高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十一校2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式得，所以，由得故選：A.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，可得，可得，解得，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.若，則（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，.故選：B.4.已知向量，，滿足，則（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得向量的夾角為，，.故選：C5.如圖，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面外一定點(diǎn)，且，直線與平面所成角為，設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則線段的長度的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，又因?yàn)?，直線與平面所成角為，取的中點(diǎn)，可得，則線段的最小值為.故選：A.6.的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)的值為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對，有，故的展開式中的系數(shù)為：，即.故選：D.7.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，其中，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，則，即，即點(diǎn)亦在圓上，圓心為，半徑，又點(diǎn)P在圓上，圓心為，半徑，故兩圓相交，即有，整理可得且，解得.故選：D.8.若對于任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式恒成立，且，分離參數(shù)得，所以，即，設(shè)，得，，設(shè)，，則.，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以.所以.故選：C.二、選擇題9.若，則下列說法正確的有（

）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗由，可得期望為，方差為，對于A中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，即，所以B不正確；對于C中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以C正確；對于D中，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可得，且，可得，所以D正確.故選：ACD.10.如圖所示的數(shù)陣的特點(diǎn)是：每行每列都成等差數(shù)列，該數(shù)列一共有n行n列，表示第i行第j列的數(shù)，比如，，則（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………AB.數(shù)字65在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn)的次數(shù)為8次C.D.這個(gè)數(shù)陣中個(gè)數(shù)的和〖答案〗AC〖解析〗對于A，C選項(xiàng)：第i行是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，所以，故A，C正確；對于B選項(xiàng)：故共出現(xiàn)7次，故B錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，令時(shí)，，而數(shù)陣中無1，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓．著名數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結(jié)論中正確的有（）A.橢圓短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C.所得橢圓的離心率D.其中為橢圓長軸，為球半徑，有〖答案〗ABC〖解析〗對A，B：過點(diǎn)作線段，分別與球、切于點(diǎn)、，由圖可知，、分別與球、切于點(diǎn)、，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以、為焦點(diǎn)，為長軸長，故B正確，由與球切于點(diǎn)，故，有，即有橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確；對C:由題意可得，則，故C正確；對D：由題意可得，，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題12.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，綜上：的解集為，故〖答案〗為：.13.在矩形中，，，分別是的中點(diǎn)，將四邊形沿折起使得二面角的大小為90°，則三棱錐的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗由題意，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體，則長方體外接球也即三棱錐的外接球，設(shè)長方體外接球半徑為R，則，得到，所以，故〖答案〗為：.14.已知在數(shù)列中，，數(shù)列的前和為，為等差數(shù)列，，則__________．〖答案〗〖解析〗為等差數(shù)列，所以設(shè)，為常數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，則（常數(shù)）.數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以，即，即，則，，，，經(jīng)檢驗(yàn)可得，則，，，.故〖答案〗為：.四、解答題15.在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的長．解：（1）在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.如圖所示，平面平面，且四邊形是矩形，在四邊形中，，，（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：連接與交于點(diǎn)，連接，，，，，即

，又，則，，，所以四邊形是等腰梯形，且，，所以四邊形是平行四邊形，又面，面，所以平面.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，且四邊形是矩形，為兩平面的交線，，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由與平面所成角為，易知面可得，所以，因?yàn)闉榈妊切?，且，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)長度為，縱坐標(biāo)長度為，，則，

，

，，設(shè)平面的法向量為，則，取，，設(shè)平面的法向量為，則，取，，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值.17.2023年12月30號，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長征系列運(yùn)載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官．某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：學(xué)生群體關(guān)注度合計(jì)關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計(jì)附：，其中．（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，求樣本容量n的最小值；（2）該市為了提高本市學(xué)生對航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識(shí)闖關(guān)比賽，包含三個(gè)問題，有兩種答題方案選擇：方案一：回答三個(gè)問題，至少答出兩個(gè)可以晉級；方案二：在三個(gè)問題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問題，都答對可以晉級．已知小華同學(xué)答出三個(gè)問題的概率分別是，，，小華回答三個(gè)問題正確與否相互獨(dú)立，則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）解：（1）學(xué)生群體關(guān)注度合計(jì)關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計(jì)零假設(shè)為：關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，因?yàn)橐罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，所以，由題可知，n是10的倍數(shù)，（2）記小華同學(xué)答出三個(gè)問題的事件分別A，B，C，則，，，記選擇方案一通過的概率為，則；記選擇方案二通過的概率為，則；，小華應(yīng)該選擇方案一.18.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．解：（1）由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）由（1）可得，連接，因?yàn)?，，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），.（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值.19.我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．（1）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)．求的值；（2）在曲線上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；（3）正項(xiàng)數(shù)