黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)盟校2020年高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)能力測試考試時(shí)間：120分鐘總分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的），且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先求出集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】由1?0=1,0?1=?1,1?1=0?0=0，故由題意可知：，結(jié)合交集的定義可知：故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再求其點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的象限即可.【詳解】因?yàn)椋栽趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何意義，屬于簡單題.，滿足，，且，則向量與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出向量的模，然后對(duì)兩邊平方，得到向量的數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，得，設(shè)向量與的夾角為，則，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.10 B.9 C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域，看目標(biāo)函數(shù)的截距即可【詳解】解：作可行域如圖：由得，當(dāng)過，截距最大，此時(shí)故選：B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃求最大值，基礎(chǔ)題.的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項(xiàng)的和為（）A.64 B.22 C.48 D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果．【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)公差（）．若，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以的前8項(xiàng)和為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.華羅庚是上世紀(jì)我國偉大的數(shù)學(xué)家，以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”、“華氏不等式”、“華王方法”等.他除了數(shù)學(xué)理論研究，還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”.“優(yōu)選法”，是指研究如何用較少的試驗(yàn)次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學(xué)方法.在當(dāng)前防疫取得重要進(jìn)展的時(shí)刻，為防范機(jī)場帶來的境外輸入，某機(jī)場海關(guān)在對(duì)入境人員進(jìn)行檢測時(shí)采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率：每16人為組，把每個(gè)人抽取的鼻咽拭子分泌物混合檢查，如果為陰性則全部放行；若為陽性，則對(duì)該16人再次抽檢確認(rèn)感染者.某組16人中恰有一人感染（鼻咽拭子樣本檢驗(yàn)將會(huì)是陽性），若逐一檢測可能需要15次才能確認(rèn)感染者.現(xiàn)在先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認(rèn)定在另一組；若為陽性，則認(rèn)定在本組.繼續(xù)把認(rèn)定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查……以此類推，最終從這16人中認(rèn)定那名感染者需要經(jīng)過（）次檢測.A.3 B.4 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】類比二分法，將16人均分為兩組，選擇其中一組進(jìn)行檢測，再把認(rèn)定的這組的8人均分兩組，選擇其中一組進(jìn)行檢測，以此類推，即可得解.【詳解】先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認(rèn)定在另一組；若為陽性，則認(rèn)定在本組，此時(shí)進(jìn)行了1次檢測.繼續(xù)把認(rèn)定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查，為陰性則認(rèn)定在另一組；若為陽性，則認(rèn)定在本組，此時(shí)進(jìn)行了2次檢測.繼續(xù)把認(rèn)定的這組的4人均分兩組，選其中一組2人的樣本混合檢查，為陰性則認(rèn)定在另一組；若為陽性，則認(rèn)定在本組，此時(shí)進(jìn)行了3次檢測.選認(rèn)定的這組的2人中一人進(jìn)行樣本混合檢查，為陰性則認(rèn)定是另一個(gè)人；若為陽性，則認(rèn)定為此人，此時(shí)進(jìn)行了4次檢測.所以，最終從這16人中認(rèn)定那名感染者需要經(jīng)過4次檢測.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是二分法的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，，，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，定義域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，由，，所以即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.所有的棱都相等，過與平行的平面與交于點(diǎn)，則與所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要求異面直線與所成角，又，根據(jù)異面直線所成的角的定義可知就是與所成角，而平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合是的中點(diǎn)，可得是的中點(diǎn)，在正中即可求出的大小.【詳解】設(shè)，連接，由平面，平面，平面平面，所以，由是的中點(diǎn)，得是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以就是與所成角，因?yàn)闉檎切?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查求異面直線所成的角，同時(shí)考查線面平行的性質(zhì)定理，屬于中檔題.，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)倍角公式和輔助角公式化簡，得，求周期可直接判斷A的正誤；求看是否為，確定對(duì)稱中心，判斷B是否正確；求出的取值范圍，判斷的單調(diào)性，判斷C是否正確；把代入，看是否取得最值，即得的正誤.【詳解】.對(duì)A，的最小正周期為，故錯(cuò)誤；對(duì)B，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，在正確；對(duì)，，不是最值，故錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸等性質(zhì)，屬于中檔題.，，在球的球面上，，，，直線與截面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系和余弦定理可證為直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，由球的性質(zhì)可知平面，由線面角的概念可知，在中可求出球的半徑，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，在中，，，由余弦定理可知，，所以，所以為直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由題意可知平面，又直線與截面所成的角為，所以，在中，，所以，即球的半徑為，所以球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．，拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線的準(zhǔn)線，為拋物線上一點(diǎn)，過作，點(diǎn)為垂足，過作的垂線，與交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合拋物線定義，轉(zhuǎn)化說明的最小值就是的距離的最小值.【詳解】解：由題意可知，直線為，根據(jù)拋物線的定義可得，所以為的垂直平分線，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取等號(hào)，所以的最小值為故選：D【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力，屬于中檔題.的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】原題等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，即可求得答案【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則原題等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故，由，，故當(dāng)時(shí)，故的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的對(duì)稱性，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值的求解，在利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的過程中，要注意定義域的范圍．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，共20分）的一條切線的斜率是3，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)曲線的切線斜率即對(duì)應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，令導(dǎo)數(shù)，解得x的值，結(jié)合函數(shù)定義域即可得解．【詳解】解：，，，解得（舍去）或，所以，故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線上某點(diǎn)處的切線斜率的意義以及函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.14.2019年7月1，《上海市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“濕垃圾”、“干垃圾”分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，沒有對(duì)垃圾分類或未投放到指定垃圾桶內(nèi)都會(huì)被處罰.若某上海居民提著廚房里產(chǎn)生的“濕垃圾”隨意地投放到樓下的“可回收物”、“有害垃圾、“濕垃圾”，“干垃圾”四個(gè)垃圾桶內(nèi)，則該居民會(huì)被處罰的概率為______.【答案】【解析】【分析】由已知隨意投放有4中，錯(cuò)誤投放有3種，即可求解.【詳解】“濕垃圾”隨意地投放到樓下的“可回收物”、“有害垃圾、“濕垃圾”、“干垃圾”四個(gè)垃圾桶內(nèi)，有4種投放方法，被處罰的投放有“可回收物”、“有害垃圾、“干垃圾”3種投法，該居民會(huì)被處罰的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】求出直線與漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)向量關(guān)系得到的一個(gè)等量關(guān)系，從而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.不妨設(shè)直線的方程為，由可得，所以.由可得，所以，因?yàn)?，故，整理得到即，故，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，此類問題，一般是尋找的一個(gè)等量關(guān)系即可，關(guān)系的構(gòu)建依靠坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系.16.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以、、、、系列和系列，其中系列的幅面規(guī)格為：①、、、…、所有規(guī)格的紙張的幅寬（以表示）和長度（以表示）的比例關(guān)系都為；②將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，…，如此對(duì)開至、、、…、紙的寬度為，則紙的長度為______；、、…、八張紙的面積之和等于______.【答案】(1).8(2).【解析】【分析】可設(shè)的紙張的長度為，則數(shù)列成以為公比的等比數(shù)列，設(shè)的紙張的面積，則數(shù)列成以為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的首項(xiàng)，并利用等比數(shù)列的求和公式求出答案.【詳解】可設(shè)的紙張的長度為，面積為，的長度為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，紙的寬度為，則，紙的長度為所以紙的長度為所以，紙的面積為，又，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，這8張紙的面積之和等于.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列應(yīng)用題的解法，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題（60分）17.如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）求證:平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn).由已知可以證明出四邊形是等腰梯形，利用勾股定理的逆定理通過計(jì)算可以證明出，結(jié)合已知的線面垂直關(guān)系，可以得到，這樣通過線面垂直的判定定理和面面垂直的判斷定理證明即可；（2）利用三棱錐的體積公式和三棱錐的體積性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn).因?yàn)?，所以四邊形是等腰梯形，可得，所以，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）.因?yàn)槿忮F的體積為，所以解得.在中，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，考查了三棱錐體積公式的應(yīng)用，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，利用余弦定理求角；（2）由用正弦定理化為角的關(guān)系，由，，轉(zhuǎn)化為只含角的方程，化簡求出角，求出.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得，∵，∴.（2）∵，由正弦定理得：，又，，∴，整理可得：，即，∴，由，，所以，，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角和差公式，輔助角公式，還考查了分析推理能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.某生活超市有一專柜預(yù)代理銷售甲乙兩家公司的一種可相互替代的日常生活用品．經(jīng)過一段時(shí)間分別單獨(dú)試銷甲乙兩家公司的商品，從銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)各抽取50天，統(tǒng)計(jì)每日的銷售數(shù)量，得到如下的頻數(shù)分布條形圖．甲乙兩家公司給該超市的日利潤方案為：甲公司給超市每天基本費(fèi)用為90元，另外每銷售一件提成1元；乙公司給超市每天的基本費(fèi)用為130元，每日銷售數(shù)量不超過83件沒有提成，超過83件的部分每件提成10元．（Ⅰ）求乙公司給超市的日利潤（單位：元）與日銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）若將頻率視為概率，回答下列問題：（1）求甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過87件的概率；（2）如果僅從日均利潤的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為超市作出抉擇，選擇哪家公司的產(chǎn)品進(jìn)行銷售？并說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）超市應(yīng)代理銷售乙公司的產(chǎn)品較為合適．【解析】【分析】（Ⅰ）分別在和兩種情況下得到關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)果；（Ⅱ）（1）利用頻率的計(jì)算方式可求得對(duì)應(yīng)的概率；（2）分別計(jì)算甲、乙兩公司給到超市的日利潤的平均數(shù)，選擇平均數(shù)較大的產(chǎn)品進(jìn)行銷售.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，；乙公司給超市的日利潤（單位：元）與銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系為：.（Ⅱ）（1）記事件：“甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過87件”，則；（2）甲公司給超市的日利潤為元，則的所有可能取值為，，，，，（元）；設(shè)乙公司給超市的日利潤為元，則的所有可能取值為，，，，，則（元）；，所以超市應(yīng)代理銷售乙公司的產(chǎn)品較為合適．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)關(guān)系式的求解、利用頻數(shù)條形圖計(jì)算頻率、頻數(shù)條形圖的實(shí)際應(yīng)用問題；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確讀懂頻數(shù)條形圖，屬于基礎(chǔ)題型.：的上頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，的面積為，直線的斜率為.為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的面積為可得，，由直線的斜率為，有，再根據(jù)，可解得的值，得到橢圓方程.

（2）設(shè)直線的方程為，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，由，得出點(diǎn)坐標(biāo)，再由，得為的垂直平分線與的交點(diǎn)，所以，根據(jù)由得出斜率的值,從而得出直線方程.【詳解】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以由直線的斜率為,則，又，所以，，故橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，可得，解得或，所以，，設(shè)，有，，由，得，所以，解得，由，得為的垂直平分線與的交點(diǎn)，所以，由，得，得，解得，所以，直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)條件求橢圓的方程，考查方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線的垂直關(guān)系求解直線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及即可確定函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）分和兩種情況，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，由求解即可．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．所以，在上單調(diào)遞減，又，∴有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅱ）∵，．（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意．（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)即時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，符合題意，∴．當(dāng)即時(shí)，有兩不等實(shí)根，設(shè)為因