低點(diǎn)B處離地面2米.正對(duì)壁畫的是

一條坡度為1:2的道(坡度指斜坡與水平面所成角的正切值)，若從離斜坡地面1.5米的

C處觀賞它.

(1)若C對(duì)墻的投影(即過C作A8的垂線，垂足為投影)恰在線段AB(包括端點(diǎn))上，求點(diǎn)

C離墻的水平距離的范圍；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C離墻的水平距離為多少時(shí)，視角仇NAC8)最大？

22.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知串二=盧々.

(1)試判定△ABC的形狀，并求sinA+sin8的取值范圍；

(2)若不等式d2(b+c)+6(c+a)+c2(a+b)Nk版,對(duì)任意的a,b,c都成立,求實(shí)數(shù)&

的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】利用二倍角公式，化簡(jiǎn)求值.

【詳解】cos215-sin215=cos2xl5=cos30

2

故選：C

2.C

+2〃=0

【分析】設(shè)與。垂直的單位向量坐標(biāo)為（八〃），由題意得可得求得m,n的值,

[yjm2+n2=1

即可得答案.

【詳解】設(shè)與〃垂直的單位向量坐標(biāo)為（W）,

故選：C

3.C

【分析】根據(jù)正弦定理及充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由正弦定理‘一=」一,所以3>C=A>c=sin3>sinC,

sinAsinB

故選：C.

4.B

【分析】設(shè)08=/?,由題意可求得OP=百人，OA=3h,OC=?,在△OBC中，

OC-=OB-+BC2-2OB-BC-cosZOBC,在,OAB中，

Ofic=OB2+AB2-2OB-AB-cosZOBA,因?yàn)?$/03。+85/0朋=0,所以兩式相加可解

得h,即可得出OP.

【詳解】設(shè)08=〃，因?yàn)镹P8O=60"，則OP=O8tan60"=G〃，

因?yàn)镹PAO=30°,/PCO=45°,

?OP勒“

「匚?OA=------7=—尸=3hOP/T.

所以tan30V3，。。=---*=<3h,

—tan45

3

答案第1頁，共13頁

在△08C中，OC?=OB2+BC2-2OB-BC-cosAOBC,HP3/z2=/j2+752-2x75〃cosNOBC，

在中，OA2=OB2+AB2-2OB-AB-cosAOBA,即9力？=層+752—2x75〃cosNOBA,

②

因?yàn)镹OBC+ZOBA=it,貝IcosZOBC+cosZOBA=0,

所以①?兩式相加可得：12〃2=2〃2+2X752,解得：h=l5小,

則OP=J5/?=15而.

故選：B.

5.D

【分析】將a+￡看成整體，轉(zhuǎn)化sin(2a-a=-cos[2(a+S)],然后利用二倍角整體代換,

求解即可.

【詳解】cos(a+—)=,sin(2cr~~)=si*1+=-cos2a+—

6100I6

cos2(a+—)=2cos2(a+—)-1=--,

_6J625

jr24

所以sin(2a-》=三,

625

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求出AB,AD的長(zhǎng)度，然后用基地向量48,A。表示AC,BD，即

可求解.

【詳解】AE=-AB+AD,AF=AB+-AD

33

2(\V1.222212,

AE=-AB+AD=-AB+AD=3,AF=AB+-AD=6,

U)99

所以A。21,Ah八

8080

又.AC=AB+AD,BD=AD-AB

22

AC.BD=(AD+AB)(AD-AB)=AD-AB=^-^=-^.

故選:A

答案第2頁，共13頁

7.C

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可知2反8sA=2&csinA,可得A=g,由正弦定理可得

6

b=4sin8,c=4sinC=4sin(^-8),所以S八膨二；bcsinA=4sinBsin(^-8),利用三角

恒等變換化簡(jiǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】由從一2g/?csinA+/=4,且〃=2,得一2V5》csinA+c?=/,

BPb2+。2_/=2>/3^csinA，由余弦定理可知2〃ccosA=2V^/?csinA,

所以cosA=GsinA,可得tanA=X^,由Aw（。,兀），可得4=?,

36

hca2Az_

由正弦定理sin3-sinC一sinA一1一,可得〃=4sin8,c=4sinC=4sin[x~-6

所以SABC=—bcsinA=-bc=—x4sinBx4sin

244*

=4sinB—cosB+——sinB=2sinBcosB+2\/3sin2B

、22>

=sin2B-V3cos2B+>/3=2sin^2B-1j+>/3<2+^,

當(dāng)28-方=],即8時(shí)等號(hào)成立，

可得ABC面積的最大值是2+VL

故選：C.

8.B

【分析】由AA8C的面積為亞得sinA=逅，由余弦定理得8$4=竽二利用

2bebe

sin2A+cos2A=l,解得?。osA=j然后利用數(shù)量積的定義求得跟淺.

411

【詳解】因?yàn)椤鰽8C的面積為理，所以SABc=L^sinA="，則sinA="，

2ABC22be

由余弦定理得cos4=b-,=(b+c)--2bc-a2=4-bc,

2bc2bcbe

由sin?A+cos2A=1,得+f---=1,解得兒=2^,

{be)\be)4

答案第3頁，共13頁

“k4-be5

從而cosA一=—,

be11

所以AB-AC=/>ccosA=—x—=—

4114

故選：B.

9.AB

【解析】根據(jù)向量的模，數(shù)量積，向量相等的概念判斷各選項(xiàng).

【詳解】向量由兩個(gè)要素方向和長(zhǎng)度描述，A錯(cuò)；若且與c垂直，結(jié)果成立，但。不

一定等于匕，B錯(cuò)；相等向量模相等，方向相同，D選項(xiàng)對(duì).

故選：AB.

10.AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化筒，再結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部，共也復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解判斷

各選項(xiàng)即可.

因?yàn)閆=髻=泮*莖手13.

【詳解】—+—1

1+1+222

所以z的虛部為A對(duì);

故選：AC.

11.ABD

【分析】根據(jù)條件得/&）是最小值，/（電）是最大值，根據(jù)三角函數(shù)最值，結(jié)合輔助角公

式，分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】???/（%）V〃X）V/（X2），???/&）是最小值，〃毛）是最大值，

/（x）=2sinx+cosx+l=\/5sin（x+￡Z）+l,其中sina=正，cosa=^^~.

55

所以"七）=6+1,/（5）=-石+1,

所以/（不）一〃々）=一26,故A正確；/（%）+/仁）=2,故B正確；

答案第4頁，共13頁

當(dāng)Xi+a=2E-]時(shí)，/(占)是最小值，則X[=2kt-5-a,

所以sin玉=sin(2E==+=-cosa--,

故C錯(cuò)誤；

當(dāng)與+￡=2也+萬時(shí)，/(x?)是最大值，則馬=2屈+5—cr,

所以sin赴=sinIkn.+-^-a^=sin^-a^=cosa=,故D正確，

故選：ABD.

12.BC

【分析】根據(jù)向量平行得到結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化為cosC=-1+3,進(jìn)而利用正

22a

弦定理得至!|cosC=-1+；a2,化簡(jiǎn)整理即可判斷A、B選項(xiàng)；利用正弦定理及二倍角公

22sinA

式將￡轉(zhuǎn)化為2cosA,然后求出角A的范圍，進(jìn)而求出值域即可判斷C選項(xiàng)；利用

a

1w

S=-absmC=—,結(jié)合正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)整理可求得角A,進(jìn)而可以求出角C,

24

從而可以判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)橄蛄考?(c,a+0),〃=(a,c),且機(jī)///，所以/=9+句),即?2=02+a/,,

結(jié)合余弦定理得cosC="一+"二J,cosC=_'仍+b,cosC=一2+，-,

2ab2ab22a

再結(jié)合正弦定理得cosC=」+巴叱*,2sinAcosC=-sinA+sinB,

22sinA

又因?yàn)閟in5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinAcosC=-sinA+sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC-cosAsinC=-sinA,

sin(A-C)=-sinA,

sin(A-C)=sin(-A),

所以A—C=—A,故C=2A,所以B正確，A錯(cuò)誤；

￡=sinC=sin2d=2sinAcos^i因?yàn)轲奕?。，所以￡=2cosA,

asinAsinAsinAa

答案第5頁，共13頁

0<A<180

又因?yàn)?<2A<180,所以0<A<60，所以g<cosA<l,

0<180-3A<180

即1<2COSA<2,因此1<￡<2,故C正確；

a

因?yàn)镾=1a〃sinC=J,結(jié)合正弦定理［sinAsinBsinCu'sin?C,

2424

即sinAsin3=gsinC,則sinAsin(180-3A)=-^sin2A,

sinAsin3A=—sin2A,sinAsin3A=sinAcosA,sin3/4=cosA,

sin3A=sin(A+90)

則3A+A+90=180，或3A=A+90，

故A=22.5或A=45,故C=45或C=90,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.4或一1/一1或4

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即得解.

【詳解】解：由題得A"?防=-4+以4-3)=0,

所以公一3&—4=0,「./-4)伏+1)=0,/.2=4或％=—1.

故答案為：4或-1

14.120°

【分析】運(yùn)用正切的和差公式tan(A+B)=產(chǎn)，:tanB

1-tan/AtanB

［詳解］由題意可知，tanA+tanB=^(1-tanAtanB)

匚匚-ztanA+tan8A/3(1-tanAtanB)r.

明以，tan(A+8)=-----------------=------------------------=，二

1-tanAtanB1-tanAtanB

0°vA+Bvl80°,:.A+B=60

故C=180°-(4+8)=120°

故答案為:120。

15.{2}1(0,>/3］

【分析】由正弦定理得$皿=曬=當(dāng)，依題意得或

840<84608=90,進(jìn)而利用三角函

a2

數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

答案第6頁，共13頁

■ms,/-'八4丁力ab—,n"sinAbsin60b

【詳解】因?yàn)椤?6，A=60,由正弦定理二一-=—一-sinB=------=---『—=—,

sinAsinBa732

要使三角形有唯一解，則0<3460或8=9(),

所以0<sin3K立或sin8=l,即0<空且或鳥=1,

2222

解得05退或6=2,則b的取值范圍為｛2卜1（0,73].

故答案為：｛2｝（0,6].

16.瓜

【分析】先根據(jù)△A8C的面積得兒=16,再根據(jù)△A3。的面積與△AOC的面積和為4方得

人。=史叵，最后根據(jù)基本不等式求最值.

2b+c

【詳解】因?yàn)椤鰽8C的面積為4百，所以gbcsinA=4G,/.g/?csing=4G,.，.bc=16,

TT

ADAC=0>則A￡)_LAC,/5M>=2,

6

因?yàn)椤鰽BD的面積與^ADC的面積和為4G，

所以Lc-AOsin￥+，aAQ=4g,，AD=^^-

2622h+c

16731673

從而AD=<y[f>,當(dāng)且僅當(dāng)3=c=40時(shí)取等號(hào),

2b+c~2y/2bc

因此AO的最大值是指.

故答案為：V6.

17.⑴|

⑵6-；i

【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再根據(jù)z「z?是實(shí)數(shù)求得“的值;

Z.

（2）先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再根據(jù)」是純虛數(shù)求得4的值，進(jìn)而得出4+4.

Z2

【詳解】（1）z,-z2=（2+?i）（4-3i）=3o+8+（4?-6）i,

3

因?yàn)閦「z?是實(shí)數(shù)，所以4a—6=0,解得。=力

答案第7頁，共13頁

J_2+ai_(2+oi)(4+3i)_8-3a4a+6.

⑵三-4-3i-(4-3i)(4+3i)-25.25’

z.[8—3a=0g

因?yàn)椤埂鍪羌兲摂?shù)，所以L,n,解得。=>

z2[4a+6,03

所以Z1+Z2=(2+gi)+(4-3i)=6-；i.

18.(1)8

⑵(TO,-1)5-1,9)

【分析】(1)先求出2a+c、=(9,-2+f),然后由(2a+c)〃6,可得其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，從而

可求出實(shí)數(shù)r的值，

(2)求出ma+b與-a+6的坐標(biāo)，則由題意可得(%”+6).(-a+6)>0,求出機(jī)的范圍，再去

掉，w+/,與-a+6共線同向的情況即可

【詳解】(1)因?yàn)?=(2,-I),c=(5,f),

所以2〃+c=(9,-2+r).

因?yàn)?2n+c)〃人，〃=(3,2),

仁二ri9-2+1

所以；=二一，

32

所以9x2-3(-2+，)=O,解得f=8.

(2)機(jī)々+〃=(2〃z+3,—〃z+2),—a+b=(l,3).

因?yàn)閙a+b與一〃+/7的夾角為銳角

所以(ma+Z?)?(-a+Z?)>0,得2〃2+3+6-36>0,即機(jī)<9.

當(dāng)zna+力與一a+8同向時(shí)3(2〃?+3)=2—帆艮|Jm=-\.

所以當(dāng)〃m+O與一a+力的夾角為銳角時(shí)，me(-oo,-l)u(-l,9),

即實(shí)數(shù)血的取值范圍為(田,-1)5-1,9)

19.⑴-|

答案第8頁，共13頁

c、3+\lb

U)----------

6

【分析】（1）利用倍角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)/（力，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值;

(2)由cos2x()=cos，可先求出sin

-y-,代入和差的余弦公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=sin(2x+])+6sin21―Geos'x—Q

=sin2xcos—+cos2xsin-->/3cos2x~—

332

11.吟1

=—sin2x------cos2x——=sin2x----,

222I2

所以，當(dāng)sin(2x-￡|=-1時(shí)，取最小值

(2)因?yàn)?(%)=理一g,即/1(/)=sin(2x()—三)一:=*一g,所以sin(2/-乎,

.__,,571271-_7t71

因?yàn)?，所?，7c，

所以cos(2"o-1)=_J1_sin2(2x0-1)=-當(dāng),

V61V3V33+指

=----------X---------------X-------=------------------

32326

71

20.(l)?=y

23-A^

6

【分析】（1）通過同角三角函數(shù)關(guān)系式將co/B、cos2A變換成sin?8、si/A,再利用正弦

定理，將角化邊，轉(zhuǎn)換成余弦定理形式，求出C0S8.

（2）將。8℃=1變形，可求出1。。1,再求出1。。1,利用正弦定理可求出sin/OC4.

【詳解】（1）因?yàn)閟in?C+cos?8=sinAsinC+cos?4,

答案第9頁，共13頁

所以sin?A+sin?C—sin?5=sinAsinC，

HPa2+c2-b2=ac-

由余弦定理可得cosB=c-b-=L

2ac2

又5c(O㈤

故吟.

(2)OBOC=(OD+DB)(OD+DC)=OD2-\DB^DC\=l.

由題意可得"C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

則用。4=1,所以0。=拉，AO=G-&,CONCD，+0D。=#).

Anco

在“c。中，由正弦定理得忑咒

sinZC4D

^3-72y/3

即sinZOCA一丁

2

解得sinNOCA=三逅

6

21.d)[l,5]

(2)1米

【分析】(1)作CF工AB于點(diǎn)F,作C。平行于斜坡交A8于點(diǎn)。，設(shè)8尸=x(04x42),CF=y,

所以y=2。尸=2x+1,即可得出點(diǎn)C離墻的水平距離的范圍；

2n_8

(2)由tan8=tan(N8C/+NAC/9=^~^—r,因?yàn)閥=2x+l,所以“=5小

V--2x+x^3y+0

y

利用基本不等式求解即可得出答案.

【詳解】(1)作6145于點(diǎn)F,作C。平行于斜坡交48于點(diǎn)O,B￡>=2-1.5=0.5,

設(shè)BF=x(0<x<2),CF=y,

因?yàn)閠anNFCD=-=所以y=2DF=2(x+0.5)=2x+l,

因?yàn)?Vx42,所以14y45,即點(diǎn)C離墻的水平距離的范圍為[1,5].

答案第10頁，共13頁

tanZBCF+tanZ.ACF2y

(2)tane=tan(NBCF+NACF)=

1-tan/BCF-tanZ.ACFy2-2x+x2'

yy

因?yàn)閥=2x+l,所以x=\l，代入上式得

tan*2)，=__________2y__________=8

"Ax25#一6,

因?yàn)?4y45,所以5y+°—622,5門3-6=4,

)'Vy

當(dāng)且僅當(dāng)5y=2時(shí)取等號(hào)，即y=l時(shí)，取等號(hào),

y

所以0vtan6<2,

因此當(dāng)點(diǎn)C離墻的水平距離為1米時(shí)，視角仇NACB）最大.

22.（1）直角三角形，。,血］

⑵攵W3夜+2

A.A.B

cos---sin—sin—

【分析】（1）由已知條件結(jié)合二倍角公式可得一I——1=一卷，整理化簡(jiǎn)得

D

sin—+cos—cos—

222

tan住-4］=tan。，結(jié)合角的范圍得；—g=g,即A+8=］可得AABC是以NC為直

<42J24222

角的直角三角形；由sinA+sin8=sinA+cosA=&sin（A+：）,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得

sinA+sin3的范圍；

(2)a=csmAfh=ccosA,所以原不等式等價(jià)于AK--------------------------^對(duì)任

abc

,,,1+sinAcosA(sinA+cosA)+sinA+cosA..

意的mb,c均成立，因?yàn)橛疫?-----------J---------------------，令，=sinA+cosA,

sinAcosA

則右邊=言+(/-1)+1,令“=g(“)=a+]+l,利用函數(shù)的單調(diào)性可求

得答案.

答案第11頁，共13頁

2A.2Ac.BB

cos-sin2sincos

cosAsinB2222

【詳解】（1）因?yàn)?所以一7--------:

1+sinA1+cosB.->2,A.AAB

sin"—+cos+o2sin—cos—l+2cos9~----1

22222

c.BB

2sincos

2222

所以22

sin4+cos$*2B

20cos2一

222

因?yàn)锳,Bc(0,w),所以《，與€(0,口71，所以sinAg+cos與BwO,B