-2024學年浙江省寧波市北侖區(qū)小浹江中學八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分.在每小題給中，只有一項符合題目要求）1．（3分）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分（）A． B． C． D．3．（3分）為了使課間十分鐘活動更加豐富有趣，班長打算先對全班同學喜歡的活動項目進行民意調(diào)．下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中，他最應該關(guān)注的是（）A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．加權(quán)平均數(shù)4．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝36．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形7．（3分）若用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，則首先應該假設(shè)這個四邊形中（）A．至少有一個角是鈍角或直角 B．沒有一個角是銳角 C．每一個角都是鈍角或直角 D．每一個角是銳角8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD，O是AC、BD的交點，若△CDE的周長為11cm，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm9．（3分）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若a﹣b+c＝0，則它有一根為﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c＝0兩個不相等的實數(shù)根；其中正確的是（）A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，E是邊DC延長線上一點，連接BE，連接FC，則FC的最小值是（）A． B．2 C． D．二、填空題（每小題4分，共24分）.11．（4分）當有意義時，x的取值范圍是．12．（4分）為弘揚傳統(tǒng)文化，某校在讀書節(jié)舉行了“詩詞競賽”，某班20名同學參加了此次競賽，則全班20名同學的成績的中位數(shù)是．人數(shù)2774成績（分）70809010013．（4分）有一邊長為3的等腰三角形，它的兩邊長是方程x2﹣4x+k＝0的兩根，則k＝．14．（4分）已知樣本x1，x2，…xn的平均數(shù)是5，方差是3，則樣本3x1+5，3x2+52，…3xn+5的方差是．15．（4分）如圖，EF是△ABC的中位線，BD平分∠ABC交EF于點D，DF＝1，則邊BC的長為．16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝30°，將△ABC沿AC翻折至△AB'C，連接B'D．當BC長為時，△AB'D是直角三角形．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）計算：（1）；（2）．18．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）（2x+1）＝（x﹣3）2．19．（8分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形ABC如圖所示．（1）請作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A'B'C'；（2）在網(wǎng)格圖中作出?ABCD．（3）寫出點A'的坐標．20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G．求證：OG＝OH．21．（8分）2023年第19屆亞運會將在杭州舉行，某校舉辦了“迎亞運，展風采”知識競賽，學生得分均為整數(shù)，為了解學生對亞運知識的掌握情況，結(jié)果如下：七年級10名學生的競賽成績：94，83，94，96，94，95，87八年級10名學生的競賽成績：83，95，86，95，82，95，91對上述兩個年級各10名學生的競賽成績做如下分析：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級90b91d八年級a95c34.2根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請直接寫出a，b，c，d的值．（2）你認為上述七、八年級各10名學生的競賽成績哪個年級好？為什么？（3）圓圓說：“由樣本數(shù)據(jù)可以估計本次競賽七年級學生中肯定沒有同學得滿分”．你認為圓圓的說法正確嗎？請說明理由．22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的一點，垂足為E，延長DE到F，使∠A＝∠F．（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形．（2）連接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，求四邊形ADFC的面積．23．（10分）根據(jù)以下素材，完成探索任務．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB＝200米，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米.素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，每月可銷售5000平方米的草莓；受天氣原因，決定降價，若每平方米草莓平均利潤下調(diào)5元問題解決任務1解決果園中路面寬度的設(shè)計對種植面積的影響.（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求.任務2解決果園種植的預期利潤問題．（總利潤＝銷售利潤﹣承包費）（3）若農(nóng)戶預期一個月的總利潤為52萬元，則從購買草莓客戶的角度應該降價多少元？24．（12分）已知在平行四邊形ABCD中，動點P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點A向點D運動．（1）如圖1，在運動過程中，若CP平分∠BCD，求∠B的度數(shù)．（2）如圖2，另一動點Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點C出發(fā)，P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止運動（同時Q點也停止），當運動時間為秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．（3）如圖3，連結(jié)BP并延長與CD的延長線交于點F，CE平分∠ACF交BF于E點，當AE⊥CE，DF＝8時（4）如圖4，在（1）的條件下，連結(jié)BP并延長與CD的延長線交于點F，若AB＝4cm，求△APF的面積．參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分.在每小題給中，只有一項符合題目要求）1．（3分）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最簡二次根式；B、＝5；C、＝，故此選項不符合題意；D、，故此選項不符合題意；故選：A．2．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C不都能找到一個點，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合．故選：D．3．（3分）為了使課間十分鐘活動更加豐富有趣，班長打算先對全班同學喜歡的活動項目進行民意調(diào)．下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中，他最應該關(guān)注的是（）A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．加權(quán)平均數(shù)【解答】解：此問題應當看最喜歡的活動項目的人最多，應當用眾數(shù)．故選：A．4．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：×＝，故A錯誤；＝5，故B正確；÷＝，故C錯誤；5與2，故D錯誤；故選：B．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝3【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣6x＝7，x2﹣8x+4＝7+4，（x﹣2）2＝11，故選：C．6．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝2×360°，解得：n＝2，即這個多邊形是六邊形，故選：C．7．（3分）若用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，則首先應該假設(shè)這個四邊形中（）A．至少有一個角是鈍角或直角 B．沒有一個角是銳角 C．每一個角都是鈍角或直角 D．每一個角是銳角【解答】解：用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，首先應該假設(shè)這個四邊形中每一個角是銳角，故選：D．8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD，O是AC、BD的交點，若△CDE的周長為11cm，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝CD，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∵△CDE的周長為11cm，∴△CDE的周長為：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝11cm．∴?ABCD的周長為2（AD+CD）＝2×11＝22厘米，故選：B．9．（3分）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若a﹣b+c＝0，則它有一根為﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c＝0兩個不相等的實數(shù)根；其中正確的是（）A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②【解答】解：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac6+bc+c＝0，當c≠0時，所以①錯誤；②若方程ax6+c＝0有兩個不相等的實根，則Δ＝﹣4ac＞7，因為方程ax2+bx+c＝0的根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，所以②正確；③若a﹣b+c＝0時，則b＝a+c5﹣4ac＝（a+c）2﹣8ac＝（a﹣c）2，，解得，x2＝﹣8，所以③正確；④若b＝2a+3c，則Δ＝b4﹣4ac＝（2a+4c）2﹣4ac＝6a2+8ac+6c2＝4（a+c）7+5c2＞4，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確．故選：A．10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，E是邊DC延長線上一點，連接BE，連接FC，則FC的最小值是（）A． B．2 C． D．【解答】解：延長AB到點G，使BG＝BC，過點G作GH⊥DE，過點C作CM⊥BG，∴∠BMC＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝4，CD∥AB，∴∠CBM＝∠A＝60°，∴∠BCM＝90°﹣∠CBM＝30°，∴BM＝BC＝2BM＝5，∵CD∥AB，∴CM＝GH＝2，∵△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝60°，∴∠FBE﹣∠CBE＝∠CBG﹣∠CBE，∴∠FBC＝∠EBG，∴△FBC≌△EBG（SAS），∴FC＝EG，∴當GE最小時，CF也最小，∵當點E與H重合時，GE最小，∴CF的最小值為2，故選：D．二、填空題（每小題4分，共24分）.11．（4分）當有意義時，x的取值范圍是x≥﹣1．【解答】解：由題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣6，故答案為：x≥﹣1．12．（4分）為弘揚傳統(tǒng)文化，某校在讀書節(jié)舉行了“詩詞競賽”，某班20名同學參加了此次競賽，則全班20名同學的成績的中位數(shù)是90．人數(shù)2774成績（分）708090100【解答】解：把這20名同學的成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是90，所以全班20名同學的成績的中位數(shù)是＝90．故答案為：90．13．（4分）有一邊長為3的等腰三角形，它的兩邊長是方程x2﹣4x+k＝0的兩根，則k＝3或4．【解答】解：當該等腰三角形的腰長是3時，根據(jù)韋達定理知3+x4＝4，∴x2＝6，∴x1?x2＝2＝k，即k＝3；當該等腰三角形的腰長不是3時，Δ＝16﹣5k＝0，解得，k＝4；綜上所述，k＝8或k＝4．故答案為：3或8．14．（4分）已知樣本x1，x2，…xn的平均數(shù)是5，方差是3，則樣本3x1+5，3x2+52，…3xn+5的方差是27．【解答】解：∵樣本x1，x2，…，xn的方差是7，∴樣本3x1+8，3x2+7，…，3xn+5的方差是82×3＝27．故答案為：27．15．（4分）如圖，EF是△ABC的中位線，BD平分∠ABC交EF于點D，DF＝1，則邊BC的長為8．．【解答】解：∵EF是△ABC的中位線，AE＝3，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝7，∵DF＝1，∴EF＝ED+DF＝3+4＝4，∴BC＝8，故答案為8．16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝30°，將△ABC沿AC翻折至△AB'C，連接B'D．當BC長為6或4或3時，△AB'D是直角三角形．【解答】解：①如圖1，延長B'A，當∠B'AD＝90°時，∵AD＝BC，BC＝B'C，∴AD＝B'C，∵AD∥BC，∠B'AD＝90°，∴∠B'GC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AB'C＝30°，∴GC＝B'C＝，∴G為BC中點，∴BG＝，∴BC＝6，②如圖2，設(shè)B'C與AD相交于點F，∵AD＝BC，BC＝B'C，∴AD＝B'C，∵AB'＝AB＝CD，AC＝CA，∴△ACB'≌△CAD（SSS），∴∠DAC＝∠B'CA，∴FA＝FC，∵AD＝B'C，∴FB'＝FD，∴∠FB'D＝∠FDB'，∵∠AB'C＝∠B＝∠CDA，∴∠AB'D＝∠CDB'，∵∠AB'D＝90°，∴∠CDB'＝90°，∴AB'∥CD，∵AB∥CD，∴B，A，B'在同一直線上，∴∠BAC＝∠B'AC＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴BC＝；③如圖6，當∠ADB′＝90°時，由折疊可知，∠B＝∠ADC＝∠AB′C＝30°，BC＝B′C＝AD，∴∠ODB′＝60°，∵∠AOD＝∠B′OC，∴△AOD≌△COB′（AAS）∴OD＝OB′，∴△ODB′是等邊三角形，∴∠DB′C＝90°，同理可得∠ACB′＝90°，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝AB＝3．綜上所述，BC的長為6或8或3．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝3﹣2+＝；（2）＝7﹣5＝﹣1．18．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）（2x+1）＝（x﹣3）2．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣3x＝1，x2﹣3x+1＝1+3，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x7＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣4）（2x+1）＝（x﹣5）2，（x﹣3）（2x+1）﹣（x﹣3）8＝0，（x﹣3）（3x+1﹣x+3）＝5，（x﹣3）（x+4）＝6，x﹣3＝0或x+4＝0，x1＝2，x2＝﹣4．19．（8分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形ABC如圖所示．（1）請作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A'B'C'；（2）在網(wǎng)格圖中作出?ABCD．（3）寫出點A'的坐標．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求．（2）如圖，?ABCD即為所求．（3）點A'的坐標為（﹣1，1）．20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G．求證：OG＝OH．【解答】解：取BC邊的中點M，連接EM，∵M、F分別是BC，∴MF∥BD，MF＝，同理：ME∥AC，ME＝，∵AC＝BD，∴ME＝MF，∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG，∴OG＝OH．21．（8分）2023年第19屆亞運會將在杭州舉行，某校舉辦了“迎亞運，展風采”知識競賽，學生得分均為整數(shù)，為了解學生對亞運知識的掌握情況，結(jié)果如下：七年級10名學生的競賽成績：94，83，94，96，94，95，87八年級10名學生的競賽成績：83，95，86，95，82，95，91對上述兩個年級各10名學生的競賽成績做如下分析：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級90b91d八年級a95c34.2根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請直接寫出a，b，c，d的值．（2）你認為上述七、八年級各10名學生的競賽成績哪個年級好？為什么？（3）圓圓說：“由樣本數(shù)據(jù)可以估計本次競賽七年級學生中肯定沒有同學得滿分”．你認為圓圓的說法正確嗎？請說明理由．【解答】解：（1）由題意得，a＝，七年級10名學生的競賽成績中，94出現(xiàn)的次數(shù)最多，把八年級10名學生的競賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是89，故中位數(shù)c＝，d＝[3×（94﹣90）2+（83﹣90）2+（85﹣90）2+（96﹣90）2+（88﹣90）2+（95﹣90）2+（87﹣90）2+（84﹣90）4]＝23.2；（2）七年級學生掌握的相關(guān)知識較好，雖然七、但是七年級的競賽成績的中位數(shù)比八年級的高，因此七年級學生掌握的相關(guān)知識較好；（3）圓圓的說法錯誤，因為樣本只代表部分數(shù)據(jù)．22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的一點，垂足為E，延長DE到F，使∠A＝∠F．（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形．（2）連接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，求四邊形ADFC的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，延長DE到F，∴AC∥DF，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠F，∴∠BDF＝∠F，∴CF∥AB，又∵AC∥DF，∴四邊形ADFC是平行四邊形；（2）解：∵CD平分∠ADE，∴∠ADC＝∠FDC，在△ADC和△FDC中，，∴△ADC≌△FDC（AAS），∴AD＝DF，由（1）得：四邊形ADFC是平行四邊形，∴S四邊形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，設(shè)EF＝x，則DE＝10﹣x，在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD5﹣DE2，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，∴122﹣（10﹣x）7＝102﹣x2，解得：x＝，∴CE＝＝＝，∴S四邊形ADFC＝3S△CDF＝2×DF?CE＝2×＝96．23．（10分）根據(jù)以下素材，完成探索任務．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB＝200米，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米.素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，每月可銷售5000平方米的草莓；受天氣原因，決定降價，若每平方米草莓平均利潤下調(diào)5元問題解決任務1解決果園中路面寬度的設(shè)計對種植面積的影響.（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求.任務2解決果園種植的預期利潤問題．（總利潤＝銷售利潤﹣承包費）（3）若農(nóng)戶預期一個月的總利潤為52萬元，則從購買草莓客戶的角度應該降價多少元？【解答】解：（1）根據(jù)題意得：5≤x≤12；（2）根據(jù)題意得：（300﹣2x）（200﹣3×2x）＝44800，整理得：x2﹣200x+1900＝8，解得：x1＝10，x2＝190（不符合題意，舍去），∵5≤10≤12，∴路面設(shè)置的寬度符合要求；（3）設(shè)每平方米草莓平均利潤下調(diào)y元，則每平方米草莓平均利潤為（100﹣y）元×500＝（5000+100y）平方米草莓，根據(jù)題意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000，整理得：y2﹣50y+400＝6，解得：y1＝10，y2＝40，又∵要讓利于顧客，∴y＝40．答：每平方米草莓平均利潤下調(diào)40元．24．（12分）已知在平行四邊形ABCD中，動點P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點A向點D運動．（1）如圖1，在運動過程中，若CP平分∠BCD，求∠B的度數(shù)．（2）如圖2，另一動點Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點C出發(fā)，P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止運動（同時Q點也停止），當運動時間為4.8秒或8秒或9.6秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．（3）如圖3，連結(jié)BP并延長與CD的延長線交于點F，CE平分∠ACF交BF于E點