考研數(shù)學三（二次型）模擬試卷5(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)A，B為n階可逆矩陣，則()．A．存在可逆矩陣P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2為對角矩陣B．存在正交矩陣Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2為對角矩陣C．存在可逆矩陣P，使得P-1(A+B)P為對角矩陣D．存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B正確答案：D解析：因為A，B都是可逆矩陣，所以A，B等價，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B，選D．知識模塊：二次型2．n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是()．A．A無負特征值B．A是滿秩矩陣C．A的每個特征值都是單值D．A-1是正定矩陣正確答案：D解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，A不對；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，B不對；C既不是充分條件又不是必要條件；顯然D既是充分條件又是必要條件．知識模塊：二次型3．下列說法正確的是()．A．任一個二次型的標準形是唯一的B．若兩個二次型的標準形相同，則兩個二次型對應(yīng)的矩陣的特征值相同C．若一個二次型的標準形系數(shù)中沒有負數(shù)，則該二次型為正定二次型D．二次型的標準形不唯一，但規(guī)范形是唯一的正確答案：D解析：A不對，例如：f=x1x2，令則f=y12-y22；若令則f=y12-9y22；B不對，兩個二次型標準形相同只能說明兩個二次型正、負慣性指數(shù)相同，不能得到其對應(yīng)的矩陣的特征值相同；C不對，若一個二次型標準形系數(shù)沒有負數(shù)，只能說明其負慣性指數(shù)為0，不能保證其正慣性指數(shù)為n；選D，因為二次型的規(guī)范形由其正、負慣性指數(shù)決定，故其規(guī)范形唯一．知識模塊：二次型4．設(shè)A為可逆的實對稱矩陣，則二次型XTAX與XTA-1X()．A．規(guī)范形與標準形都不一定相同B．規(guī)范形相同但標準形不一定相同C．標準形相同但規(guī)范形不一定相同D．規(guī)范形和標準形都相同正確答案：B解析：因為A與A-1合同，所以XTAX與XTA-1X規(guī)范形相同，但標準形不一定相同，即使是同一個二次型也有多種標準形，選B．知識模塊：二次型5．設(shè)n階矩陣A與對角矩陣合同，則A是()．A．可逆矩陣B．實對稱矩陣C．正定矩陣D．正交矩陣正確答案：B解析：因為A與對角陣A合同，所以存在可逆矩陣P，使得PTAP=A，從而A=(PT)-1AP-1=(P-1)TAP-1，AT=[(P-1)TAP-1]T=(P-1)TAP-1=A，選B．知識模塊：二次型6．設(shè)A，B都是n階矩陣，且存在可逆矩陣P，使得AP=B，則()．A．A，B合同B．A，B相似C．方程組AX=0與BX=0同解D．r(A)=r(B)正確答案：D解析：因為P可逆，所以r(A)=r(B)，選D．知識模塊：二次型7．設(shè)A，B為n階實對稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是()．A．r(A)=r(b)B．｜A｜=｜B｜C．A～BD．A，B與同一個實對稱矩陣合同正確答案：D解析：因為A，B與同一個實對稱矩陣合同，則A，B合同，反之若A，B合同，則A，B的正負慣性指數(shù)相同，從而A，B與合同，選D．知識模塊：二次型8．設(shè)A=，則A與B()．A．相似且合同B．相似不合同C．合同不相似D．不合同也不相似正確答案：C解析：由｜λE-A｜=0得A的特征值為1，3，-5，由｜λE-B｜=0得B的特征值為1，1，-1，所以A與B合同但不相似，選C．知識模塊：二次型9．設(shè)A，B為三階矩陣，且特征值均為-2，1，1，以下命題：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等價；(4)｜A｜=｜B｜中正確的命題個數(shù)為()．A．1B．2C．3D．4正確答案：B解析：因為A，B的特征值為-2，1，1，所以｜A｜=｜B｜=-2，又因為r(A)=r(B)=3，所以A，B等價，但A，B不一定相似或合同，選B．知識模塊：二次型填空題10．二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+4xx的矩陣為_______．正確答案：解析：因為f(x1，x2，x3)=x12+4x22-4x1x2+4x2x3，所以A=知識模塊：二次型11．設(shè)α1=，則α1，α2，α3經(jīng)過施密特正交規(guī)范化后的向量組為________.正確答案：解析：令β1=，β2=α2-，β3=α3，正交規(guī)范化的向量組為知識模塊：二次型12．設(shè)二次型2x12+x22+x32+2x1x3+ax2x3的秩為2，則a=_______．正確答案：解析：該二次型的矩陣為A=，因為該二次型的秩為2，所以｜A｜=0，解得a=知識模塊：二次型13．設(shè)512+x22+x32+4x1x2-2x1x3-2x2x3為正定二次型，則t的取值范圍是_______．正確答案：＞2解析：二次型的矩陣為A=，因為二次型為正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知識模塊：二次型解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。14．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3為標準二次型．正確答案：令即X=PY，其中X=則f(x1，x2，x3)=XTAXTT(PTAP)Y=y12+y22-y32．涉及知識點：二次型15．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32為標準形．正確答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32=(x1+x2+x3)2-(x2+x3)2-4x32，令則f(x1，x2，x3)=XTAXy12-y22-4y32．涉及知識點：二次型16．設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主對角線上元素之和為3，又AB+B=O，其中(1)求正交變換X=QY將二次型化為標準形；(2)求矩陣A．正確答案：(1)由AB+B=O得(E+A)B=O，從而r(E+A)+r(B)≤3，因為r(B)=2，所以r(E+A)≤1，從而λ=-1為A的特征值且不低于2重，顯然λ=-1不可能為三重特征值，則A的特征值為λ1=λ2=-1，λ3=5．由(E+A)B=o得B的列組為(E+A)X=0的解，故α1=，α2=為λ1=λ2=-1對應(yīng)的線性無關(guān)解．令α3=為λ3=5對應(yīng)的特征向量，因為AT=A，所以令β1=，β2=α2-，正交化得令Q=(γ1，γ2，γ3)，則f=XTAX-y12-y22+5y32．(2)由涉及知識點：二次型17．設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O．(1)求正交矩陣Q，使得在正交變換X=QY下二次型化為標準形．(2)求矩陣A．正確答案：(1)由AB=O得=0，即α1=，α2=為λ=0的兩個線性無關(guān)的特征向量，從而λ=0為至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ3=1，即λ1=λ2=0，λ3=1．令λ3=1對應(yīng)的特征向量為α3=因為AT=A，所以解得λ3=1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α3=令γ1=，γ2=，γ3=，所求的正交矩陣為且XtAXy32．(2)由涉及知識點：二次型18．用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3-4x2x3為標準二次型．正確答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中X=由｜λE-A｜==(λ+3)(λ-3)2=0得λ1=-3，λ2=λ3=3．由(-3E-A)X=0得λ1=-3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α3=，α3=將α2，α3正交化得β2=，β3=α3-，單位化得則f(x1，x2，x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=-3y12+3y22+3y32．涉及知識點：二次型19．設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩為2．(1)求a；(2)用正交變換法化二次型為標準形．正確答案：(1)A=，因為二次型的秩為2，所以r(A)=2，從而a=2．(2)A=，由｜λE-A｜=0得λ1=λ2=2，λ3=0．當λ=2時，由(2E-A)X=0得λ=2對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=，α2=當λ=0時，由(0E-A)X=0得λ=0對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α3=因為α1，α2兩兩正交，單位化得令，QTAQ=，則f=XTAXYT(QTAQ)Y=2y12+2y22．涉及知識點：二次型20．設(shè)n階實對稱矩陣A的秩為r，且滿足A2=A(A稱為冪等陣)．求：(1)二次型XTAX的標準形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．正確答案：(1)因為A2=A，所以｜A｜｜E-A｜=0，即A的特征值為0或者1，因為A為實對稱矩陣，所以A可對角化，由r(A)=r得A的特征值為λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，則二次型XTAX的標準形為y12+y22+…+yr2．(2)令B=E+A+A2+…+An，則B的特征值為λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故｜E+A+A2+…+An｜=｜B｜=(n+1)r．涉及知識點：二次型21．設(shè)A為n階實對稱可逆矩陣，f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)記X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否與f(x1，x2，…，xn)合同?正確答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)A*X，因為r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是A*=A-1，顯然A*，A-1都是實對稱矩陣．(2)因為A可逆，所以A的n個特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)與g(X)=XTAX規(guī)范合同．涉及知識點：二次型22．設(shè)A是三階實對稱矩陣，且A2+2A=O，r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)當k為何值時，A+kE為正定矩陣?正確答案：(1)由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)≤3，從而A的特征值為0或-2，因為A是實對稱矩陣且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=-2．(2)A+kE的特征值為k，k-2，k-2，當k＞2時，A+kE為正定矩陣．涉及知識點：二次型23．設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3為正定二次型，求t的范圍．正確答案：二次型的矩陣為A=，因為該二次型為正定二次型，所以有解得涉及知識點：二次型24．設(shè)A是n階正定矩陣，證明：｜E+A｜＞1．正確答案：方法一因為A是正定矩陣，所以存在正交陣Q，使得QTAQ=其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A+E)Q=于是｜QT(A+E)Q｜=｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．方法二因為A是正定矩陣，所以A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值為λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．涉及知識點：二次型25．用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22-5x32+2x1x2-2x1x3+2x2x3．正確答案：令A(yù)=，則f(x1，x2，x3)=XTAX，f(x1，x2，x3)=x12+2x22-5x32+2x1x2-2x1x3+2x2x3=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-10x32，令設(shè)，顯然P可逆，且f(x1，x2，x3)YT(PTAP)Y=y12+y22-10y32．涉及知識點：二次型26．用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．正確答案：令或X=P1Y，其中P1=且P1可逆，則f(x1，x2，x3)2y12-2y22+8y1y3+4y2y3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，再令或Y=P2Z，其中P2=且P2可逆，令P=P1P2=，P可逆，且f(x1，x2，x3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32．涉及知識點：二次型27．二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3經(jīng)過正交變換化為標準形5y12+6y22-4y32，求：(1)常數(shù)a，b；(2)正交變換的矩陣Q．正確答案：(1)令A(yù)=，則f(x1，x2，x3)=XTAX，矩陣A的特征值為λ1=5，λ2=b，λ3=-4，由從而，特征值為λ1=λ2=5，λ3=-4．(2)將λ1=λ2=5代入(λE-A)X=0，即(5E-A)X=0，由5