3.2

一元二次不等式及其解法第1課時(shí)一元二次不等式及其解法實(shí)際問(wèn)題：不等關(guān)系數(shù)學(xué)問(wèn)題：不等式抽象概括刻畫(huà)蘇寧電器對(duì)某種本錢(qián)價(jià)為650元的電視機(jī)有一個(gè)促銷(xiāo)活動(dòng)：買(mǎi)一臺(tái)電視機(jī)，單價(jià)950元；買(mǎi)兩臺(tái)，單價(jià)是900元；依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)，單價(jià)降低50元。要使商店保持每次交易贏利不小于300元，問(wèn)每人最多買(mǎi)幾臺(tái)？一元二次不等式的概念〔1〕只含有一個(gè)未知數(shù)x；〔2〕未知數(shù)的最高次數(shù)為2.不等式有兩個(gè)特點(diǎn)：

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式.一元二次不等式的定義：

一元二次不等式的一般表達(dá)式為ax2+bx+c>0(a≠0)，或ax2+bx+c<0(a≠0)，其中a，b，c均為常數(shù).下面哪些是一元二次不等式〔其中a、b、c、m為常數(shù)〕.例1解：〔1〕〔2〕是；〔3〕〔4〕〔5〕不是.〔3〕不是，∵a=0時(shí)，不符合定義；〔4〕不是，x的最高次數(shù)是3，不符合定義；〔5〕不是，m=0時(shí)，是一元一次不等式;m≠0時(shí)，是二元一次不等式.一元二次不等式的解法怎樣求一元二次不等式

的解集？畫(huà)出二次函數(shù)的圖象〔1〕當(dāng)取時(shí)，y=0？當(dāng)時(shí)，y>0？當(dāng)時(shí)，y<0？y16x〔2〕由圖象可知：不等式的解集為.不等式的解集為.16xy一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系不等式的解集是什么？無(wú)實(shí)根的圖象有兩個(gè)不等實(shí)根有兩相等實(shí)根完成下表：例2〔1〕求不等式的解集.（2）求不等式的解集.（3）求不等式的解集.解一元二次不等式的一般步驟：1、化標(biāo)準(zhǔn)：將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式〔右邊為0、最高次的系數(shù)為正〕；2、考慮判別式：計(jì)算判別式的值，假設(shè)值為正，那么求出相應(yīng)方程的兩根；3、下結(jié)論：注意結(jié)果要寫(xiě)成集合或者區(qū)間的形式簡(jiǎn)記為：大于在兩邊，小于在中間.由圖象得出不等式的解集.練習(xí)1.解以下不等式∴原不等式可化為所以原不等式的解集為而的圖象開(kāi)口向上，〔2〕不等式可化為∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所以原不等式的解集為〔3〕原不等式化為所以不等式的解集是∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根〔4〕原不等式可化為

所以不等式的解集是【例3】

已知x2＋px＋q<0的解集為?íìtyüx︳－12<x<13，求解不等式qx2＋px＋1>0

解：因?yàn)閤2＋px＋q<0的解集為?íìtyüx－12<x<13，

所以x1＝-－12與x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

方法點(diǎn)評(píng)：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解．【例3】當(dāng)a為何值時(shí)，不等式〔a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全體實(shí)數(shù)？【標(biāo)準(zhǔn)解答】〔1〕當(dāng)a2-1=0，即a=±1時(shí)，假設(shè)a=1，那么原不等式為-1<0,恒成立.假設(shè)a=-1，那么原不等式為2x-1<0,即x<不符合題目要求，舍去.

探究三〔2〕當(dāng)a2-1≠0,即a≠±1時(shí)，原不等式的解集為R的條件是解得<a<1.綜上所述，當(dāng)<a≤1時(shí)，原不等式的解為全體實(shí)數(shù).【互動(dòng)探究】假設(shè)把不等式改為“(a2-1)x2-(a-1)x+1>0”怎樣求a的取值范圍.【解析】〔1〕當(dāng)a2-1=0,即a=±1時(shí)，假設(shè)a=1，那么原不等式化為1>0,恒成立.假設(shè)a=-1，那么原不等式化為2x+1>0,即x>不符合題意，舍去.〔2〕當(dāng)a2-1≠0時(shí)，即a≠±1時(shí)，原不等式解集為R的條件是解得a<或a>1.綜上所述，當(dāng)a<或a≥1時(shí)，原不等式解集為R.含參不等式恒成立的問(wèn)題提升總結(jié)（1）一元二次不等式恒成立.（2）一元二次不等式恒成立.（4）一元二次不等式

恒成立.（3）一元二次不等式恒成立.【例4】假設(shè)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．錯(cuò)解：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，

探究三錯(cuò)因分析：當(dāng)a－2＝0時(shí)，原不等式不是一元二次不等式，不能應(yīng)用根的判別式，應(yīng)當(dāng)單獨(dú)檢驗(yàn)不等式是否成立．【例4】假設(shè)不等式(a－2)x