數(shù)學史概論主講：張啟慧信息工程大學理學院第一章數(shù)學的起源與早期發(fā)展§1.1數(shù)與形概念的產(chǎn)生§1.2河谷文明與早期數(shù)學1.2.1埃及數(shù)學1.2.2美索不達米亞數(shù)學§1.1數(shù)與形概念的產(chǎn)生審美意識的萌芽形的概念形成人類生活與生產(chǎn)實踐的需要有-無多-少對應原則實物計數(shù)口頭計數(shù)數(shù)字結繩書契掐指記數(shù)語言產(chǎn)生文字產(chǎn)生記數(shù)法自然物形狀的意識算術自然模似思維發(fā)展語言產(chǎn)生文字產(chǎn)生結繩記事

結繩記事是我國原始公社時期的一種計量方法，是原始公社時期社會生產(chǎn)力發(fā)展到一定程度，由于社會生活的實際需要而產(chǎn)生的?！吨芤住は缔o下》：“上古結繩而治。”傳說結繩記事，始于伏羲時代。西漢時曾經(jīng)出現(xiàn)伏羲與女媧結繩的畫像；在東漢武梁祠的浮雕上還刻有“伏羲倉精，初造王業(yè)，畫卦結繩，以理海內(nèi)”的銘文。

1.1.1結繩記事

原始公社時期，代結繩記事而起的一種比較進步的計量方法是書契記數(shù)。《周易·系辭下》：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。百官以治，萬民以察。”“書”指文字，刻字在竹、木或龜甲、獸骨上以記數(shù)、記事，稱為“書契”。一般認為書契“初以記數(shù)為始，后以簡冊為斷?！蔽覀兎Q以數(shù)字為主體的經(jīng)濟記錄為“書契記數(shù)”。

1.1.2書契記數(shù)6捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）

1.1.3文字發(fā)明與數(shù)字的產(chǎn)生埃及象形文字中國殷商甲骨文字中國殷商甲骨文字中的數(shù)字古埃及數(shù)字瑪雅文明中的數(shù)字古希臘數(shù)字古羅馬數(shù)字1.1.4進位制與記數(shù)法

數(shù)系發(fā)展的第一個里程碑：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學家、數(shù)學史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字系統(tǒng)、埃及象形數(shù)字系統(tǒng)、希臘人字母數(shù)字系統(tǒng)、瑪雅數(shù)字系統(tǒng)、印度—阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)和中國的算籌記數(shù)系統(tǒng)。

法國著名數(shù)學家拉普拉斯（Laplace,1749–1827）曾經(jīng)寫道：

用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。書寫數(shù)系與數(shù)字進位制與數(shù)基簡單分群數(shù)系字碼數(shù)系乘法分群數(shù)系定位數(shù)系（位值制）b進制數(shù)字碼：0,1,2,3,…,(b-1)表示：N=anbn

+an-1bn-1

+…+a2b2

+a1b+a0

b進制數(shù)字碼：0,1,2,…,(b-1),b,b2,…,b進制----逢b進位數(shù)基：bb進制----逢b進位數(shù)基：b數(shù)字碼：0,1,2,3,…,數(shù)基：b數(shù)字碼：1,b,b2,…,bn

如：二萬三千四百五十六如：23456b進制數(shù)字碼：0,1,2,…,(b-1),b,2b,3b,…,(b-1)b,b2,2b2,3b2,…,(b-1)b2,…,各種記數(shù)法（埃及、巴比倫、希臘、羅馬）（中國、印度）（希臘）（中國早期）萌芽于對形的直覺古埃及幾何學產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量古代印度幾何學與宗教實踐密切相關古代中國幾何學與天文測量相聯(lián)系1.1.5幾何學§1.2河谷文明與早期數(shù)學1.2.1埃及數(shù)學埃及分為三個主要時期：古王朝時期(西元前2613-2160)，中王朝時期(西元前2040-1750)以及新王朝時期(西元前1550-1086)。古埃及人建立了一個超過3000年的文明，經(jīng)過統(tǒng)計，在這段時期中至少曾有過五千萬人生活在這塊土地上19萊茵德紙草書(1650B.C.)20莫斯科紙草書舉個例子說，埃及人已經(jīng)會解一元一次方程。例如，我們研究方程8X=19。運用現(xiàn)代的知識我們?nèi)菀捉獬鲞@個方程，得到X=19/8。

于是，需要用一個數(shù)去除另一個數(shù)。埃及人作了這個除法，而且除的相當特別。他們把除數(shù)8加倍，以便得到一個小於19，如果再加倍就大于19的一個數(shù)，然后逐次二等分，直到得出一個單位數(shù)1為止。這樣的單位數(shù)在我們的例子中是一定能夠得到的，因為除數(shù)8是2的三次冪。

這8可以表示成如下的形式：

8----1

16----2

4----1/2

2----1/4

1----1/8

在左邊的數(shù)中，我們能得到其和為19的數(shù)，就是16+2+1=19，將16，2，1所對應的右邊的數(shù)加在一起，就是解答：

X=2+1/4+1/8

這樣的除法稱為雙軌程序。

在除數(shù)不是2的冪這種情況下怎么辦呢？譬如，33/7，仍然利用雙軌程序，把除數(shù)7加倍使其盡可能大的倍數(shù)小于33，得到33=4X7+5，把5寫成2X2+1，推出5/7=2X2/7+1/7，對于2/7這樣的數(shù)來說，有專門的展開的表。根據(jù)這些表，2/7=1/4+1/28，這必須分解為一些分子等于1的分數(shù)，這樣的分數(shù)叫做單位分數(shù)。埃及人沒有有理數(shù)的一般概念，他們把分子為1的分數(shù)看作是從中選取相應部分的對象的一種特殊性質(zhì)。于是：

5/7=2X（1/4+1/28）+1/7=1/2+1/7+1/14

最后，得到：

33/7=4+1/2+1/7+1/14。

埃及人還會計算圓的面積。他們相當出色地選取了π的近似值：=3.1605這是一個巨大的成就，因為他們同時代的巴比倫人取π等于3，這太不精確了。但是，埃及人通過取對邊和的一半相乘來求任意四邊形的面積，這也是很不精確的。

令人感到意外的是，埃及人能夠完全精確地計算平截頭棱錐體的體積。這是非常令人吃驚的，因為這種計算需要達到的數(shù)學水平比埃及人當時的水平還要高。后來的希臘人經(jīng)過漫長的時間才達到了這個水平。

根據(jù)希臘作者的敘述，在埃及專門有一種測量土地的人，在希臘人的說法中，測量土地的工具有“拖繩“或“拉繩“的意思。這些繩子大概是用來做直角的，繩子用結扣分成12等分。如果由這些等分組成一個各邊邊長分別為3，4，5等分的三角形，那么3等分和4等分的兩邊所夾的角就是直角（符合畢達格拉斯逆定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形是直角三角形）。

埃及人運用的所有的數(shù)學法則都帶有極端的經(jīng)驗主義的性質(zhì)，這些法則既沒有任何定理，也沒有任何證明。

1.2.2美索不達米亞數(shù)學第一組大約在公元前2100年蘇美爾文化末期。第二組數(shù)量很大，從漢莫拉比時代（公元前1792-1750）即第一代巴比倫王朝開始，直到大約公元前1600年。

第三組內(nèi)容豐富,大約從公元前600年-直到公元300年,包括內(nèi)布恰德內(nèi)扎爾的新巴比倫帝國與隨后的波斯和塞流西得時代。

（1）楔形文字普林頓322號泥板書

在最古老的書板上顯示了巴比倫人高水平的計算能力，表明他們很早就有了六十進位制。古巴比倫人最初用石塊、繩結記事，后來又用手指計數(shù)。一個指頭代表1，兩個指頭代表2，…，到數(shù)到10時，就要重新開始。由此巴比倫人產(chǎn)生了“逢十進一”的概念。又因為，一年中月亮有12次圓缺，一只手又有5個手指頭，12×5＝60，這樣他們就又有了每隔60進一的計數(shù)法。在泥版上，巴比倫人用“▼”表示1，用“<”表示10，其他數(shù)通過▼和<的組合實現(xiàn)。比如35，就用：

<<<▼▼

▼▼▼

（2）古巴比倫的商業(yè)數(shù)學這種計數(shù)方法也影響了后人，我們現(xiàn)在的十進制和六十進制，就從這里來的。比如，1米＝10分米，1分鐘＝60秒。

巴比倫人掌握了很多計算方法,許多算術程序是借助各種各樣的表來實現(xiàn)的。在400塊數(shù)學書板中，有一多半是表，有乘法表、倒數(shù)表、平方表和立方表，甚至還有指數(shù)表。指數(shù)表可能是和插值法一起用來解決復利問題的。倒數(shù)表則用于把除法化為乘法。

（2）古巴比倫的商業(yè)數(shù)學

巴比倫泥版上有這樣一個問題：兄弟10人分5/3米那的銀子（米那和后面的賽克爾都是巴比倫人的重量單位，其中1米那＝60賽克爾），相鄰的兄弟倆，比如老大和老二、老二和老三，……，所分銀子的差相等，而且老八分的銀子是6賽克爾，求每人所得的銀子數(shù)量。從這個例子可以看出，巴比倫人已經(jīng)知道了"等差數(shù)列"這個概念。

下述事實證明巴比倫人很早就已使用日歷。他們的年是從春分開始的。并且一月是以金牛座命名的，由于在公元前4700年左右春分時太陽在金牛座。因此說巴比倫人遠在公元前四、五千年就有了某種歷法推算，似乎不無道理。巴比倫幾何學是與實際測量有密切聯(lián)系的。從許多具體例子可以看到，巴比倫人在公元前2000到1600年，就已熟悉了計算長方形面積、直角三角形和等腰三角形（也許還不知道一般三角形）面積，有直角梯形面積、長方形的體積，以及以特殊梯形為底的直棱柱體積的一般規(guī)則。

（3）巴比倫的幾何學

這塊3800年前的泥板用楔形文字和圖案列出了一系列幾何練習題，年輕的巴比倫學生被要求計算出正方形內(nèi)各個不同面積。

他們知道取直徑的三倍為圓周，取圓周平方的1/12為圓面積，還用底和高相乘的方法求得直圓柱的體積。他們也知道，兩個相似的直角三角形的對應邊成比例，過等腰三角形頂點所作的底邊的垂線平分底邊，內(nèi)接于半圓的角是直角。他們還知道畢達哥拉斯定理。在一個最近發(fā)現(xiàn)的書板上，是用25/8作為π的估計值。亞述-巴比倫時期的楔形文字

“畢達哥拉斯定理”巴比倫幾何學的主要特征是它的代數(shù)性質(zhì)。一些比較復雜的問題雖然是以幾何術語來表達的，但實質(zhì)上還是一些特殊的代數(shù)問題。有許多問題涉及平行于直角三角形的一條邊的橫截線，它們就引出二次方程；還有一些問題引出了聯(lián)立方程組，其中一例就給出了含十個未知數(shù)的十個方程。有一塊耶魯書板，大概是公元前1600年的，在那上面有一個一般三次方程，是在討論棱錐的平截頭體的體積時出現(xiàn)的。但是最為重要的是，我們現(xiàn)在把圓周分成360等分，無疑應當歸功于古代巴比倫人。

為什么選定這個數(shù)？有幾種解釋，但是比較起來還是考古學家O·諾伊格包爾提倡的那種說法似乎更有道理。他認為，在蘇美爾文化初期，曾有一種大的距離單位-巴比倫里差不多等于現(xiàn)在的英里的七倍。由于巴比倫里被用來測量較長的距離，很自然，它也成為一種時間單位，即走一巴比倫里所需的時間。

后來，在公元前一千年內(nèi)，當巴比倫天文學達到了保存天象系統(tǒng)記錄的階段時,巴比倫時間-里，就是用來測量時間長短的，因為發(fā)現(xiàn)一整天等于12個時間-里，并且一整天等于天空轉一周；所以，一個完整的圓周被分為12等分，但是，為了方便起見，把巴比倫里分為30等分。于是我們便