§8.5直線、平面垂直的判定與性質1．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內的_________直線都垂直，則直線l與平面α垂直．任意一條(2)判定定理與性質定理2.平面與平面垂直(1)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_________，就說這兩個平面互相垂直．直二面角(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(

)(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(

)(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(

)【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

1．(教材改編)下列命題中不正確的是(

)A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

【解析】

根據面面垂直的性質，知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內．【答案】

A2．設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】

若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根據兩個平面垂直的性質定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.【答案】

A3．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(

)A．若l⊥β，則α⊥β

B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m【解析】

∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．【答案】

A4．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F，則

①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；②四邊形BFD′E有可能是正方形；③四邊形BFD′E在底面ABCD內的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上結論正確的為________．(寫出所有正確結論的編號)【解析】

根據兩平面平行的性質定理可得BFD′E為平行四邊形，①正確；若四邊形BFD′E是正方形，則BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，與已知矛盾，②錯；易知四邊形BFD′E在底面ABCD內的投影是正方形ABCD，③正確；當E，F分別為棱AA′，CC′的中點時，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正確．故填①③④.【答案】

①③④

(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.【證明】

(1)因為AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因為AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD.因為PD＝AD，所以MD⊥PA.因為AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因為PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.角度二利用線面垂直的性質證明線線垂直【例2】

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【證明】

(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因為AC?平面B1AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.【思維升華】

證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．跟蹤訓練1

如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.【證明】

(1)如圖所示，取AB的中點E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.

題型二平面與平面垂直的判定與性質【例3】

(2017·全國Ⅰ卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.【解析】

(1)證明

由已知∠BAP＝∠CDP＝90°得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖，在平面PAD內作PE⊥AD，垂足為E.【思維升華】

(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．跟蹤訓練2

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【證明】

(1)由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．(2)過P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高．【思維升華】

垂直關系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．(2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用．(3)垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積．跟蹤訓練3

如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA＝6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G.

(1)證明：G是AB的中點；(2)作出點E在平面PAC內的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．【解析】

(1)證明

因為P在平面ABC內的正投影為D，所以AB⊥PD.因為D在平面PAB內的正投影為E，所以AB⊥DE.因為PD∩DE＝D，PD，DE都在平面PED內，所