第三章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一、齊次線性方程組的解空間

一、非齊次線性方程組形如的方程組叫做非齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中為常數(shù)，注意：未知數(shù)的次數(shù)均為一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一個(gè)方程右端的不全為零.③

一、非齊次線性方程組形如若記則方程組(1)可寫為向量方程的方程組叫做非齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中為常數(shù)，向量方程(2)的解稱為方程組(1)的解向量.方程組的全體解向量集合，稱為方程組的解集.

一、非齊次線性方程組二、非齊次線性方程組解的判定定理定理設(shè)元非齊次線性方程組

有解的充要條件是的秩,廣矩陣即的秩等于增系數(shù)矩陣有解無解唯一解無窮多解三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解.證證畢.即

的解.為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對(duì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解.

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對(duì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解.

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對(duì)證即為非齊次線性方程組的解.證畢.四、非齊次線性方程組的通解定理設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解,則是的通解.注:的一個(gè)特解,設(shè)是的基礎(chǔ)解系,是則非齊次方程組的通解可表示為:,其中齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個(gè)特解例解下列非齊次線性方程組.解對(duì)此方程組的增廣矩陣作如下初等行變換:,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價(jià)于方程組即取為自由未知量，并令則其中為任意常數(shù).則其中為任意常數(shù).則所以其中為任意常數(shù).其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個(gè)特解所以其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個(gè)特解所以其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組