高三數(shù)學(xué)自主招生輔導(dǎo)課件第二講三角函數(shù)主要內(nèi)容提煉第2頁,共115頁，2024年2月25日，星期天定義同角三角函數(shù)的基本關(guān)系圖象性質(zhì)單位圓與三角函數(shù)線誘導(dǎo)公式Cα±βSα±β、Tα±βy=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B圖象萬能公式和差化積公式積化和差公式Sα/2=Cα/2=Tα/2=S2α=C2α=T2α=正弦定理、余弦定理、面積公式降冪公式第3頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共115頁，2024年2月25日，星期天三角解題常規(guī)宏觀思路分析差異尋找聯(lián)系促進(jìn)轉(zhuǎn)化指角的、函數(shù)名稱的、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異利用有關(guān)公式，建立差異間關(guān)系活用公式，差異轉(zhuǎn)化，矛盾統(tǒng)一第9頁,共115頁，2024年2月25日，星期天1、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化；2、見切割，想化弦；個別情況弦化切；3、見和差，想化積；見乘積，化和差；4、見分式，想通分，使分母最簡；5、見平方想降冪，見“1±cosα”想升冪；6、見sin2α，想拆成2sinαcosα；7、見sinα±cosα或想兩邊平方或和差化積8、見asinα+bcosα，想化為9、見cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，則化和差微觀直覺10、見cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)····，想乘

sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q第10頁,共115頁，2024年2月25日，星期天一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等．這里以單調(diào)性為最難．它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用．二、三角恒等變形三、三角形內(nèi)問題四、三角不等式第11頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第一課時商丘市一高奧賽+自主招生+保送生培訓(xùn)專題cherdy第12頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例1】求函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間?！纠?】若φ∈（0，），比較sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ這三者之間的大小。解：∵在（0，）中，sinx<x<tanx，而0<cosx<1<∴sin(cosφ)<cosφ?！咴冢?，）中，y=cosx單調(diào)遞減，∴cosφ<cos(sinφ)?！鄐in(cosφ)<cosφ<cos(sinφ)。原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ+，kπ+]（k∈Z）。第13頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例6】

n∈N，n≥2，求證：cos·cos

·····cos>證明：∵0<<<···<<<1∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=k=2，3，…，n。∴(cos·cos·····cos)2>()·()···()=()>>()2，

∴cos·cos·····cos>第14頁,共115頁，2024年2月25日，星期天解法一：令β

=-θ，則(1)÷(2)得tan=，cos(α+θ)=，∴sinαcosβ=sinαsinθ=-[cos(α+θ)+cos(α-θ)]=-【例8】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。解法二：平方相加，平方相減，積化和差可得。第15頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例9】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數(shù)，0<θ<π，求θ。解法一：由偶函數(shù)的定義，可得(cosθ+sinθ)sinx=0對任意x∈R成立?！郼osθ+sinθ=0，2sin(θ+)=0，∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ=。解法二：由f(-)=f()，得θ=然后驗(yàn)證f(x)是偶函數(shù)。第16頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例10】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩根α、β，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，以及α+β的值。解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin(x+)=-。令t=x+，則t∈(，)，sint=-作出函數(shù)y=sint，t∈(，)的圖象：，。,由圖象可以看出：當(dāng)-1<-

<1且-≠即-2<a<-或－<a<2時，sint=-

有相異兩根t1、t2，原方程有相異兩根α、β，并且當(dāng)-2<a<-時，t1+t2=(α＋）+（β+

)=π，α+β=當(dāng)-

<a<2時，t1+t2=(α+

)+(β+

)=3π，α+β=第17頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例11】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得cos4θ=()2=

(1+2cos2θ+cos22θ)=+cos2θ+cos4θ，∴cos420°+cos440°+cos480°=×3+(cos40°+cos80°+cos160°)+(cos80°+cos160°+cos320°)=+(cos40°+cos80°+cos160°)=+(2cos60°cos20°-cos20°)=第18頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第二課時商丘市一高奧賽+自主招生+保送生培訓(xùn)專題cherdy第19頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例12】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tan(x+y+z)+tanxtanytanz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)=-，同理，cos(y-z)=-，cos(z-x)=-∴x，y，z中任意兩角的終邊夾角為，不妨設(shè)x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，第20頁,共115頁，2024年2月25日，星期天∴x=z++2(m+n)π，x+y+z=3z+2(m+2n+1)π，∴s=tan(x+y+z)+tanxtanytanz=tan3z+tan(z+)tan(z+)tanz=tan3z+tan(z+)tan(z-)tanz=tan3z-tanztan(+z)tan(-z)=tan3z-tan3z=0?！菊f明】如能熟練運(yùn)用下列公式，可對解題帶來很大方便：sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，cosαcos(+α)cos(-α)=cos3α，tanαtan(+α)tan(-α)=tan3α。如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)=

第21頁,共115頁，2024年2月25日，星期天解法二：令A(yù)(cosx,sinx),B(cosy,siny),C(cosz,sinz).則A,B,C三點(diǎn)都在以原點(diǎn)O為圓心的單位園上，依題意，?ABC得重心坐標(biāo)為因此，?ABC的重心與外心重合，故?ABC為正三角形，O為正三角形中心，于是OA,OB,OC兩兩夾角為,即有x-y=+2k1,(k1)，y-z=+2k2,(k2)下同解法一，第22頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例13】已知對任意實(shí)數(shù)x，均有

求證：證首先，f(x)可以寫成

①其中是常數(shù)，且，

在①式中，分別令和得

②

③②+③，得

第23頁,共115頁，2024年2月25日，星期天又在①式中分別令，得

④

⑤

由④+⑤，得第24頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例14】如果0<,證明第25頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例15】、求函數(shù)的值域．解：顯然函數(shù)的定義域?yàn)閇4，6]，可設(shè)則．所以函數(shù)的值域?yàn)椋u述：求無理函數(shù)的值域，都可用本例的方法．第26頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例16】、求函數(shù)的值域．解：．令1－x=cosθ，θ∈[0，π]，則當(dāng)時，y取得最大值．當(dāng)θ=0時，y取得最小值．所以，函數(shù)的值域?yàn)椋?7頁,共115頁，2024年2月25日，星期天延伸：求值解：第28頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例21】、求的值解法二：構(gòu)造配對式，設(shè)x=,y=,xy==

第29頁,共115頁，2024年2月25日，星期天解法四:構(gòu)造方程：設(shè)cosx+cos2x==+2得x2=解法三：構(gòu)造方程，設(shè)x=,顯然x<0,平方，第30頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第三課時商丘市一高奧賽+自主招生+保送生培訓(xùn)專題cherdy第31頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例22】、求證：①

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=證明：①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66°

第32頁,共115頁，2024年2月25日，星期天②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=又

即

所以第33頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例23】、證明：對任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)（k=0，1，2，…，n，m為任一整數(shù)），有：．思路分析：本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng)．證明：．各項(xiàng)相加，得．評：“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：t第34頁,共115頁，2024年2月25日，星期天（3）自行探究第35頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【探究】、化簡分析：本題目的化簡是利用一個遞推模型來實(shí)現(xiàn)的，即找到這個題目的“源生地”．可先由產(chǎn)生分母cosαcos(α＋β)的正切函數(shù)之和入手．得到遞推模型：再求和，即得原式．第36頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例24】、證明：證明：各項(xiàng)相加得所以2n第37頁,共115頁，2024年2月25日，星期天評述：類似地，有利用上述公式可快速證明下列各式：7第38頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例25】、不查表，求的值．證法1：第39頁,共115頁，2024年2月25日，星期天證法2：令M=顯然N≠0，所以．第40頁,共115頁，2024年2月25日，星期天評述：一般地，有另本題證法2利用構(gòu)造對偶式解題，該法具有一定的普遍性，如可解下題：化簡cos2α＋cos2β－2cosαcosβcos(α＋β)．可令上式為M，構(gòu)造M對偶式M，N=sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos(α＋β)，分別計(jì)算M＋N，M－N從而求得M．第41頁,共115頁，2024年2月25日，星期天(類同例22（1））第42頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例26】、設(shè)求證：證明：作Rt△ABC，∠C為直角，∠A=θ，AC=cosβ－cosα，如圖所示：則由條件知BC=sinαsinβ．所以于是cos第44頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例27】、證明：（1）；（2）．證明：（1）觀察到是tan7θ=0的根，因而也是方程tan4θ=－tan3θ的根．注：一元n次方程得韋達(dá)定理1第45頁,共115頁，2024年2月25日，星期天ax3+bx2+cx+d

=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

=a[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]

對比系數(shù)得

-a(x1+x2+x3)=b

a(x1x2+x2x3+x1x3)=c

a(-x1x2x3)=d

即得

x1+x2+x3=-b/a

x1x2+x2x3+x1x3=c/a

x1x2x3=-d/a

一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的韋達(dá)定理的證明證明：第46頁,共115頁，2024年2月25日，星期天（2）由上可知是方程t3－21t2＋35t－7=0的根．所以．評述：一般地，有【探究】：設(shè)n為正整數(shù)，求證第47頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第48頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例28】求證：x為銳角，sinx+tanx＞2x解：故sinx+tanx＞2x第49頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例29】設(shè)，且，求乘積的最大值和最小值。解：由已知條件，x=于是,cosxsinycosz=當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=z=時，取等號，又cosxsinycosz=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時，等號成立。第50頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例30】若對恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解;2m(sinθ－1)<2－,2m(sinθ－1)<1+.（1）當(dāng)sinθ－1＜0時，m>.當(dāng)sinθ－1=,即sinθ=1－時,得到最大值，

m>1－（2）當(dāng)sinθ－1=0,即sinθ=1,2m.0<1恒成立，故當(dāng)m>1－時，原不等式對一切恒成立。第51頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【延伸】：已知，而sinθ,cosθ是方程的兩實(shí)根，求k和θ的值。解：由已知?得，又第52頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例31】已知，求下列各式的最值：（1）S=4x－9y＋3;(2)S=6xy＋x－9y－2。解：已知可化為，故可設(shè)即（1）S=4x－9y+3=4cosθ+8－3sinθ+3+3=14－5sin(θ-Ф)，第53頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【延伸】：已知集合，求集合B第54頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例32】、設(shè)且滿足，求證：證明：第56頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例33】設(shè)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：原不等式可化為：即：原不等式可化為第57頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【變式】、求實(shí)數(shù)a范圍，使不等式sin2θ-(2+a)sin(θ+)->-3-2a,

恒成立．（2010年清華）對一切第58頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【延伸】：求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意實(shí)數(shù)x和任意，都有解：原不等式等價于不等式第59頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例34】

求函數(shù)f(x)=?sinx?+sin42x+?cosx?的最大值和最小值.解：首先證明

是該函數(shù)的周期：f(x+)=?sin(x+)?+sin42(x+)+?cos(x+)?=|cosx?+sin42x+?sinx?,所以

是該函數(shù)的周期。所以只需在[0，]上討論f(x)的最值。當(dāng)x[0，]時，f(x)=sinx+sin42x+cosx其次證明x=是f(x)的一條對稱軸。因?yàn)閒(+x)=sin(x+)+sin4(2x+)+cos(x+)=cos(-x)+sin4(-2x)+sin(-x)=f(-x)所以x=是f(x)的一條對稱軸。所以只需在[0，]上求f(x)的最值。而當(dāng)x[0，]時，sinx+cosx=單調(diào)遞增，sin42x在[0，]上單調(diào)遞增，因此f(x)在[0，]上單調(diào)遞增,故[f(x)]min=f(0)=1,[f(x)]max=f()=1+.第60頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例35】已知為銳角，且，求的值。解：由題意，得第61頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例36】．已知分析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.證法1：

第62頁,共115頁，2024年2月25日，星期天證法2：

第63頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例37】．證明：分析：等號左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)步轉(zhuǎn)化為、的表達(dá)式，但相對較繁.

觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)?/p>

從而有

第64頁,共115頁，2024年2月25日，星期天

【例38】已知圓至少覆蓋函數(shù)的一個最大值點(diǎn)與一個最小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解因?yàn)槭且粋€奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，而圓也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，圖只需覆蓋f(x)的一個最值點(diǎn)即可。令，可解得y=f(x)的圖象上距原點(diǎn)最近的一個最大值點(diǎn)，依題意，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過|k|，即綜上可知，所求的k為滿足的一切實(shí)數(shù)。第65頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例39】．已知，且滿足：（1）（2）（3）。求f(x)的解析式解．由可得a+2b+4c=1524①

且b>0時，有

此方程組與①聯(lián)立后無解（2）當(dāng)且b<0有

此時a=4,b=-40,c=400（3）當(dāng)a>0且有

此方程組與①聯(lián)立后無解。（4）當(dāng)a<0且，有

此方程組與①聯(lián)立后無解，（1）當(dāng)綜上可知，第66頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例40】．證明：對任意正實(shí)數(shù)x,y以及實(shí)數(shù)均有不等式解：原不等式等價于

若，則若故原不等式成立第67頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例41】．已知當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍。解．令，由條件可得所以在第I象限，

由于結(jié)合原不等式對任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即

原不等式可化為第68頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例42】：求出（并予以證明）函數(shù)的最小正周期。解：首先，對任意，均有這表明，是函數(shù)f(x)的一個周期；其次，設(shè)，T是f(x)的一個周期，則對任意，均有在上式中，令x=0，則有兩邊平方，可知即

sin2T=0，這表明，矛盾。綜上可知，函數(shù)的最小正周期為。第69頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例43】在?ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，且sinAsinC=cos2B,S?ABC=,求三邊a,b,c解：由已知得,B=600，又由得ac=16從而于是,又由第70頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例44】在?ABC中，a,b,c分別表示三內(nèi)角A、B、C的對邊，且a,b,3c成等比數(shù)列，又A-C=，試求三個內(nèi)角的值解：由a,b,3c成等比數(shù)列，得：b2=3ca第71頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第72頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第73頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第74頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第75頁,共115頁，2024年2月25日，星期天．第76頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例49】、已知α、β為銳角，且．求證對一切x≠0，有(cosα)x>(sinβ)x．證明：（1）若x>0，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得，即0<cosα<sinβ<1，(cosα)x>(sinβ)x．（2）若x<0，則所以(cosα)x<(sinβ)x．綜上（1）、（2）知，對于一切x≠0，均有(cosα)x<(sinβ)x．評述：三角不等式，首先是一個不等式，因而證明要靈活運(yùn)用判別式法、單調(diào)性，基本不等式法等不等式證明的常用方法，其次含有三角式，因而可能要利用三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、有界性等．第77頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例50】、設(shè)α、β、γ是一個銳角三角形的三個內(nèi)角，求證：sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ．思路分析：本題等價于證明sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ．觀察到該式的對稱性，嘗試證明sinα＋tanα>2α．證明：所以，同理sinβ＋tanβ>2β．sinγ＋tanγ>2γ．三式相加即得所證不等式sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ>2π．sinα第78頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例51】、設(shè)0≤a≤1，且0≤x≤π，證明：(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0．證明：顯然0≤x≤π，0≤a≤1時，有sinx≥0，sin(1－a)x≥0，因此當(dāng)2a－1≥0且1－a≥0，即≤a≤1時，(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0．另x=0時，上式也成立．下面證明，x∈(0，π)時的情形．如圖所示是函數(shù)y=sinx，x∈(0，π)）必在相應(yīng)弦OA的上方．的圖像，圖中任一段?。ㄔO(shè)A(x1，sinx1)、B(x2，sinx2)，則x2<x1時，kOB>kOA，即因此函數(shù)是(0，π)上的減函數(shù)．第79頁,共115頁，2024年2月25日，星期天（嚴(yán)格的代數(shù)證明略．）于是有，即．因此．即評述：分類討論，逐步求解是數(shù)學(xué)解題的常用策略．時，不等式也成立．第80頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例52】、已知，求證：證明：要證所以式成立，原不等式得證．第81頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例53】、在△ABC中，證明：．思路分析：易猜出時，，A、B、C中任兩者不等時，．證明：我們先假定C是常量，于是A＋B=π－C也是常量．．顯然，當(dāng)A=B時，上式達(dá)到最大值．因此，只要A、B、C中任意兩個不等，表達(dá)式sinA＋sinB＋sinC就沒有達(dá)到最大值．因而，當(dāng)時，sinA＋sinB＋sinC取到最大值，不等式得證．第82頁,共115頁，2024年2月25日，星期天評述：不等式中含有多個變量時，我們往往固定其中部分變量，求其他變量變化時，相應(yīng)表達(dá)式的最值．類似可證：△ABC中，銳角△ABC中，tanA＋tanB＋tanC≤3．第83頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例54】、△ABC中，證明：．證明：因有．則第84頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例55】、△ABC中，已知思路分析：本題條件是兩個關(guān)于tanA、tanB、tanC的對稱式，嘗試再構(gòu)造一對稱式并利用韋達(dá)定理將tanA、tanB、tanC看成一個三次方程的3個根．解：在△ABC中，有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC．因?yàn)閠an3A＋tan3B＋tan3C－3tanAtanBtanC=(tanA＋tanB＋tanC)[(tanA＋tanB＋tanC)2－3(tanAtanB＋tanBtanC＋tanCtanA)]即因此，tanA、tanB、tanC是方程即6x3＋x2－4x＋1=0的三個根．又6x3＋x2－4x＋1=(x＋1)(2x－1)(3x－1)，所以，tanA、tanB、tanC三者為．△ABC的三個角是．第85頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例56】、在銳角△ABC中，求證：．證明：當(dāng)a、b∈R＋時，有．又A、B、C為銳角△ABC的內(nèi)角，于是上面三式相加，即可推得≥4第86頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例57】、設(shè)△ABC的角A、B、C所對的邊為a、b、c，S為其面積．求證：思路分析：等式中既有邊，又含有角，因此應(yīng)設(shè)法利用正弦定理、余弦定理等使邊角統(tǒng)一．證法1：．同理所以．第87頁,共115頁，2024年2月25日，星期天證法2：如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，L、M、N是3個切點(diǎn)．設(shè)AN=AL=x，BL=BM=y，CM=CN=z．則解得（其中r為⊙O的半徑），第88頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例58】、設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，面積為S，角A、B、C所對的邊為a、b、c，求證：．證明：（1）因?yàn)椋?）由上例知第89頁,共115頁，2024年2月25日，星期天第90頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例59】、如圖所示，P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PD、PE、PF分別是P到三邊BC、CA、AB的距離．求證：PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF)．證明：連DF，有于是DF≥PDsinC＋PFsinA．又B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且PB為該圓直徑，故．即同理所以，≥2(PD＋PE＋PF)．第91頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例60】、已知a，b，c∈R＋，求證：思路分析：本題若用代數(shù)方法將不等式化簡，比較繁．觀察到上式右端小于等于0時，不等式顯然成立．而當(dāng)右端為正時，以a、b、c邊恰好可構(gòu)成一個三角形，而且右端與求三角形面積的海倫公式很接近．證明：當(dāng)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤0時，原不等式顯然成立．當(dāng)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)>0時，以a、b、c為邊構(gòu)成△ABC．要證：，即證：即：，即證：即需證：，即證．

第92頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例61】、已知函數(shù)

，求函數(shù)f(x)的最大值.第93頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例62】、設(shè)a、b、c為ΔABC的三條邊a≤b≤c,R和r分別為ΔABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，令f=a＋b－2R－2r，試用角C的大小來判定f的符號。第94頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例63】、已知的值.第95頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例64】計(jì)算：解：如圖，將邊長為1的正七邊形的A點(diǎn)與O點(diǎn)重合，并使其圖形關(guān)于y軸對稱，用H（α）表示向量α的水平分量值，例如H（DE）=－1，H（ED）=1，則

第96頁,共115頁，2024年2月25日，星期天【例65】、不等式對任何實(shí)數(shù)x均成立，求θ．分析：這是一個關(guān)于x的不等式，以解集為全體實(shí)數(shù)作為背景條件來求參數(shù)θ的范圍問題．可將θ的正弦（或余弦）值表示成x的函數(shù)f(x)，再利用f(x)