太原市2020年高三年級(jí)模擬試題（三）數(shù)學(xué)試卷（文科）（考試時(shí)間：下午3：00——5：00）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至4頁，第Ⅱ卷5至8頁.2.回答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效.4.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上，寫在本試卷上無效.5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定出集合中的元素后，由并集定義計(jì)算．【詳解】由題意，，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，確定集合中的元素是解題關(guān)鍵．2.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了4件，則（）A.9 B.10 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】由題意，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，牢記分層抽樣的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.滿足（為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（，），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，代入已知等式化簡即可．【詳解】設(shè)，∵，∴，即，化簡得．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，直接代入復(fù)數(shù)的代數(shù)形式由模的定義化簡即得．也可由模的幾何意義求解．的前項(xiàng)和為，且，則（）A.45 B.42 C.25 D.36【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】“”是“”的充要條件，選C.6.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a＝3，b＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時(shí)，a，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時(shí)，a，b＝8，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時(shí)，a，b＝16，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．，(0,π)，則=A.1 B. C. D.1【答案】A【解析】【詳解】，，，即，故故選是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合單位向量的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得、、，再利用即可得解.【詳解】向量是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，，又，，，，，，又，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的性質(zhì)及平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，熟練使用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.f（x）＝sin2x的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g（xg（x）的解析式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可求解，得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象變換求解三角函數(shù)的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化簡得到的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將化為：，再由f（x）的單調(diào)性列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，則a的取值范圍是，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出的齊次式．中，PA、PB、PC兩兩垂直，，Q是棱BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線AQ與平面PBC所成角的正切的最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得平面，因此當(dāng)時(shí)，直線AQ與平面PBC所成角最大，此時(shí)可求得，從而求得，又以為棱的長方體的對(duì)角線就是三棱錐外接球直徑，從而可求得其表面積．【詳解】∵PA與PB、PC垂直，∴平面，∴是在平面內(nèi)的射影，就是直線與平面所成的角，由平面得，，要使最大，則最小，顯然當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，又，∴，而，∴，由，得，從而，如圖，以為棱作出長方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球，外接球直徑等于長方體的對(duì)角線長，∴球表面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求球表面積，解題關(guān)鍵是要求出球的半徑．由于兩兩垂直，因此以它們?yōu)槔庾鞒鲩L方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體的對(duì)角線就是球的直徑．由此可得解．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.則_____.【答案】8.【解析】【分析】依題意得f（）＝3，從而f（f（））＝f（3），由此能求出結(jié)果.【詳解】解：∵函數(shù)則；∴f（3）＝32﹣1＝8.故答案為：8.【點(diǎn)睛】此題考查的是分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.經(jīng)過點(diǎn)（1，4），則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于_________.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)在拋物線上可得拋物線的方程為，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上可得，所以該拋物線方程為，所以該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求解與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______．【答案】【解析】【分析】先求得時(shí)；再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得；由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.，函數(shù)，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立，則的最大值為_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】將代入求解即可；當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值；同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.垃圾分類是對(duì)垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法.太原市為推進(jìn)這項(xiàng)工作的實(shí)施，開展了“垃圾分類進(jìn)小區(qū)”的評(píng)比活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)小區(qū)采取不同的宣傳與倡導(dǎo)方式對(duì)各自小區(qū)居民進(jìn)行了有關(guān)垃圾分類知識(shí)的培訓(xùn)，并參加了評(píng)比活動(dòng)，評(píng)委會(huì)隨機(jī)從兩個(gè)小區(qū)各選出20戶家庭進(jìn)行評(píng)比打分，每戶成績滿分為100分，評(píng)分后得到如下莖葉圖.（1）依莖葉圖判斷哪個(gè)小區(qū)的平均分高？（2）現(xiàn)從甲小區(qū)不低于80分的家庭中隨機(jī)抽取兩戶，求分?jǐn)?shù)為87的家庭至少有一戶被抽中的概率；（3）如果規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于85分的家庭為優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為得分是否優(yōu)秀與小區(qū)宣傳培訓(xùn)方式有關(guān)？”甲乙合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)參考公式和數(shù)據(jù)：，其中.【答案】（1）乙小區(qū)的平均分高；（2）；（3）填表見解析；可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為得分是否優(yōu)秀與小區(qū)宣傳培訓(xùn)方式有關(guān).【解析】【分析】（1）由莖葉圖中數(shù)據(jù)直接判斷即可得解；（2）由題意列出所有基本事件，分別求出所有的基本事件的個(gè)數(shù)、滿足要求的基本事件的個(gè)數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解；（3）由題意完成列聯(lián)表，代入公式求出，再與5.024比較即可得解.【詳解】（1）甲小區(qū)分?jǐn)?shù)集中于60~90之間，乙小區(qū)分?jǐn)?shù)集中于80~100之間，所以乙小區(qū)的平均分高；（2）記分?jǐn)?shù)為87的家庭為，其他不低于80的家庭為，則從甲小區(qū)不低于80分的家庭中隨機(jī)抽取兩戶的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種；分?jǐn)?shù)為87的家庭至少有一戶被抽中的基本事件有：，，，，，，，共9種；故所求概率；（3）列聯(lián)表如下：甲乙合計(jì)優(yōu)秀31013不優(yōu)秀171027合計(jì)202040，因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為得分是否優(yōu)秀與小區(qū)宣傳培訓(xùn)方式有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用及古典概型概率的求解，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．求的值；設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn)，已知，，求的值.【答案】；.【解析】【分析】利用正弦定理化簡求值即可；利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內(nèi)角，故，，則，故，；（2）平分，設(shè)，則,,，，則，，又，則在中，由正弦定理：，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，二倍角公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）異面直線和所成角的余弦值為，求幾何體的體積.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（Ⅱ）根據(jù)題意可求出，在中，利用余弦定理求出，由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥比庵校倪呅问蔷匦?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（Ⅱ）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)楫惷嬷本€和所成角的余弦值為.所以，因?yàn)?，，所?根據(jù)余弦定理，在中，，可得，因，，所以由勾股定理可得，因?yàn)?，，，所以平面，同理平面，所?所以幾何體的體積為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理、三棱錐的體積公式，在證明線面平行時(shí)，需先證線線平行，此題屬于中檔題.的焦距為2，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，求點(diǎn)到直線距離的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可得解；（2）設(shè)，記線段中點(diǎn)為，由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)，按照、分類，結(jié)合點(diǎn)差法、點(diǎn)到直線的距離可得，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以.解得，故橢圓方程為；（2）設(shè)，記線段中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈闹匦模?，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則，此時(shí)直線與軸垂直，故原點(diǎn)到直線的距離為，即為1；若，此時(shí)直線的斜率存在，設(shè)，則，又，兩式相減得，可得.故直線的方程為即，則點(diǎn)到直線的距離為，將代入得，因?yàn)?，所以；又，故原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了點(diǎn)差法的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的最大值．【答案】（1）唯一極大值點(diǎn)1，無極小值點(diǎn)．（2）1【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定極值點(diǎn)；（2）問題可變形為恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，時(shí)，無最小值，因此只有，從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值．【詳解】解：（1）定義域，當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題．在求極值時(shí)，由確定的不一定是極值點(diǎn)，還需滿足在兩側(cè)的符號(hào)相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用．B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑，【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線過點(diǎn)，傾斜角為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程