培優(yōu)拓展雙變量問題的轉(zhuǎn)化在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題時,我們經(jīng)常會遇到在某個范圍內(nèi)都可以任意變動的雙變量問題,由于兩個變量都在變動,因此不知把哪個變量當(dāng)成自變量進行函數(shù)研究,從而無法展開思路,造成無從下手的感覺,正因為如此,這樣的問題往往穿插在高考試卷壓軸題的某些步驟之中,是考生感到困惑的難點問題之一,這時針對不同的題設(shè)條件給出處理雙變量問題的相應(yīng)策略,希望給同學(xué)們以幫助和啟發(fā).一、等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題規(guī)律方法雙變量存在性或任意性問題的基本類型與“等價轉(zhuǎn)化”策略存在性或任意性問題的基本類型等價轉(zhuǎn)化成的問題對?x1∈A,都?x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域是g(x)的值域的子集?x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立f(x)的值域和g(x)的值域的交集不為空集對?x1∈A及x2∈B,都有f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]min?x1∈A及x2∈B,使f(x1)<g(x2)成立[f(x)]min<[g(x)]max對?x1∈A,都?x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]max對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.(1)對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實數(shù)c的取值范圍;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求實數(shù)c的取值范圍;(3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求實數(shù)c的取值范圍.解

令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.x[-3,-1)-1(-1,2)2(2,3]k'(x)-0+0-k(x)↘極小值↗0↘k(-3)=45-c,k(3)=9-c,k(-1)=-7-c,k(2)=20-c,∴最大值為45-c,最小值為-7-c,(1)∵對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,∴45-c≤0,即c≥45.(2)∵存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,∴-7-c≤0,即c≥-7.(3)f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,x∈[-3,3],即有f(x)的最大值為f(-3)=147-c,g(x)=2x3+4x2-40x.g'(x)=6x2+8x-40,x∈[-3,3],可得g(x)在(-3,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增,得出g(x)的最小值為g(2)=-48,∵對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),∴147-c≤-48,即有c≥195.二、尋找兩變量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)問題例2(2022全國甲,理21)已知函數(shù)f(x)=-lnx+x-a.(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.當(dāng)0<x<1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.則f(x)min=f(1)=e+1-a.要使得f(x)≥0恒成立,即滿足f(x)min=e+1-a≥0,∴a≤e+1.故a的取值范圍為(-∞,e+1].規(guī)律方法求二元函數(shù)的最小值或證明二元的某種關(guān)系,通過二元之間的關(guān)系或二元之間的函數(shù)的關(guān)系,運用轉(zhuǎn)化的思想進行消元,化歸為熟悉的一元問題,再通過研究一元問題使原問題得到解決.對點訓(xùn)練2(2023江西贛州二模)已知函數(shù)f(x)=x2-3x+lnx.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)對于任意的x1,x2∈[1,2],當(dāng)x1<x2時,不等式x1x2[f(x1)-f(x2)]-m(x1-x2)>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.三、從雙變量問題等價變換中構(gòu)造函數(shù)求解規(guī)律方法若題設(shè)條件中含有一個雙變量的恒等式,通過對該恒等式進行等價變形,使恒等式兩邊的兩個變量對應(yīng)的代數(shù)式結(jié)構(gòu)相同,就可以構(gòu)造出一個函數(shù),從而利用此函數(shù)求解得出結(jié)論.對點訓(xùn)練3四、利用換元法將兩個變量轉(zhuǎn)換成一個變量例4(2023四川樂山二模)已知函數(shù)f(x)=aex-x2有兩個極值點x1,x2(x1<x2).(1)求a的取值范圍;(2)若ex1+(e-2)x2≥λx1x2,求λ的取值范圍.在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又由p'(1)<0,p'(e)>0,則存在t0∈(1,e),使得p'(t0)=0,當(dāng)t∈(1,t0)時,p'(t)<0,p(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(t0,+∞)時,p'(t)>0,p(t)單調(diào)遞增,又φ'(1)=0,φ'(e)>0,∴存在t1∈(1,e),使得φ'(t)=0,當(dāng)t∈(1,t1)時,φ'(t)<0,則φ(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(t1,+∞)時,φ'(t)>0,則φ(t)單調(diào)遞增,又φ(1)-φ(e)=0,∴當(dāng)t∈(1,e)時,φ(t)<0,則h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(e,+∞)時,φ(t)>0,則h'(t)>0,h(t)單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=e時,h(t)min=h(e)=(e-1)2,∴