2023-2024學(xué)年山東省青島市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知長(zhǎng)方體中，AA}=AB=2,若棱18上存在點(diǎn)P,使得口「，PC,

則的取值范圍是()

A.[1,2)B.(1,回C.(0,1]D.(0,2)

【正確答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/￡)=〃，求出。方、/，利用。：工10,求出。的范

圍.

則P(a,x,2),C(0,2,2),￡>,(0,0,0),

2尸=(a,x,2),CP=(a,x-2,0),

DFSC,

?tD.PCP^O,

Bpa2+x(x-2)=0,所以4=yj-x2+2x=y]-(x-\)2+1,

當(dāng)0<x<2時(shí)，所以-(x-l)2+le(0,l],所以ae(O,l].

故選：c.

2.已知數(shù)列｛q｝中，q=2,"『=2,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S〃=

A.3X2"—3〃一3B.5x2n-3n-5

C.3x2n-5/7-3D.5x2"—5〃一5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列｛%+3｝,再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得+3,即得數(shù)

列｛”“｝的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)分組求和法求結(jié)果并選擇.

a—3

【詳解】因?yàn)楣芤?2,所以。向=2%+3,即/+3=2(4+3),則數(shù)列｛4+為是首項(xiàng)

為％+3=5,公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為%+3=5x2-、所以%=5x2"T-3,分

組求和可得數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S“=5x2"-3/7-5.

故選B.

形如a,1+1=pan+q(p聲l,pgH0)的遞推關(guān)系式，①利用待定系數(shù)法可化為。的-

――=P(an-)>當(dāng)。1一7"*0時(shí)，數(shù)列｛。"一丁"｝是等比數(shù)列；②由。"+1=+

I-Ppp1-72

a?=P%+>”22),兩式相減,得an+t-an=p(a“-a“_》當(dāng)出一。尸。時(shí),數(shù)列S,-4｝是公

比為P的等比數(shù)列.

3.已知函數(shù)/(x)=21nx+/“(2*+2x+3,則/(1)=()

A.-2B.2C.-4D.4

【正確答案】D

【分析】先求導(dǎo)，求得了'(2)得到/(x)求解.

【詳解】解：/'(x)=2+2r(2)x+2,

則八2)=1+4/(2)+2,

解得/'⑵=7，

所以“x)=21nx-x2+2x+3,

故〃l)=T+2+3=4.

故選：D

4.如圖，已知正方體力與CQ棱長(zhǎng)為8，點(diǎn)”在棱蟲上，且平=2,在側(cè)面8CG4

內(nèi)作邊長(zhǎng)為2的正方形EFGG，P是側(cè)面8CGa內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD￡距離等于

線段P尸的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面8CG4運(yùn)動(dòng)時(shí)，陽尸「的最小值是()

A.87B.88C.89D.90

【正確答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)P在BCC、B,內(nèi)可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，作HM±BB、，連接PM,

可得HP'HM'MPZ,作「NLCG，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)，即可求得|〃尸「的范圍，即得最小值.

【詳解】根據(jù)題意，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

作，,交BB、于M,連接P/W,則印0_L尸”，

作PN1C。，交CG于N,則PN即為點(diǎn)P到平面CDDG距離.

設(shè)P（x,8,z）,則F（2,8,6）,M（8,8,6）,A^（0,8,z）（0<x<8,0<z<8）,PN=x,

?.?點(diǎn)P到平面CDD,Ct距離等于線段PF的長(zhǎng)，；.PN=PF,

由兩點(diǎn)間距離公式可得工=:（》-2）2+（2-6）2,化簡(jiǎn)得4X-4=（Z-6）2,則4x-420,可得

x>\,即14x48.

在RtAHMP中,

|叫2+物/=82+(X-8)2+(z-6)2=64+(x-8)2+4x-4=(x-6)2+88(14x48),

所以|，尸「288(當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)).

故選:B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題的解題關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通

過計(jì)算二次函數(shù)的最小值來突破難點(diǎn).

v.22

5.設(shè)廠是雙曲線C:。-方=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸向C的一條漸近線引垂線，

垂足為4交另一條漸近線于點(diǎn)8,若2加二加,則雙曲線C的離心率是()

A.及B.2C.垣D.—

33

【正確答案】C

【分析】設(shè)一漸近線。/的方程為y=設(shè)45,3”)，由2/日二而，求得點(diǎn)A

aaa

的坐標(biāo)，再由3,斜率之積等于-1,求出/=3〃，代入二包U進(jìn)行運(yùn)算.

aa

【詳解】解：由題意得右焦點(diǎn)尸(c,0),設(shè)一漸近線。/的方程為y=2x,

a

則另一漸近線0B的方程為夕=-%

'幾bm、_bn、

設(shè)A(m,—),B(zn,-----),

aa

2AF=FB，

.c/bm、.bn、

2(c-m,------)=(〃-《,---)

2bm_bn

?.2(c-m)=n-c,

a

33c

/.m=—c,n=一

42

A

生一0

由可得,斜率之積等于-1,即空一■

Ja

4

C

a1-3b2,/.c——

a

故選：C.

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,

屬于中檔題.

2

6.數(shù)列｛即｝，｛67｝滿足〃川+〃產(chǎn)0,an=bn,且如=歷=1,且｛加｝的前〃項(xiàng)和為％

11

記。=7-----，N*,數(shù)列｛s｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則S〃的最小值為()

b3nan

2「29

A.——B.——cD.-1

336-4

【正確答案】C

【分析】先求出加=〃，/，從而得到V，判斷出q<0，。2<0，G=0,當(dāng)〃24

3〃n

時(shí)，q,>0.即可求出S”的最小值.

【詳解】記｛加｝的前”項(xiàng)和為4,=氣立，所以卻尸丐組二所以

b“u=T“+「T”=%媼-氣區(qū),所以a”+b“=a,,+「a“=b”+：-b：.

因?yàn)?向+4壬0,所以黑「〃=。

所以｛加｝為b=l,公差d=l的等差數(shù)列，所以bn=n.a〃=b：=層.

--1111

所以%=1-----=0-------

4,3〃n

數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，要使S〃最小，只需把所有的負(fù)項(xiàng)都加完.

因?yàn)閝,=；^—\=~^,所以q=-3<o,c2=--l-<o,q=0,當(dāng)NN4時(shí)，cn>o.

3〃〃3〃312

所以Sn的最小值為+=

故選：C

7.已知點(diǎn)M是拋物線》2=4y上一點(diǎn)，尸是拋物線的焦點(diǎn)，C是圓(x-iy+(y-5)2=l的圓

心，則|W|+|"C|的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【正確答案】B

【分析】設(shè)拋物線f=4y的準(zhǔn)線方程為/：y=-l,過”作/的垂線，垂足為E,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

求+的最小值，在根據(jù)幾何知識(shí)得當(dāng)C,M,E在一條直線上時(shí)l"E|+|MC|有最

小值

【詳解】解：設(shè)拋物線/=”的準(zhǔn)線方程為/：y=T,C為圓(x+l)2+U-2)2=l的圓心,

所以C的坐標(biāo)為(7,2),

過M作/的垂線，垂足為E,根據(jù)拋物線的定義可知I叱1=1ME

所以問題求也/I+IMCI的最小值，就轉(zhuǎn)化為求I"E|+|MC|的最小值，

由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)C,M,E在一條直線上時(shí)，此時(shí)CE_L/,|"E|+|MC|有最小

值，最小值為CE=5_(T)=6,

故選：B.

8.在48c中，已知/=60"，。是邊8c上一點(diǎn)，且BD=2DC,AD=2,則/8C面積

的最大值為()

aV

A.如B.—,73C.2yfiD.-5/3

【正確答案】B

【分析】設(shè)/8=c/C=6.由題意34=2,N"C=6()/.則力力=c十；b,兩端平方，根據(jù)數(shù)量

積運(yùn)算和基本不等式可得即日6,當(dāng)且僅當(dāng)口'=2同時(shí)，等號(hào)成立.再由三角形面積公式可求

45c面積的最大值

【詳解】設(shè)力8=c,ZC=b.由題意卜。卜2,/84C=60",BD=2DC.

則AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-[^AC-AB)=-AB+-AC=-c+-b,

即42|漪,二面26,當(dāng)且僅當(dāng)好=54，即q=2"時(shí)，等號(hào)成立.

SABC=；麻小山/8/6?gx6xsin60"=^^,

/8C面積的最大值為^6.

故選.8

本題考查利用向量求三角形的面積，考查基本不等式，屬于中檔題.

二、多選題

9.已知直線/：J1x-y+l=O,則下列結(jié)論正確的是(〉

A.直線/的傾斜角是g

B.若直線加：x+4?>y+\=0,則

C.點(diǎn)(6,0)到直線/的距離是2

D.過(2百,2)與直線/平行的直線方程是J?x-y-4=0

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)A,根據(jù)斜率判斷即可；

對(duì)B,根據(jù)直線垂直斜率之積為-1求解即可；

對(duì)C,根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解即可；

對(duì)D,先求得出x-y+l=0的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可

【詳解】對(duì)A,直線/：6.尸1=0,直線的斜率為：百，所以直線的傾斜角為：所以

A不正確；

對(duì)B,直線加：x+島+1=0的斜率為：_也,因?yàn)橐坏┏?_\,故兩條直線垂直，所

33

以B正確；

對(duì)C,點(diǎn)(6,0)到直線/的距離是：^

2,所以C正確;

734-1

對(duì)D,6-y+l=0的斜率為百，故過(262)與直線/平行的直線方程是

^-2=V3(x-2V3),化簡(jiǎn)得百x-y-4=0正確，所以D正確；

故選：BCD.

10.若數(shù)列｛《,｝滿足q==1，%=+%.2(〃23,"eN,),則稱數(shù)列｝為斐波那契數(shù)

列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)

用.則下列結(jié)論成立的是()

A.%=13B.。|+%+牝++a20l,=a2020

C.3a?=a?-2+an+2(n>3)D.%+4+4++“2。2。=/。21

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義計(jì)算四,判斷A,由遞推公式判斷BCD.

【詳解】由題意%=2,%=3,牝=5,%=8,%=13,A正確；

“2020="2019+02018=02019+“2017+°2016==fl2OI9+fl2OI7+°3+“2=°2019+°20吊taI)

B正確：

a

a?+2=?,.+1+a?=a?+a?_,+a?=2an+a?_]f又a?_,+%=?，

所以。,”2+?！?2=m+a,i+%-a,T=%“，C正確：

a2O21=a2020+02019=°2020+°2018+^2017==°2020+。2018++

=°2020+^2018++/+牝+。|，D錯(cuò).

故選：ABC.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推公式，解題關(guān)鍵是利用遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)，對(duì)數(shù)列的項(xiàng)

進(jìn)行變形.如BD在變形以最后一項(xiàng)時(shí)要注意是哪一項(xiàng).

11.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，橢圓，+/=l(a>6>0)上存在點(diǎn)P,使得附|=2|尸閭,

其中耳、鳥分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為()

A.I

C.-D.

45

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件求出|P8I，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)|夕鳥巨。-。即可

解出.

2

【詳解】由橢圓定義，|尸片|+|尸乙|=2〃，|?片|=2|?巴|,，3|”|=2〃=>|0乙|=5〃，

2c11

由橢圓的幾何性質(zhì),\PF2\=-a>a-c=>e=—>-9又

3a33

故選：AB.

12.在直四棱柱中—中，底面45CQ為菱形,

彳/8=/D=/4=2,P為C￡中點(diǎn)，點(diǎn)。滿足

?"7、'?TF、***，、

O0=/lOC+〃Oa，aG[O』J〃e[O,l]）.下列結(jié)論正確的是（）

B.若4。平面48P,則-0+GQ的最小值為J0+3行

C.若△48。的外心為。，則1]：/。為定值2

D.若4。=近，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為|萬

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,取。的中點(diǎn)分別為M,N,由條件確定。的軌跡，結(jié)合錐體體積公

式判斷A,對(duì)于B,由條件確定。的軌跡為九W,將原問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最小

問題求解；對(duì)于C,由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D,由條件確定

點(diǎn)。的軌跡為圓弧44，利用弧長(zhǎng)公式求軌跡長(zhǎng)度即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,取。R,OC的中點(diǎn)分別為連接AM,AN,MN,DQ,則。行:2。屆

DC=2DN，MNHD\C,

??V、??V、一，，、1

因?yàn)镺Q=；lOC+〃Oa，（/le%+〃=],

所以DQ=22DN+2〃DM,24+2〃=1,

所以0,A/,N三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)。在MN,因?yàn)?c7/48,MNUD.C,所以MN"A、B,MNa

平面尸，48<=平面48尸，所以〃平面尸，所以點(diǎn)。到平面48P的距離為定值,

因?yàn)?8戶的面積為定值，所以四面體48P0的體積為定值，所以A正確,

對(duì)于B,因?yàn)锳MHBP,因?yàn)槠矫?3P,BPu平面4臺(tái)尸，所以4W〃平面4BP,

又力。平面48P，AQAM=M,力。/燈＜=平面/畫，所以平面/M?！ㄆ矫?田尸，

取AG的中點(diǎn)E,連接尸E,則PE//RC,D\C〃A\B,所以PE//&B,所以4,8,P,E四點(diǎn)共

面，所以平面力〃?！ㄆ矫?8PE,平面48PE平面。CCQ=PE,平面4/。平面

。。。百="。,所以加?！?。石，又PEHD、C,所以MQ//0C,所以點(diǎn)。的軌跡為線段MN,

翻折平面AMN,使其與五邊形MNCC、D\

在同一平面，如圖，則40+G2N4G，當(dāng)且僅當(dāng)40，G三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以“Q+GQ

的最小值為"G，因?yàn)?歷1。=60彳/18=4。=/4=2,所以AM=冊(cè),MN=e,

AN=yjAD2+DN2-2AD-DNcos\2(T=j+1-2x2xlx]#,所以

AM2+MN2=AN2,在GMN中，C、M=C、N=亞,MN=五，所以

/cMC；+MN°-NC；5+2-5M

cosZC.MN-——!---------------L=-----產(chǎn)-5==----,所以

12MC、?MN2x,x&10

sineMN=j-cos2ZQMN=今R,所以

cosNAMC、=cos(/CM+圖=-sinNC、MF=-,

在AMC｝中，AM=逐!,A/C,=>/5>cosNAMC[=,

2

^l^AC}=y)MA+MC]-IMA-MC}cos=^5+5-2x75x71-制所以

4C[=[lO+3屈，即/Q+G0的最小值為J10+3J而，

所以B正確，

EC

可AB

_________________c.

對(duì)于C,若△48Q的外心為。，過。作。于//,因?yàn)?8=^22+22=2近，所以

AXB?4。=48?(4〃+HO)=ABA、H=3AXB~=4,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,過4作4KLCQ,垂足為K,因?yàn)??！銎矫?4G2,4Ku平面481GC，

所以，&K,因?yàn)镃\D\DD\=D\,CQ,DD、u平面DD&C,所以4Kd.平面。2GC，

因?yàn)镵Qu平面。RGC，所以4K，K。，

jrTT

又在4KA中,4。=2,N4K。=5,4QK=H，

所以KZ>I=401cosy=1,4K=4￡>2畝5=百，

在4K0中，4K=6，40=近，ZA,KQ=^,所以K0=2,則。在以K為圓心，2為

半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

在。2G上取點(diǎn)4,4,使得。4=后24=1，則山3=?2=2,所以點(diǎn)。的軌跡為圓

弧44，因?yàn)椤↘=LA4=6,所以n4K4=/，則圓弧44等于子，所以D正確，

故選：ABD.

本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體積公式,

空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題.

三、填空題

13.已知空間三點(diǎn)“（0J2）,80,3,5）,C（2,5,4d）在一條直線上，則實(shí)數(shù)力的值是

【正確答案】-4

【分析】先計(jì)算/0、/d的坐標(biāo)，利用空間向量共線定理即可求解.

【詳解】因?yàn)?（0,1,2）,8（1,3,5）,C（2,5,4團(tuán),

所以/片:（1,2,3）,AC^（2,4,2-k）,

因?yàn)榭臻g三點(diǎn)4（0,1,2）,80,3,5）,C（2,5,4d）在一條直線上，

2=2

[2=2

所以即，22=4解得卜=-4

3A=2-k

所以實(shí)數(shù)火的值是-4,

故答案為.-4

14.如圖，y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線/是曲線y=/(x)在x=2處的切線，令g(x)=號(hào),

則g'(2)=.

【正確答案】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)圖像，確定八2),/'(2)的值，根據(jù)g(x)=AQ,對(duì)

X

g(x)求導(dǎo),即可求解.

【詳解】由圖像可知，"2)=3,切線過(2,3)、(0,2),/(2)=%=若3-2=：1

g(x)=^,求導(dǎo)g(幻==/(x)：-〃x)

XX2X

八2),2-7(2)

，g(2)=

222

故彳

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)％處的導(dǎo)數(shù)等于在這一點(diǎn)處的切線的斜率.

22

15.橢圓C:*+%=1(a>6>0)的右頂點(diǎn)為A,經(jīng)過原點(diǎn)的直線/交橢圓C于尸、。兩點(diǎn),

若|P0|=a,APLPQ,則橢圓C的離心率為.

【正確答案】半

【分析】設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對(duì)稱性可得1"1=等',推導(dǎo)出"04=60。，尸勺,當(dāng))，

由此能求出橢圓的離心率.

【詳解】解：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對(duì)稱性可得|0尸1=等=3

APVPQ,在RtAPOA中，cosNPQ4=罌=；,

|Cx/i|2

APOA=60°,：%*■)，

代入橢圓方程得：17+篇=1，

：.a2=5b2=5(a2-c2),整理得2a=瓜,

???離心率e=￡=2亞.

a5

故*

本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題.

四、雙空題

16.對(duì)于正整數(shù)〃，設(shè)X,是關(guān)于X的方程：("2+5月+3)/+/地/2/=1的實(shí)根，記

其中［可表示不超過X的最大整數(shù)，則4=;若"=ajsinT，S,為也｝

的前〃項(xiàng)和，則52022=

【正確答案】1506

【分析】當(dāng)”=1時(shí)，化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而可求得

令，=；,化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即得的范圍，分類

討論”為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的從而可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)"=1時(shí)，

8x2+x2log,x=l(x>0),即8+logsX--y=0,

X

4-g(x)=8+log3x-^-(x>0),

因?yàn)楹瘮?shù)y=log：x,y=--、在(0,+e)上都是增函數(shù),

X

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上都是增函數(shù),

所以4==1,

2x.

22n

方程(“2+5W+3)X+Xlog,1+2x=\f

艮［］為〃2+5〃+3+〃bg〃+2X=±,

X

BP^J-T-Mlog^x-n2-5/7-3=0,

廠

令'=；，則x“=1，

2xn2t

則有(2f)2+〃log“*22f-〃2-5〃-3=0,

令/(/)=(2，『+〃k>g,,+22t-n2-5n-3,

則函數(shù)在（0,+力）上遞增,

因?yàn)?［W^=("+］)2+〃log,1+2+1)-?

-5n-3=nlogrt+2(i+1)-3n-2<0

(“j斗=(〃+21+〃一〃?一"一3=1>0

所以于e（一，等〉使得〃。=0,

當(dāng)〃=2%-l,A:eN+時(shí)，笞則勺=乩］=無,

當(dāng)”=24,%€N+時(shí)，/?el11,則氏=乩］=左,

nTT

當(dāng)〃=2A,左EN+時(shí)，sin—=0,

所以$2022=4+4+4+仇+/好+62020+62021+”2027

=乙+4+4+^2019+%21

=al-a3+a5-a7++a2017-tz2019+a2Q2}

=（1-2）+（3-4）++（1009-1010）+1011

=-1x505+1011=506.

故1；506.

本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的問題，考查了數(shù)列新定義及數(shù)列求和的問題，綜合性很

強(qiáng)，對(duì)邏輯推理能力和數(shù)據(jù)分析能力要求很高，考查了分類討論思想，難度很大.

五、解答題

4

17.已知點(diǎn)夕在曲線歹=7二上，。為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，求。的取值范圍.

e+1

【正確答案】華,，

【分析】由題，y'=tana,求出了，結(jié)合均值不等式討論V的值域，即可求得tana的范圍,

即可進(jìn)一步求得"的取值范圍

4ex4

【詳解】函數(shù)丁=島的導(dǎo)數(shù)為"二一匹了二一；^匚；?

er

因?yàn)閐+工22、3工=2,所以e'+C+224,

e'Ve*e

所以W-LO),HPtanare[-1,0)；因?yàn)?<a<7t,所以任4。<兀，即ae—,?r].

4L4；

18.己知函數(shù)/(x)=|2x-l|+|x+2].

(1)求不等式/(x)>4的解集;

(2)若/(x)的最小值為"?，且實(shí)數(shù)4，b滿足3a-4%=2m,求("2)?+e+17的最小值.

【正確答案】(1)卜卜<-1或x>l}；(2)1.

~3x—1,xW—2

(1)先將函數(shù)解析式化為/(x)=,—x+3,—2<x<—,分別討論x<—2,-2<x<i,x>—

3x+l,x>—

2

三種情況，即可得出結(jié)果；

(2)先由(1)得到"?=|,得出34-4人5=0,根據(jù)(a-2)，(b+l)2的幾何意義，即可求出

結(jié)果.

【詳解】本題考查絕對(duì)值不等式的解法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思

想.

~3x—1,xV—2

(1)/(x)=|2x-l|+|x+2|=<-x+3,-2<x<；.

3x+l,x>—

2

,[x—2—2<x<_x>_

由/(xx)>4,可得彳_3.1>4，或j2,或j2,

〔'-x+3>43x+l>4

解得xW-2或-2vxv-l或%>1.

所以不等式的解集為{x|x<-l或X>1}

(2)由⑴易求得/(比?=/[￡|=3'<+1=：,即機(jī)g

所以3a-4b=2〃？=5,即3a-46-5=0.

（"2）2+（6+1）2表示點(diǎn)（2,-1）與點(diǎn)（°,6）的距離的平方.

又點(diǎn)S，b）在直線3x-4y-5=0上.

|2x3-4x(-l)-5|

因?yàn)辄c(diǎn)（2,-1）至U直線3x-4y-5=0的距離"==1

&+I)2

所以（"27+0+1）2的最小值為d2=1.

本題考查絕對(duì)值不等式的解法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于

中檔題.

19.如圖，在直三棱柱Z8C-4AG中，AB1AC,AB=AC=2,44=4,點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn).

（1）求證：直線5小〃平面NOG

（2）求平面/OG與平面48/所成的銳二面角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見詳解；（2）j2

UUU.

【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量48的坐標(biāo)和平

面月。￡的一個(gè)法向量，由數(shù)量積為零即可證明結(jié)論；

(2)首先求得平面與平面484的法向量，利用法向量的夾角求得二面角.

【詳解】(1)依題意得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/一平，則40,0,0),

UULL

8(2,0,0),C(0,2,0),￡>(1,1,0),4(0,0,4),0(0,2,4),所以48=(2,0,—4),

八.UUUL

設(shè)平面40。的法向量為N=(x,y,z),因?yàn)閦q=(0,2,4),

---UUUL-

所以〃〃,/C1—0,即x+y=0且y+2z=0,取z=l,得x=2,y——2>所以，及

=(2,—2,1)是平面4DG的一個(gè)法向量，

uuu11

因?yàn)?8嗎=0,且48<2平面/。。1

所以//〃平面MX；；

(2)取平面/氏心的一個(gè)法向量為1=(0,1,0),設(shè)平面NOG與平面484所成二面角的大

小為。,

由做尸斜=高=：'

7

因此平面NQG與平面所成的銳二面角的余弦值為4.

本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：

(1)一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，

要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算；

(2)設(shè)〃；；〃分別為平面a,用的法向量，則二面角。與卜"?；パa(bǔ)或相等，求解時(shí)一定要注意

結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

20.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡(jiǎn)單的四

個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方向構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹

（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第〃個(gè)圖形包含/（n）個(gè)小正方形

(1)(2)(3)(4)

(1)求”6)的值

(2)求出/(〃)的表達(dá)式

4*,X11113

⑴(3)求證：當(dāng)〃〉2時(shí)，-/-(I-)-1--/-(-2-)---1-1--/-(-3-)---1-FH--/-(-/-0---1<—2

【正確答案】(1)61；

(2)/(?)=2n2-2n+l；

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)列舉法找規(guī)律，得到/(6)的值：

(2)同樣根據(jù)列舉法找規(guī)律/(〃+1)-/(〃)=4〃，根據(jù)累加法得到了(〃)的表達(dá)式；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果，代入可得利用累加法求和，再根據(jù)數(shù)列的

單調(diào)性證明不等式.

【詳解】(1)/⑴=1,/⑵=1+4=5,〃3)=1+4+8=13,"4)=1+4+8+12=25,

7(5)=1+4+8+12+16=41,46)=1+4+8+12+16+20=61.

(2)V/(2)-/(l)=4=4xl,/(3)-八2)=8=4、2,

/(4)-/(3)=12=4x3,/(5)-/(4)=16=4x4,

由上式規(guī)律得出/(〃+l)-/(〃)=4〃.

/(〃)=/(〃)-/(〃-1)+/(〃-1)-/(〃-2)++/(3)-/(2)+/(2)-/(1)+/(1)

4（〃-1）+4（〃-2）++4x2+4xl+l

（1+（〃T））（〃1）?]

4-

2

=In2-2〃+1

1r

+H-----——

n—1n.

21.已知橢圓G：^+*l的左右焦點(diǎn)分別為耳F”雙曲線C2：m-￡=l（a>0,6>0）與

G共焦點(diǎn)，點(diǎn)N（3,J7）在雙曲線0上?

（1）求雙曲線G的方程:

（2）已知點(diǎn)尸在雙曲線G上，且/片尸6=60°,求△尸與鳥的面積.

【正確答案】（1）