湖北省荊州市石首老山咀中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.實(shí)數(shù)對（x,y）滿足不等式組若目標(biāo)函數(shù)時(shí)取最大值，則k的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.設(shè)f：x→x2是集合A到B的映射，如果B＝{1,2}，則A∩B只可能是

A．?或{1}

B．{1}

C．?或{2}

D．?或{1}或{2}參考答案：A略3.Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為13的球面上，兩直角邊的長分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（A）5

（B）6

（C）10

（D）12參考答案：答案：D解析：Rt△ABC的斜邊長為10，且斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，球心到平面ABC的距離是d=，選D4.過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，以AF、BF為直徑的圓分別與y軸相切于點(diǎn)M，N，則（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，，則，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理即可求解．【詳解】設(shè)，，則，，直線的方程為：，聯(lián)立，可得，∴，，∴，故選D．5.若直線平分圓，則的最小值為（

）A．

B．2

C.

D．參考答案：C6.在曲線y=x2上切線的傾斜角為的點(diǎn)是（）A．（0，0） B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由切線的傾斜角為，算出切線的斜率k=．設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a2），求出函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)為y'=2x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得2a=，解得a，從而可得切點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a2）∵切線的傾斜角為，∴切線的斜率k=tan=．對y=x2求導(dǎo)數(shù)，得y'=2x，∴2a=，得a=，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．故選B．【點(diǎn)評】本題求拋物線y=x2上切線的傾斜角為的點(diǎn)的坐標(biāo)．著重考查了拋物線的性質(zhì)、切線的幾何意義、直線與拋物線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件的最大值為

（

）

A．20 B．18

C．16

D．12參考答案：A8.已知,則

(

)A． B． C． D．參考答案：C9.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}則A∩（?RB）=（）A．（0，2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，0] D．（2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】梅涅勞斯定理；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)求出集合A，B，結(jié)合集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴?RB=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（?RB）=[2，+∞），故選：B10.為了得到y(tǒng)＝-2cos2x的圖象，只需把函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長度

B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度

D．向右平移個(gè)單位長度參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在平行四邊形OACB中，E，F(xiàn)分別為AC和BC上的點(diǎn)，且，若，其中m，n∈R，則m＋n的值為 參考答案：4/312.下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集的映射過程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)，如圖；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合，如圖；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖．圖中直線與軸交于點(diǎn)，則的象就是，記作．方程的解是

；下列說法中正確命題的序號是

．（填出所有正確命題的序號）①；②是奇函數(shù)；③在定義域上單調(diào)遞增；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；⑤的解集是．參考答案：13.對于函數(shù)，（1）若，則

.（2）若有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍為

.參考答案：答案：（1）7

（2）解析：為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，須有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間.，，中，或.又兩根須為正根，且.

14.在平面四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2．設(shè)CD=t，則t的取值范圍是

．參考答案：．【分析】在△ABD中，由余弦定理得DB=，即.，點(diǎn)C在射線BT上運(yùn)動(dòng)（如圖），要使ABCD為平面四邊形ABCD，當(dāng)DC⊥BT時(shí)，CD最短，為，當(dāng)A，D，C共線時(shí)，如圖，在△ABC2中，由正弦定理可得，．即可得到答案．【解答】解：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD為等腰直角三角形，．∴，所以點(diǎn)C在射線BT上運(yùn)動(dòng)（如圖），要使ABCD為平面四邊形ABCD，當(dāng)DC⊥BT時(shí)，CD最短，為，當(dāng)A，D，C共線時(shí)，如圖，在△ABC2中，由正弦定理可得解得，．∴設(shè)CD=t，則t的取值范圍是[，1+），故答案為：．15.設(shè)數(shù)據(jù)，，，…，是棗莊市普通職工個(gè)人的年收入，若這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入，則這個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大參考答案：D16.若a>0，則的最小值是____________．參考答案：517.在中，若，則邊上的高等于

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)f（x）是定義在［a，b］上的函數(shù)，若存在c，使得f（x）在［a，c］上單調(diào)遞增，在［c，b］上單調(diào)遞減，則稱f（x）為［a，b］上單峰函數(shù)，c為峰點(diǎn)。（1）已知為[a，b]上的單峰函數(shù)，求t的取值范圍及b-a的最大值：（2）設(shè)其中①證明：對任意上的單峰函數(shù)：②記函數(shù)上的峰點(diǎn)為證明：

參考答案：

略19.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的方程f（x）=|f′（x）|．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求最值；（2）通過平方去掉絕對值：（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．求解．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x）．又因?yàn)椹?≤x≤﹣1，所以a≥在x∈[﹣2，﹣1]時(shí)恒成立．因?yàn)椤?，所以a≥．（2）因?yàn)閒（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①當(dāng)a＜﹣1時(shí)，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí)，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③當(dāng)a＞1時(shí)，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．【點(diǎn)評】本題考查了用分離參數(shù)法處理恒成立問題、解絕對值不等式，屬于中檔題．20.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)．（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175，y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量．（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中的優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）有分層抽樣可知各層抽取的比例相等，先計(jì)算出甲廠抽取的比例，按此比例計(jì)算乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)即可．（2）先計(jì)算抽取的5件樣品中優(yōu)等品的概率，再由此概率估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量即可．（3）ξ的所有可能取值為0，1，2．由古典概型分別求概率，再求期望即可，此分布列為超幾何分布．【解答】解：（1）甲廠抽取的比例=，因?yàn)橐覐S抽出5件，故乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)35件．（2）x≥175，y≥75的有兩件，比例為，因?yàn)橐覐S生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)35件，故乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35×=14件．（3）乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中有2件為優(yōu)等品，任取兩件的取法有C52=10種ξ的所有可能取值為0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴ξ的分布列為：ξ012P故Eξ=．【點(diǎn)評】本題考查分層抽樣、樣本估計(jì)總體、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識，考查利用所學(xué)知識解決問題的能力．21.過拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.參考答案：解法（一）：（1）設(shè)由得：直線PA的方程是：即

①

同理，直線PB的方程是：

②由①②得：∴點(diǎn)P的軌跡方程是（2）由（1）得：

所以故存在=1使得解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程是由得：即即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點(diǎn)P的軌跡方程是（2）由（1）得：故存在=1使得略22.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若關(guān)于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范圍．參考答案：（I）由題設(shè)知：當(dāng)x≥2時(shí)，不等式等價(jià)與x+2+2x－4＜6，即2≤x＜；…2分

當(dāng)2＞x＞－2