專題33概率

【專題目錄】

技巧1：概率應用的四種求法

技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性

【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小

【題型】二、簡單概率計算

【題型】三、用列舉法求概率

【題型】四、判斷游戲公平性

【題型】五、用頻率估計概率

【考綱要求】

1.了解事件的有關(guān)概念及分類.

2.理解概率的概念，并會用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率.

3.學會用頻率估計概率，并會用概率解決實際問題.

【考點總結(jié)】一、事件的有關(guān)概念

1.必然事件：

在現(xiàn)實生活中一定會發(fā)生的事件稱為必然事件.

2.不可能事件：

在現(xiàn)實生活中一定丕會發(fā)生的事件稱為不可能事件.

3.不確定事件：

在現(xiàn)實生活.中，有可能發(fā)生,也有可能丕發(fā)生的事件稱為不確定事件.

f［必然事件

確定事件《

4.分類：事件，I不可能事件

、不確定事件

【考點總結(jié)】二、用列舉法求概率

1.在不確定事件中，一件事發(fā)生的可能性大小叫做這個事件的概率.

2.適用條件：

(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個;

(2)各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

3..求法：

(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機會均等的結(jié)果;

(2)弄清我們關(guān)注的是哪個或哪些結(jié)果；

(3)求出關(guān)注的結(jié)果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的比值，即關(guān)注事件的概率.

【考點總結(jié)】三、利用頻率估計概率

1,適用條件：

當試驗的結(jié)果不是有限個或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等.

2.方法：

進行大量重復試驗，當事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個賞數(shù)時，該賞數(shù)就可認為是這個事件發(fā)生的概

率.

【考點總結(jié)】四、概率的應用

概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，

評判游戲活動的公平性，數(shù)學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策.

【技巧歸納】

技巧1:概率應用的四種求法

【類型】一：用公式法求概率

1.一個不透明的袋.中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除顏色外都相同.

(1)求從袋中摸,出一個球是黃球的概率；

(2)現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率

不小于:，問至少取出了多少個黑球？

【類型】二：用列表法求概率

2.某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部.分學生，調(diào)查了他們每

一人"推薦書目'’的閱讀本數(shù).設每名學生的閱讀本數(shù)為n,并按以下規(guī)定分為四檔：當n<3時，為“偏少”；

當3Wn<5時，為“一般"；當5Wn<8時、為“良好”；當n次時，為“優(yōu)秀”.將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如下不

完整的統(tǒng)計圖表：

閱讀本數(shù)

〃體423456789

人數(shù)/人126712X7y1

請根據(jù)以上信息回答下列問題：

(第2題)

(1)分別求出統(tǒng)計表中的x,y的值；

(2)估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；

(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學生中隨機抽取2名學生介紹讀書體會，請用列表或畫樹形圖的方法求抽

取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率.

【類型】三：用畫樹形圖法求概率

3.體育課上，小明、小強、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次.

(1)如果從小強開始踢，經(jīng)過兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？

(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應從誰開始踢？請說明理由..

【類型】四：用頻率估算法求概率

4.一只不透明的袋子中裝有4個球，分別標有數(shù)字2,3,4,x,這些球除數(shù)字外都相同.甲、乙兩人每次

同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這兩個球上數(shù)字之和.記錄后都將球放回袋中攪勻，進行重

復試驗.試驗數(shù)據(jù)如.下表：

摸球總

次數(shù)1020306090.120180240330450

”和為

7”出

現(xiàn)的頻

19142426375882109150

數(shù)

“和為

7”出

現(xiàn)的頻

0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33

率

解答下列問題：

(1)如果試驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計出現(xiàn)“和

為7”的概率；

(2)根據(jù)(1),若x是不等于2,3,4的自然數(shù)，試求x的值.

答案

1.解：(1)P(摸出一個球是黃球)=<4?上”=1

3十I3十22o

S+x17S

(2)設取出了x個黑球，則放入了x個黃球，由題意得解得x為正整數(shù)，...x最小

JI1J)I乙乙。。

取9.

則至少取出了9個黑球.

2.解：(1)由題中圖表可知被調(diào)查學生中“一.般”檔次的有13人，所占比例是26%,所以共調(diào)查的學生

數(shù)是13+26%=50(人)，

則調(diào)查學生中“良好”檔次的人數(shù)為50x60%=30(人)，所以x=30—(12+.7)=11,y=50—(1+2+6+7

+12+11+7+1)=3.

3+1

(2)由樣本數(shù)據(jù)可知“優(yōu)秀”檔次所占的比例是寸=0.08=8%.

所以，估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)為400x8%=32(人).

(3)用A,B,C表示閱讀本數(shù)是8的學生，用D表示閱讀本數(shù)是9的學生，列表如下：

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)?

由列表可知，共有12種等可能的情況，其中所抽取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9的有6種.所以,

抽取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率尸=+=；.

3.解：（1）畫樹形圖如圖:

小強

第一次小明小華

/\/X

第二次小強小華小明小強［第3（1）題］

，P（足球踢到小華處）=：.

（2）應從小明開始踢.理由如下，畫樹形圖如圖:

小明

第一次小強小華

第二次小明小華小強小明

人\△

第三次小強小華小明小強小華小明小強小華［第3（2）題］

若從小明開始踢，P（踢到小明處）=］2=；1,同理，若從小強開始踢，P（踢到小明處）=3］,若從小華開始

o4o

踢，P（踢到小明處）=1.故應從小明開始踢.

O

4.解：⑴出現(xiàn)“和為7”的概率約為0.33；

（2）列表如下：

甲和乙234X

2/562+x

35/73+x

467/4+x

Xx+2x+3x+4/

由表格可知,一共有12種等可能的結(jié)果,由⑴可知，出現(xiàn)“和為7”的概率約為0.33,和為7”出現(xiàn)

的次數(shù)約為0.33x12=3.96=4.若2+x=7,貝Ix=5,符合題意，若3+x=7,則x=4,不合題意.若4+x

=7,則x=3,不合題意....x=5.

技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性

【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性

1.在一個不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字.1,2,3,4的四個球，除數(shù)字不同外，球沒有任何區(qū)別，每次

試驗前先攪拌均勻.

(1)若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？

(2)若從中任取一球(不放回)，再從中任取一球，請用畫樹形圖,或列表格的方法求出兩個球上的數(shù)字之

和為偶數(shù)的概率.

(3)若設計一種游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數(shù)字之差的絕對值為1時甲勝.，否則乙勝，請問

這種游戲方案對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由.

【類型】二：利用概率判斷轉(zhuǎn)盤游戲的公平性

2.如圖是一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分成4等份，即被分成4個大小相等的扇形，4個扇形分別標有數(shù)字1,2,

3,4,指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后.任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機會均等(若指針恰好落在分

界線上則重轉(zhuǎn)).【導學號：89274041]

(1)圖中標有“1”的扇形至少繞圓心旋轉(zhuǎn)度能與標有“4”的扇形的起始位置重合；

.(2)現(xiàn)有一本故事書，姐妹倆商定通過轉(zhuǎn)盤游戲.定輸贏(贏的一方先看)，游戲規(guī)則是：姐妹倆各轉(zhuǎn)動一

次轉(zhuǎn)盤，兩次轉(zhuǎn)動后，若指針所指扇形上的數(shù)字之積為偶數(shù)，則姐姐贏；.若指針所指扇形上的數(shù)字之積為

奇數(shù)，則妹妹贏.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請利用樹形圖或列表法說明理由.

(第2題)

【類型】三：利用概率判斷統(tǒng)計事件的公平性

3.近年來，我國持續(xù)的大面積的霧霾天氣讓環(huán)境和健康問題成為焦點，為了調(diào)查學生對霧霾天氣知識的了

解程度，某校在學生中作了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級；A非常了解；B.比較了解；C.基本了

解；D不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的不完整的三種統(tǒng)計圖表..

對霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計表:

對霧霾天氣的了解程度百分比

A.非常了解5%

B.比較了解15%

C.基本了解45%

D.不了解n

請結(jié)合統(tǒng)計圖表，回答下列問題：

(1)本次參與調(diào)查的學生共有人，n=；

(2)扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應的圓心角是度；

(3)請補全條形統(tǒng)計圖；

(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學校準備開展關(guān)于霧霾的知識競賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一

人參加，現(xiàn)設計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球標上數(shù)字1，2,3,4,然后放

到一個不透明的袋中，一個人先從袋中隨機摸出一個球，另一個人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球.若

摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛?cè)?請用樹形圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公

平..

答案

1.解：(1)：不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字I,2,3,4的四個球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的是2與4,

21

.?.從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為

(2)畫樹形圖如圖:

開始

第1個1-------2%

/Tx/T\

第2個234134124123

和345356457567(第1題)

:共有12種等可能的結(jié)果,.兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4種

情況，

，兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為方41

(3):?兩個球上的數(shù)字之差的絕對值為1的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,3),(3,2),(2,1),共￡種

情況,

??.P(甲勝)="=今P(乙勝)="=1二P(甲勝尸P(乙勝)，

,這種游戲方案對甲、乙雙方公平.

2.解：(1)90

(2)列表.如下:

1234

1(1，1)(2.1)(3)1)(4?1)

2(1.2)(2.2)(3.2)(4,2)

3(1.3)(2.3)(3,3)(4,3)

4(1，4)(2,4)(3,4)(4,4)

由表可知共有16種等可能的結(jié)果，且指針所指扇形上的數(shù)字之積為偶數(shù)的有12種，奇數(shù)的有4種,

則指針所指扇形上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是底12=右3指針所指扇形上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是4治1=￡

164Io4

則游戲不公平.

3.解：(1)400；35%

(2)126

(3)調(diào)查的結(jié)果為D等級的人數(shù)為：400x35%=140,

故補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示,

對霧襄天氣了解程度的條形統(tǒng)計圖

(4)由題意可得，畫樹形圖如圖所示,

開始

第一次1234

ZN/N/IX/Tx

第二次234134124123

兩次之和345356457567［第3(4)題］

o7

.??2數(shù)字和為奇數(shù))=合=東

P(數(shù)字和為偶數(shù))=42==I

故游戲規(guī)則不公平.

【題型講解】

【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小

例1、下列事件是必然事件的是（）

A.任意一個五邊形的外角和為540。

B.拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次

C.13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的

D.太陽從西方升起

【答案】C

【提示】事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事

件.

【詳解】

解：A.任意一個五邊形的外角和等于540,屬于不可能事件，不合題意；

B.投擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次是隨機事件，不合題意；

C.13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的，屬于必然事件，符合題意；

D.太陽從西方升起，屬于不可能事件，不合題意；

故選：C.

例2、下列事件中是不可能事件的是（）

A.守株待兔B.甕中捉鱉C.水中撈月D.百步穿楊

【答案】C

【提示】

不可能事件是一定不會發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷.

【詳解】

解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；

B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合：

C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；

D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；

故選C.

【題型】二、簡單概率計算

例3、一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，

則摸到紅球的概率是（）

【答案】D

【提示】

隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

【詳解】

解：摸到紅球的概率為:

4+23

故選D.

例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現(xiàn)在把它們的正

面向下，隨機的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對稱圖形的概率是（）

11〃3

A.—B.—C.-D.1

424

【答案】c

【提示】

由四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形四個

圖案.中心對稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】

解：?.?四張質(zhì)地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形

四個圖案.中心對稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，

3

，從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為：一.

故選：C.

例5、已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件的概率是0.5；則在一定時間段內(nèi)，由該元件組成

的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（）

A.0.75B.0.625C.0.5D.0.25

【答案】A

【提示】

根據(jù)題意，某一個電子元件不正常工作的概率為0.5,可得兩個元件同時不正常工作的概率為0.25,進而由

概率的意義可得一定時間段內(nèi)AB之間電流能夠正常通過的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件的概率是0.5,

即某一個電子元件不正常工作的概率為0.5,

則兩個元件同時不正常工作的概率為0.25；

故在一定時間段內(nèi)AB之間電流能夠正常通過的概率為1一0.25=0.75,

故選A.

例6、現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7,從中任選三條，能組成三角形的概率是（）

1133

A.-B.-C.-D.一

4254

【答案】B

【提示】

從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

【詳解】

解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構(gòu)成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

21

所以能構(gòu)成?:角形的概率是一=一，

42

故選：B.

【題型】三、用列舉法求概率

例7、不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2"，除數(shù)字外兩個小球無其他差別.從中隨機摸

出一個小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之

和為3的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.一

4323

【答案】c

【提示】

先根據(jù)題意畫出樹狀圖，再利用概率公式計算即可.

【詳解】

解：畫樹狀圖如下:

開始

所以共4種情況：其中滿足題意的有兩種，

所以兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是2=▲.

42

故選C.

例8、將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）

21-11

A.-B.—C.-D.一

3236

【答案】A

【提示】

根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰有一個籃子為空的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可

得出答案.

【詳解】

解：三個不同的籃子分別川A、B、C表示，根據(jù)題意畫圖如下：

/1\/T\/N

ABCABCABC

共有9種等可能的情況數(shù)，其中恰有一個籃子為空的有6種，

則恰有一個籃子為空的概率為

93

故選：A.

例9、現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除

顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（）

1432

A.-B.—C.-D.一

3953

【答案】B

【提示】

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算可得.

【詳解】

解：列表如下：

黃紅紅

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

白（黃，白）（紅，白）（紅，白）

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結(jié)果,

4

所以摸出的兩個球顏色相同的概率為一.

9

故選：B.

【題型】四、判斷游戲公平性

例10、小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷

輸贏.若所得數(shù)值等于0,1，2,則小偉勝：若所得數(shù)值等于3,4，5,則小梅勝

（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率

（2）判斷上述游戲是否公平.如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游

戲的公平性

21

【答案】（I）P（小偉勝）=一，P（小梅勝）=—；（2）游戲不公平；修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕

33

對值為1,2,則小偉勝：否則小梅勝.

【提示】

（1）利用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，并求出小偉勝、小梅勝的概率；

（2）依據(jù)獲勝的概率判斷游戲的公平性，修改規(guī)則時，利用差的絕對值的形式，使兩人獲勝的概率相等即

可.

【詳解】

解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

123456

1012345

2101234

3210123

4321012

5432101

6543210

表中總共有36種可能的結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，”差的絕對值''為0,1,2共有24種，“差的

絕對值”為3,4,5的共有12種，

242121

P（小偉勝）————，P（小梅勝）——=一,

363363

21

答：小偉勝的概率是一，小梅勝的概率是一；

33

.,?游戲不公平；

根據(jù)表格中“差的絕對值”的不同情況，要使游戲公平，即兩人獲勝的概率相等，

于是修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為1,2,則小偉勝；否則小梅勝，這樣小偉、小梅獲勝的概率

均為上.

【題型】五、用頻率估計概率

例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上

同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進行手抄報的制作：A、“北斗衛(wèi)星”：B、

“5G時代”；C、”智軌快運系統(tǒng)”；。、“東風快遞”；E、“高鐵統(tǒng)計同學們所選內(nèi)容的頻數(shù)，繪制如圖

所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇"5G時代'’的頻率是（）

人數(shù)（人）

5--------------------------------------------

。.4BCDE類別

A.0.25B.0.3C.25D.30

【答案】B

【提示】

先計算出八年級（3）班的全體人數(shù)，然后用選擇“5G時代”的人數(shù)除以八年級（3）班的全體人數(shù)即可.

【詳解】

由圖知I,八年級（3）班的全體人數(shù)為：25+3（）+10+2（）+15=l（X）（人）

選擇“5G時代”的人數(shù)為：30人

30

.??選擇“5G時代”的頻率是：—=0.3

100

故選:B.

例12、為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果

如下.

身高1/cmx<160160<x<170170<x<180x>180

人數(shù)60260550130

根據(jù)以上統(tǒng)計結(jié)果，隨機抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于170cm的概率是（）

A.0.32B.0.55C.0.68D.0.87

【答案】C

【提示】

先計算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計概率求解.

【詳解】

解：樣本中身高不低于170cm的頻率="0+130=068,

1000

所以估計抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68.

故選：C.

例13、如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少,

他采取了以下辦法：用一個長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝

長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結(jié)果）,

他將若干次有效實驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）

A.6m2B.7m2C.8m2D.9m2

【答案】B

【提示】

本題分兩部分求解，首先假設不規(guī)則圖案面積為X,根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大小;

繼而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解.

【詳解】

假設不規(guī)則圖案面積為X,

由已知得：長方形面積為20,

X

根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：—,

20

當事件A實驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知,

小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35,

X

綜上有：一=0.35,解得x=7.

20

故選：B.

概率（達標訓練）

一、單選題

1.下列所給的事件中，是必然事件的是（）

A.某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天.

B.正方形的對角線互相垂直

c.某抽獎活動的中獎概率是卡，那么連續(xù)抽10次，必然會中獎.

D.2023年的元旦順德會下雪.

【答案】B

【分析】根據(jù)對必然事件的概念，即可求解.

【詳解】解：A、某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天，是隨機事件，故本選項不符合題

忌；

B、正方形的對角線互相垂直，是必然事件，故本選項符合題意；

C、某抽獎活動的中獎概率是《，那么連續(xù)抽10次，必然會中獎，是隨機事件，故本選項不符合題意；

D、2023年的元旦順德會下雪，是隨機事件，故本選項不符合題意；

故選：B

【點睛】本題考查的是對必然事件的概念的理解，熟練掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不

確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵.

2.縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為90%,下列理解正確的是（）

A.明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大

B.明天千島湖鎮(zhèn)有90%的地方會下雨

C.明天千島湖鎮(zhèn)全天有90%的時間會下雨

D.明天千島湖鎮(zhèn)一定會下雨

【答案】A

【分析】概率是表示事件發(fā)生可能性大小的量，據(jù)此解得此題即可.

【詳解】解：千島湖鎮(zhèn)明天下雨概率是90%,表示千島湖鎮(zhèn)明天下雨的可能性很大，但不是將有90%的地

方下雨，不是90%的時間下雨，也不是明天肯定下雨，

故選：A.

【點睛】此題考查概率，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.

3.下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.水滴石穿D.百發(fā)百中

【答案】B

【分析】根據(jù)必然事件就是一定發(fā)生的事件逐項判斷即可.

【詳解】解：A、守株待兔是隨機事件，故該選項不符合題意；

B、水中撈月是不可能事件，故該選項符合題意；

C、水滴石穿是必然事件，故該選項不符合題意；

D、百發(fā)百中是隨機事件，故該選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件是解答本題的關(guān)

鍵.

4.如圖，電路圖上有4個開關(guān)4、B、C、。和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A、B或同時閉合開關(guān)C、。都

可以使小燈泡發(fā)光，下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（）

A.只閉合4個開關(guān)B.只閉合3個開關(guān)C.只閉合2個開關(guān)D.閉合1個開關(guān)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分別判斷能否發(fā)光，進而判斷屬于什么事件即可.

【詳解】解：A、閉合4個開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意；

B,只閉合3個開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意；

C、只閉合2個開關(guān)，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機事件，符合題意；

D、只閉合1個開關(guān)，小燈泡不會發(fā)光，屬于不可能事件，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了隨機事件的分類，正確判斷小燈泡能否發(fā)光是解題的關(guān)鍵.

5.袋子中裝有5個紅球、3個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5885

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式直接計算即可求解.

【詳解】解：袋子中裝有5個紅球、3個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為

3+Jo

故選：B.

【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，并涂上了相應的顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后,

指針指向紅色區(qū)域的概率是（)

1*1

3-D.6-

,根據(jù)這個比例即可求出指針指向紅色區(qū)

域的概率.

【詳解】解：?圓被等分成6份，其中紅色部分占3份，

31

二落在陰影區(qū)域的概率

故選：B.

【點睛】此題考查幾何概率問題，關(guān)鍵是根據(jù)概率=相應的面積與總面積之比解答.

7.某校舉行春季運動會，需要在初一年級選取一名志愿者.初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各

有2名同學報名參加.現(xiàn)從這6名同學中隨機選取一名志愿者，則被選中的這名同學恰好是初一（3）班同

學的概率是（）

12

B1

A.6-2-D.3-

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式進行計算即可.

【詳解】解：這6名同學中隨機選取一名志愿者，共有6種等可能出現(xiàn)的情況，其中被選中的這名同學恰好

是初一（3）班同學出現(xiàn)的情況共2種，

，P=-=-.

63

故選B.

【點睛】本題考查概率.熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵.

8.宋代程潁的《秋月》有四句古詩如下：

①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；

③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里

這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（）

A.—B.—C.—D.—

12182464

【答案】C

【分析】本題是排序古詩相當于簡單隨機事件中的“不放回”事件，求出總的可能為24,第一次調(diào)整可能占

其中一種，第一次就調(diào)整正確的可能性大小是

【詳解】解:這首詩四句隨機排列的順序共有24種情況:①②③④，①②④③，①③②④,①④②③，①④③②,

②@@④,②①④③,②③①④,②③④①,②④①③,②④③①,①②③④,④②③①②④,③①④②，

③②①④,③②④①,③④①②,③④②①,④①②③,④①③②,④②①③,④②③①,④③①②,④③②①

因為這24種情況出現(xiàn)的可能性大小相等，正確的順序只有一種④②①③，

故第一次就調(diào)整正確的可能性大小是焉.

故答案選：C

【點睛】本題是考查等可能概型的概率計算公式計算概率，熟練掌握簡單隨機事件概率的計算方法進行求

解是解決本題的關(guān)鍵.當出現(xiàn)可能結(jié)果多種時，用樹狀圖輔助列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.

9.下列事件是隨機事件的是（）

A.打開電視，正在播放《中國機長》

B.白發(fā)三千丈，緣愁似個長

C.離離原上草，一歲一枯榮

D.鈍角三角形的內(nèi)角和大于180。

【答案】A

【分析】根據(jù)隨機事件的意義，事件發(fā)生的可能性大小判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、打開電視，正在播放《中國機長》，是隨機事件，符合題意，選項正確；

B、白發(fā)三千丈，緣愁似個長，是不可能事件，不符合題意，選項錯誤；

C、離離原上草，一歲一枯榮，是必然事件，不符合題意，選項錯誤；

D、鈍角三角形的內(nèi)角和大于180。，是不可能事件，不符合題意，選項錯誤，

故選：A.

【點睛】本題考查了隨機事件的意義，正確理解隨機事件的意義是解題關(guān)鍵.

二、填空題

10.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下:

射擊次數(shù)20801002004008001000

射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832

射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環(huán)以上”的概率約是.（精確到0.01）

【答案】0.83

【分析】根據(jù)大量的試驗結(jié)果穩(wěn)定在0.83左右即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.83附近，

...這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是0.83.

故答案為：0.83.

【點睛】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左

右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個

固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關(guān)鍵.

11.如圖，若隨機閉合開關(guān)3，邑，S3中的兩個，則能讓兩燈泡同時發(fā)光的概率為

【答案】|

【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果和能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的情況，再

利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：列表如下：

5.52S,

5,(Sa,')(邑，S\)

S?(5,S?)（S3,邑）

(5,$3)(,S3)

由表格可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能讓兩燈泡同時發(fā)光的結(jié)果數(shù)有2種，

21

，能讓兩燈泡同時發(fā)光的概率為J=

o3

故答案為：~.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件：樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、解答題

12.某校為了解九年級男同學的體育考試準備情況，隨機抽取部分男同學進行了1000米跑步測試.按照成

績分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖.

1000米跑成績條形統(tǒng)計圖

1000米跑成績扇形統(tǒng)計圖

(1)根據(jù)給出的信息，補全兩幅統(tǒng)計圖；

(2)該校九年級有600名男生，請估計成績達到良好及以上等級的有多少名？

(3)某班甲、乙兩位成績優(yōu)秀的同學被選中參加即將舉行的學校運動會1000米比賽.預賽分別為A仇C三組

進行，選手由抽簽確定分組.甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？

【答案】(1)圖示見詳解

(2)420名

【分析】（I）根據(jù)良好的人數(shù)與百分比可求出總?cè)藬?shù)，合格人數(shù)，以及合格的百分比，優(yōu)秀的百分比，由

此即可求解；

（2）計算出良好及以上的百分比，由此即可求解：

（3）用樹狀圖表示出所有可能的結(jié)果，再找出甲、乙兩人恰好分在同一組的結(jié)果，根據(jù)概率計算公式即可

求解.

【詳解】（1）解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)為16+40%=40（人），

.,.合格等級的人數(shù)為40-12-16-2=10（人），

.??合格等級人數(shù)所占的百分比為￡X100%=25%,優(yōu)秀等級人數(shù)所占的百分比為”X100%=30%,

4040

??.統(tǒng)計圖如圖所示，

1000米跑成績條形統(tǒng)計圖

（2）解：600x（30%+40%）=420（名），

,估計成績達到良好及以上等級的有420名.

（3）解：畫樹狀圖如下所示，

甲ABC

乙ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩人恰好分在同一組的結(jié)果數(shù)為3,

甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為焉=g.

【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖，概率的計算的綜合，掌握數(shù)據(jù)的統(tǒng)計中樣本容量，樣本百分比的關(guān)系，根

據(jù)概率估算總體的知識，概率的計算方法是解題的關(guān)鍵.

13.某學校準備組織學生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部

分學生進行“你愿意參加哪一項活動”（必選且只選一種）的問卷調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)

計圖，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

（1）本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,扇形統(tǒng)計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數(shù)為

（2）若該校有1400名學生，估計選擇參加“書法”的有多少人?

（3）學校準備從推薦的4位同學（兩男兩女）中隨機選取兩人當正式活動的主持人，利用畫樹狀圖法或列表

法求選取的兩人恰為一男一女的概率.

【答案】⑴200人，108°

(2)560人

(3)1

【分析】（1）先求出抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再求出參加“舞蹈”的抽樣學生的人數(shù)，即可求解;

（2）用總?cè)藬?shù)乘以參加“書法”的人數(shù)所占的百分比，即可求解：

（3）根據(jù)題意，列出表格，再根據(jù)概率公式計算，即可求解.

【詳解】（1）解：抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為36+18%=200,

參加“舞蹈”的抽樣學生有200-36-80-24=60（人），

扇形統(tǒng)計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數(shù)為黑、360。=108。.

QA

（2）解:選擇參加“書法”的有1400x^=560（人）.

（3）解：記兩名男生分別為A，4，兩名女生分別為A.B?,列表如下：

A4當

4(4闖(4,4)(%A)

4(44)(4,4)聞4)

耳(A闖(4,4)聞4)

B2(A。)(4聞(4闖

由列表可得共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選取一男一女的結(jié)果有8種，

Q7

...選取的兩人恰為一男一女的概率

【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，利用樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意，準確從統(tǒng)計

圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

概率（提升測評）

一、單選題

1.將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為（）

【答案】A

【分析】隨機事件A的概率尸（A）=事件A發(fā)生時涉及的圖形面積+一次試驗涉及的圖形面積，因為這是

幾何概率.

【詳解】解：設正六邊形邊長為“，過A作AO18C于O,過8作于E,如圖所示：

???在RtAAC。中，ZADC=90°,ZCAD=60°,AC=a,則AO==立a,

22

/.BC=2CD=6a,

...在RrMCE中，ZBEC=90°,ZBCE=60°,BC=^?>a,則CE=BE=,

22

則灰色部分面積為354ABe=3x^8。AO=3xgx6ax；a=56a2,

白色區(qū)域面積為2S、g=2x，CE-BE=@ax3a=^^a2,

A/,vc2224

所以正六邊形面積為兩部分面枳之和為，

2

海1

飛鏢落在白色區(qū)域的概率尸=4——=1，

。其22

2

故選：A.

【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率模型及簡單概率公式是解決問題的關(guān)鍵.

2.活動課上，小林、小軍、小強3位同學和其他6位同學一起進行3人制籃球賽，他們將9人隨機抽簽分

成三組，則小林、小軍、小強三人恰好分在3個不同組的概率是（）

ACD

-IB-i