教學教案八年級數(shù)學?上新課標［人］

第十三章軸對稱

本/章/整/體/說/課

?教學目標

「,知識寫技能

1.通過讓學生進行實例欣賞，了解軸對稱、對稱軸以及軸對稱圖形的概念，體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的運

用,掌握軸對稱的性質(zhì).

2.了解“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”.

3.了解等腰三角形和等邊三角形的概念，掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

4.掌握“在直角三角形中，如果一個銳角等于30。,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”.

過程與方法

1.在直觀感知、操作確認的基礎上，進一步學會說理,掌握一定的演繹推理能力.

2.體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，認識數(shù)學無處不在，提高學生的學習興趣和熱情.

F畸態(tài)度與你頸

1.通過實例培養(yǎng)學生的觀察能力、思維能力、動手能力、總結(jié)能力，體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系，發(fā)展學生的

空間觀念.

2.讓學生樹立挑戰(zhàn)困難的信心和勇氣,激發(fā)他們戰(zhàn)勝困難的信心和決心.

e教材分析

本章教材注重所學內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，強化觀察、操作等探索過程.在教學內(nèi)容的呈現(xiàn)上力求生動有

趣,貼近現(xiàn)實生活，對知識的陳述,不僅注重結(jié)果，而且盡量給學生提供一定的探索空間和手段,讓學生自己去

發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在探索的過程中培養(yǎng)學生的各種能力.本章主要內(nèi)容是圍繞等腰三角形展開的，它是繼角和線段后

接觸到的第三個軸對稱圖形，這部分內(nèi)容引入了較多的動手操作和直觀感知，通過觀察、歸納等方法去探索和

發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)和判定方法.與此同時，采用適當?shù)姆绞?進行數(shù)學說理，讓學生進一步體驗數(shù)學證明的

必要性，學會說理，將合情推理和演繹推理兩者更好地有機結(jié)合.

?教學重難點

【重點】

1.軸對稱的概念、性質(zhì)和判定.

2.等腰（或等邊）三角形的性質(zhì)和判定.

【難點】

1.利用軸對稱的性質(zhì)進行圖案設計.

2.推理證明過程的書寫.

?教學建議

I.在軸對稱這一節(jié)的認識中，教師要注意通過大量的圖片，欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形,體驗軸對稱在

現(xiàn)實生活中的應用，在探索中發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的性質(zhì)，讓學生體會軸對稱的思想和由特殊到一般的思想，要注

意軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系.

2.畫軸對稱圖形這一節(jié)實質(zhì)上就是要利用軸對稱的性質(zhì)，通過讓學生作軸對稱圖形，了解關(guān)于坐標軸對

稱點的特征，要注意讓學生動手操作,觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成能力.要注意給學生創(chuàng)造一個循序漸進的探索過程.

3.等腰三角形這一節(jié)中，教師要注意讓學生動手操作,通過等腰三角形的軸對稱變換得出等腰三角形的

一些性質(zhì).對于等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，學生不容易引起重視，但它的應用很廣泛，教學中要適當補充例

題,讓學生鞏固對該性質(zhì)的掌握.對于等邊三角形的性質(zhì)和判定要讓學生結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和判定去考

慮，要注重這些性質(zhì)和判定方法在實際生活中的應用.

4.本章的課題學習，一定要讓學生多討論、多交流，總結(jié)規(guī)律，積累經(jīng)驗，掌握解題的思路和方法.教師一定

要注意引導，讓學生發(fā)現(xiàn)最短路徑問題的一般規(guī)律和特點，從而形成能力.

G課時劃分

13.1軸對稱

13.1.1軸對稱（1課時）3課時

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)（2課時）

13.2畫軸對稱圖形2課時

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形（2課時）4課時

13.3.2等邊三角形（2課時）

13.4課題學習最短路徑問題1課時

單元復習1課時

課/時/教/學/詳/案

13.1軸對稱

q教學目標

國識寫技能K

I.理解和掌握軸對稱圖形和成軸對稱的定義.

2.通過學生的自主探究掌握線段的垂直平分線的性質(zhì).

3.能確定軸對稱圖形的對稱軸，掌握畫對稱軸的方法.

.過程筋制

1.在探索的過程中培養(yǎng)學生的觀察、操作的能力，發(fā)展學生的空間觀念.

2.通過對圖形的觀察、發(fā)現(xiàn),總結(jié)一些性質(zhì)，培養(yǎng)學生的歸納能力.

1.在小組合作學習的過程中，激發(fā)學生的學習熱情和積極性.

2.在動手實踐中體會軸對稱在現(xiàn)實生活中的應用，感受數(shù)學美.

①教學重難點

【重點】

I.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì).

2.線段的垂直平分線的性質(zhì).

3.軸對稱圖形的對稱軸的確定.

【難點】

1.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì).

2.線段垂直平分線的性質(zhì)的理解和應用.

13.1.1軸對稱

13—整體設計

J教學目標

W知啕登就

1.理解軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念.

2.了解軸對稱圖形的對稱軸，兩個圖形關(guān)于某直線對稱的對稱軸、對稱點.

3.掌握線段垂直平分線的概念.

4.理解和掌握軸對稱的性質(zhì).

啜程鼎好

1.通過學習軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，進一步認識幾何圖形的本質(zhì)特征.

2.通過學習軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系,進一步發(fā)展學生抽象概括的能力.

3.能準確畫出一個圖形的對稱軸，能利用軸對稱的性質(zhì)解決實際問題.

通過對軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的學習,激發(fā)學生學習的欲望，主動參與數(shù)學學習活動.

教學重難點

【重點】軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念.

【難點】軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別與聯(lián)系.

Q教學準備

【教師準備】教材章頭圖及圖13.1-1,13.1-2,13.1-3J3.I-4,13.1?5的投影片.

【學生準備】搜集軸對稱圖形.

日教學過程

E新課導入

導入一：

我們生活在?個充滿對稱的世界中,許多建筑物都設計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也從對稱角度考

慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長,中國的方塊字中有些也具有對稱性……對稱給我們帶來很多美的

感受!初步掌握對稱的奧妙，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對稱是對稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來學習第十三章:軸對稱.

導入二：

出示圖片:青山倒映在水中.這是什么景象呢?（對稱）

同學們可以想象，當你放學回家,落日、晚霞,還有遠處的青山倒映在平靜的水中，這樣如詩如畫的景致怎

能不令人難忘!自遠古以來，對稱形式被認為是和諧美麗的，不論是在自然界中還是在建筑里，甚至最普通的日

常生活中,對稱的形式隨處可見.本節(jié)課我們就一起去探究軸對稱的奧秘吧.

I設訃意圖I兩個導入都是以生活中的軸對稱為例，勾勒美好的畫面，讓學生感受數(shù)學中的美，體會數(shù)學

與生活的密切聯(lián)系,自然地引入到本節(jié)課的學習之中.

除新知構(gòu)建

［過渡語］對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到藝術(shù)作品,從建筑物到交通標志，甚至日常生活用品中，人們

都可以找到對稱的例子.

一、探究軸對稱

【活動1】

展示教材章頭圖以及圖13.1-1.

教師展示生活中的圖片，讓學生欣賞圖片，感知對稱圖形;學生列舉所見到的圖形.

活動中，教師明確：

(I)對稱的多樣性，而其中軸對稱是重要的一種；

(2)本節(jié)要探究的內(nèi)容是軸對稱和軸對圖形.

［設計意圖］展示的圖片，包含自然景觀、分子結(jié)構(gòu)、建筑物、藝術(shù)作品、動物、植物、生活用品等與

生活實際相關(guān)的圖形，讓學生感知對稱圖形,激發(fā)學生的學習熱情.通過展示學生自制的圖片，讓學生聯(lián)系生活

實際，主動參與數(shù)學活動，感知數(shù)學與生活的密切相關(guān).

【活動2】

問題：

(1)把一張長方形紙對折，剪出一個圖案,再打開，就剪出了美麗的窗花,你能剪出什么樣的窗花呢？

(2)觀察剪出的窗花和圖13.1-2中的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征？

(3)聯(lián)系實際，你能舉出一個軸對稱圖形的例子嗎？

【師生活動】教師先把長方形紙片對折,用剪刀剪出一個圖案，再打開這個圖案，讓學生觀賞，然后學生

自己動手按要求剪紙.學生在觀察、互相交流的基礎上描述圖形的特征，教師歸納軸對稱圖形及軸對稱的概念,

并板書概念，然后讓學生舉例.

I知識拓展］軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)的圖形，被一條直線分割成的兩

部分沿著對稱軸折疊時，互相重合;軸對稱圖形的對稱軸可以是一條,也可以是多條，甚至是無數(shù)條.

I設”意圖］教師演示剪紙過程起示范作用，學生動手剪紙是讓學生參與到活動中去，發(fā)展學生的動手

能力，通過觀察、思考，讓學生互相交流，增強發(fā)現(xiàn)能力.

【活動3】

問題：

(I)教材圖13.1-3中,每對圖形有什么共同特征？

(2)聯(lián)系實際，你能舉出一些生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎？

【師生活動】學生觀察、舉例、討論交流，教師引導得出兩個圖形關(guān)于某直線對稱及對稱軸、對稱點

的概念，并板書概念.

I設計意圖］學生通過觀察、舉例、主動思考，認識兩個圖形關(guān)于某直線對稱的本質(zhì)特征,鼓勵學生善于

觀察、勇于發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)合作意識.

【活動4】

問題：

(I)結(jié)合教材圖13.1-2和13.1-3進行比較，軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)別？

(2)如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱嗎?如果把兩個成軸對稱的

圖形看成一個整體，它是一個軸對稱圖形嗎？

【師生活動】學生根據(jù)兩組圖形的比較觀察，討論交流(1),教師引導學生得出區(qū)別.

教師提出問題后，讓學生思考(2),進一步明確軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱之間的聯(lián)系.

I知識拓展1軸對稱包含兩層含義:(1)有兩個圖形,且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀、大小完全相

同;(2)對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合.

I設計意圖］通過學生舉例，獨自練習進一步認識兩個圖形成軸對稱的本質(zhì).通過比較觀察、相互討論進

一步認識兩種圖形的本質(zhì)特征.讓學生運用辯證的觀點認識事物，發(fā)展學生抽象思維能力.

【活動5］

問題：

(1)成軸對稱的兩個圖形全等嗎?全等的兩個圖形一定成軸對稱嗎?為什么？

(2)在教材圖13.1-3中，你能標出人B,C的對稱點嗎？

【師生活動】學生獨立思考后，再展開討論，教師參與學生討論，及時指導.

I設計意圖］通過練習進一步鞏固兩個圖形成軸對稱和對稱點的概念.

二、垂直平分線

思路一

問題:

⑴觀察教材圖13.1-4,線段4A；BB；CC與直線MN有什么關(guān)系？

(2)在圖13.1-5中，你能測量出線段AA；BB與直線/的夾角嗎?它們與直線/垂直嗎？

你能用刻度尺測量出點A與到直線/的距離嗎?點B與B'到直線/呢？

【師生活動】教師引導學生從位置上觀察三條線段與直線MN的關(guān)系，教師利用投影動畫展示A與

A，等重合的情形，線段垂直平分線的定義揭示了線段與對稱軸MN的關(guān)系:一是垂直;二是平分.從而歸納出軸

對稱的性質(zhì).

(設計意圖］利用動畫演示，讓學生一目了然，便于接受,采用多種方法豐富學習渠道，加深了對知識的理

解和掌握.

思路二

觀察教材中圖13.1-4,線段4r與直線有怎樣的位置關(guān)系?你能說明理由嗎？

引導學生說出如下關(guān)系:AP=PA；ZMPA=ZMPA'=90。.

類似地，點B與點B；點C與點C是否也有同樣的關(guān)系?你能用語言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

結(jié)合學生發(fā)表的觀點，教師總結(jié)并板書：

對稱軸經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.

在這個基礎上，教師給出線段的垂直平分線的概念，然后把上述規(guī)律概括成圖形軸對稱的性質(zhì).

上述性質(zhì)是對兩個成軸對稱的圖形來說的，如果是一個軸對稱圖形，那么它的對稱點的連線與對稱軸之

間是否也有同樣的關(guān)系呢?(結(jié)合教材圖13.1-5讓學生說明)

從而得出:類似地，軸時稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

［知識拓展］平面鏡看到的影像，也可以理解為是一種對稱現(xiàn)象.例如：

?面鏡子MN豎直懸掛在墻壁上，人眼O的位置如圖所示，有三個物體A,B,C放在鏡子的前面，人眼能從

鏡子中看見哪個物體？

--------?C

M

^

---------9()

二

二

一

/r一------?13

?二

二

4一二

/-------.從

二

/V、

這道題是軸對稱在實際中的應用，關(guān)鍵是建立相應的軸對稱圖形的數(shù)學模型,再利用軸對稱知識來解決.

物體在鏡子里面所成的像就是數(shù)學問題中的物體關(guān)于鏡面的對稱點，人眼從鏡子里所能看見的物體關(guān)于鏡

面的對稱點，必須在人眼的視線范圍內(nèi)，所以分別作A,B.C三點關(guān)于直線MN的對稱點4顯然人從鏡子

里只能看見A,B兩個物體.

叵課堂小結(jié)

1.軸對稱圖形.

軸對稱圖形沿對稱軸折疊,兩旁的部分能夠互相重合.

軸對稱圖形的對稱軸是經(jīng)過圖形的某直線，可能只有一條，也可能不止?條.

2.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱既有區(qū)別又有聯(lián)系.

區(qū)別:軸對稱圖形是指一個圖形的特征,成軸對稱是兩個圖形的位置關(guān)系.

聯(lián)系:二者都有對稱軸，如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形;如果把軸

對稱圖形對稱軸兩旁的部分看成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱.

3.軸對稱的性質(zhì):對稱軸垂直平分對應點所連的線段.

n檢測反饋

1.一名同學想用正方形和圓設計一個圖案，要求整個圖案關(guān)于正方形的某條對角線所在直線對稱，那么

下列圖案中不符合要求的是（）

答案:D

2.如圖所示，正方形地磚的圖案是軸對稱圖形，該圖形的對稱軸有（

A.1條B.2條C.4條D.8條

解析:這是一個正八邊形，對稱軸有4條.故選C.

3.如圖所示的是經(jīng)過軸對稱變換后所得的圖形,與原圖形相比)

A.形狀沒有改變，大小沒有改變

B.形狀沒有改變，大小有改變

C形狀有改變,大小沒有改變

D.形狀有改變，大小有改變

解析:???軸對稱變換不改變圖形的形狀與大小,...與原圖形相比，形狀沒有改變,大小沒有改變.故選A.

4.如圖所示，由4個大小相同的正方形組成的L形圖案.

(I)請你改變1個正方形的位置，使它變成軸對稱圖形;

(2)請你再添加--個小正方形，使它變成軸對稱圖形.

解:(I)(2)答案不唯一，如圖所示.

區(qū)板書設計

13.1.1軸對稱

一、探究軸對稱

1.軸對稱圖形

2.軸對稱

二、垂直平分線

1.垂直平分線

2.軸對稱的性質(zhì)

度布置作業(yè)

?、教材作業(yè)

【必做題】

教材第60頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第64頁習題13.1第1,2,3題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

2.下面幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有（）

圓弧角平行四邊形等腰梯形

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖所示，下面圖形中不是軸對稱圖形的是（）

【能力提升】

4.如圖所示，在下面一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當?shù)膱D形.

5.如圖所示，在長方形的臺球桌面上，選擇適當?shù)慕嵌却驌舭浊?，可以使白球?jīng)過兩次反彈后將黑球直接撞入

袋中，此時N1=N2,N3=N4,并且/2+/3=90。,/4+/5=90。.如果黑球與洞口的連線和臺球桌面邊緣的夾角

N5=30。,那么N1應該等于多少度才能保證黑球準確入袋?請說明理由.

【拓展探究】

6.如圖所示,AABC與4DEF關(guān)于直線MN對稱，其中ZC=90°,AC=8cm,DE=10cm,8c=6cm.

(1)線段AD與MN的關(guān)系是什么？

(2)求NF的度數(shù)；

⑶求SABC的周長和ADEF的面積.

【答案與解析】

1.A

2.C(解析:圓弧、角、等腰梯形都是軸對稱圖形.故選C.)

3.B

4.曲(解析:從圖中可以發(fā)現(xiàn)所有的圖形都是軸對稱圖形，而且圖形從左到右分別是數(shù)字1,2,3,4,5,7,所以畫?個

軸對稱圖形且數(shù)字為6即可.)

5.解:如圖所示,：Z5=30°,AZ7=Z5=30°,

?/Z3=Z4,.\Z7=Z6=30°,AN2=N6=30。,；.Nl=N2=30。.答:N1等于30度時，才能保證

黑球能準確入袋.

6.解:(1)；A4BC與ADEF關(guān)于直線MN對稱,；.MN垂直平分AD.(2)由題意得

MBC0ADEF,：.ZF=ZC=90°.(3)VAC=8cm,DE=10cm,fiC=6cm,DE=AB=iOcm,\ABC的周長

=6+8+10=24(cm);ADEF的面積Wx6x8=24(cm2).

0教學反思

(Q成功之處

軸對稱圖形是一個較抽象的概念，教師在教學中根據(jù)學生的年齡特點,設計了這堂課，在教學中始終以學

生為主體，著力引導學生通過操作、觀察、比較、思考、交流、討論等活動,主動獲取知識，掌握和理解軸對

稱圖形的概念和基本特點，并在自主探索中體會到探索之趣，成功之樂,培養(yǎng)了學生學習興趣，更發(fā)展了學生的

探索能力.

不足之處

1.學生對軸對稱圖形和軸對稱的概念容易混淆,教師分析的不到位.

2.對于軸對稱和軸對稱的性質(zhì)教師還可以適當?shù)募右匝由?

3.對于知識的歸納和總結(jié)教師說得多,學生說得少.

。再教設計

對于軸對稱圖形和軸對稱這兩個概念要指導學生認真地加以區(qū)分，可以從兩方面考慮：-是概念;二是它

們的區(qū)別和聯(lián)系，要讓學生明確成軸對稱的兩個圖形如果看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.對于它們的

性質(zhì)，一定要讓學生自己去發(fā)現(xiàn)、歸納，在不足的情況下，讓學生互相補充，能讓學生說出來的，教師絕不包辦代

替,給學生自由思考和交流的空間，讓他們自主探索，全面發(fā)展.

舊教材習題解答

練習(教材第60頁)

1.解:(1)(2)(3)(5)是軸對稱圖形,(1)⑵(3)有一條對稱軸;(5)有四條對稱軸.

2.解:(1)(3)兩個圖案是軸對稱的，對稱軸各有一條，對稱點略.

國備課資源

在1鏈接中考

例1

A.IB.2C.3D.4

(答案)D

您?在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是()

?OS

ABCD

(答案)A

例3下列四個圖形，其中是軸對稱圖形，且對稱軸的條數(shù)為2的圖形的個數(shù)是（）

（答案）C

例4下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

（答案）D

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)

①教學目標

,知識寫技能

1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法.

2.能利用軸對稱的性質(zhì)作出一個圖形的對稱軸.

，過程苗孝

1.在觀察、操作、思考的基礎上,讓學生掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法.

2.掌握作軸對稱圖形對稱軸的方法.

F情百度身.前

增強學生學習的興趣，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,增強學習的自信心.

￥教學重難點

【重點】

1.線段垂直平分線的性質(zhì)和判定方法.

2.軸對稱圖形的對稱釉的確定.

【難點】線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法的應用.

第E課時

5整體設計

d教學目標

嘴識懿能“

1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定.

2.能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.

噎程一一

通過經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定的證明過程,體驗邏輯推理的數(shù)學方法.

通過認識上的升華，使學生加深對命題證明的認識.

教學重難點

【重點】

i.線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定.

2.能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.

【難點】靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.

一教學準備

【教師準備】三角尺、圓規(guī)、直尺.

【學生準備】三角尺、圓規(guī)、直尺.

國教學過程

E新課導入

導入一：

我們已經(jīng)知道了線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線就是它的對稱軸.那么線段的垂直平分線有什么

性質(zhì)呢?這節(jié)課我們就來研究它.

導入二

為方便居民的出行，準備在小河上修建一座橋.為了讓A和B兩個社區(qū)的居民到橋的距離都相等，建橋的

位置應該選在哪？

?H

區(qū)新知構(gòu)建

［過渡語］已知線段。，以。為底邊的等腰三角形有幾個?如果用三角尺和刻度尺，你能畫出至少三個嗎?

利用三角尺、刻度尺作出線段的垂直平分線，在垂直平分線上取點,連接可得滿足條件的等腰三角形.

在這里，我們利用了線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

那么這條性質(zhì)又是怎么證明的呢?下面我們一起來研究.

線段垂直平分線的性質(zhì)

思路一

1.整體感知

請同學們先根據(jù)這個命題畫出圖形(如圖所示)，寫出已知、求證.

2.師生互動

【互動1】

【師】這是證明線段相等的命題，回憶以前證明角的平分線的性質(zhì)的方法，會得到什么啟發(fā)？

【生】可以利用"SAS”證明APAC且AP8C,從而得至ljPA=PB.

【師】很好,這樣就得到了線段的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距

離相等.

(知識拓展］(1)線段垂直平分線的性質(zhì)是線段垂直平分線上所有點都具有的共同特征，即線段垂直平分

線上的每一個點到線段兩端的距離都相等.

(2)由性質(zhì)定理的證明可知，要證明一個圖形上每一個點都具有這種性質(zhì)，只需要在圖形上任取一點作代

表即可.

(3)這個定理向我們提供了一個證明線段相等的方法.

說明:今后我們可以直接利用這個性質(zhì)得到有關(guān)線段相等，同時這也可以當作等腰三角形的一種判定方

法.

【互動2】

【師】反過來，與一條線段兩個端點的距離相等的點是否一定在這條線段的垂直平分線上呢?我們也

可以通過“證明”來解決這個問題.

【生】畫出圖形（如圖所示），寫出已知,求證.

【師】為了證明。點在AB的垂直平分線上,可以過。作輔助線,先構(gòu)造“垂直或平分”中的一個關(guān)系，

去證明另一個.特別要注意防止“過Q作線段AB的垂直平分線”這種錯誤.你能根據(jù)提示，說出證明過程嗎？

【生】……

【師】在證明過程中，我們又得到了線段垂直平分線的判定方法:與線段兩個端點距離相等的點在這條

線段的垂直平分線上.

【生】判定方法只能判定點在線段的垂直平分線上,那么怎么才能判定這條直線就是線段的垂直平分

線呢？

【師】這個問題提得很好，大家想一想，幾點確定一條直線？

【生】兩點.

【師】所以,只要我們能證明一條直線上有兩點滿足判定方法的條件，那么這條直線就一定是線段的垂

直平分線.

［知I只拓展］（1）要證明某條直線是某條線段的垂直平分線，有兩種證明方法:一是根據(jù)定義去證明;二是

根據(jù)“兩點確定一條直線”,證明直線上的兩個點都在這條線段的垂直平分線上.

（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可以作線段的垂直平分線.

【互動3】

【師】（出示例1）尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.

已知:直線AB和AB外一點C.

求作:AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

【師】指導作法,師生共同完成，讓學生思考:為什么直線CF就是所求作的垂線？

【生】討論，小組代表發(fā)言.

思路二

I.線段的垂直平分線的性質(zhì)

（教師出示教材第61頁探究，讓學生測量，思考有什么發(fā)現(xiàn)?）

如圖所示,直線/垂直平分線段AB,PI,P?,P3,…是/上的點份別量一量點Pi,P2,P3,…到點A與點B的距離,

你有什么發(fā)現(xiàn)?

學生回答,教師小結(jié):線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

性質(zhì)的證明：

（教師講解題意并在黑板上畫出圖形）

上述問題用數(shù)學語言可以這樣表示:如圖所示,設直線MN是線段AB的垂直平分線，點C是垂足，點P是

直線MN上任意一點，連接我們要證明的是PA=PB.

教師分析證明思路:圖中有兩個直角三角形,AAPC和A8PC,只要證明這兩個三角形全等，便可證得

PA=PB.

教師要求學生自己寫已知、求證，并證明.

（學生證明完后教師板書證明過程供學生對照）

已知:垂足為點CAC=BC,點P是直線MN上任意一點.

求證:PA=PA

證明:在2Mpe和ABPC中，

?；PC=PG（公共邊），

NPCB=/PCA（垂直定義），

AC=BC（已知），

.,.AAP%A8PC（SAS）.

.,.PA=P8（全等三角形的對應邊相等）.

因為點P是線段的垂直平分線上一點，于是就有:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相

等.

2.線段的垂直平分線的判定

你能寫出上面這個命題的逆命題嗎?它是真命題嗎?這個命題不是“如果……那么……”的形式，要寫出它

的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論,將原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出.鼓勵學

生找出原命題的條件和結(jié)論.

原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結(jié)論是“這個點與這條線段兩個端點的距離相

等”.

此時，逆命題就很容易寫出來，“如果有一個點與線段兩個端點的距離相等,那么這個點在這條線段的垂

直平分線上”.

寫出逆命題后，就想到判斷它的真假.如果真，那么需證明它;如果假，那么需用反例說明.請同學們自行在

練習本上完成.

學生給出了如下的四種證法.

已知:線段AB,點P是平面內(nèi)一點，且PA=PB.

求證:P點在AB的垂直平分線上.

證法1:過點P作已知線段AB的垂線PC,'：PA=PB,PC=PC,：.RtAPAC名RtAPBC(HL).，4C=8C,即P點

在AB的垂直平分線上.

證法2:取AB的中點C,過PC作直線.

,:PA=PB,PC=PCAC=CB,

...A/1PC名ABPC(SSS).

NPCA=NPCB(全等三角形的對應角相等).

又,：乙PCA+ZPCB=180°,

/.NPCA=NPCB=90。,即PC-LAB,

點在AB的垂直平分線上.

證法3:過P點作NAPB的平分線，

,:PA=PB,N1=N2,PC=PC,

.,.△APC^ABPC(SAS).

.?.AC=BC,NPC4=NPC8(全等三角形的對應邊相等，對應角相等).

又?.?NPCA+NPCB=180。，

:.NPC4=NPCB=90。，

P點在AB的垂直平分線上.

證法4:過P點作線段AB的垂直平分線PC

?：AC=CB,ZPCA=ZPCB=90Q,：.PftAB的垂直平分線上，

四種證法由學生表述后,有學生提問:“前三個同學的證明是正確的,而第四個同學的證明我有點弄不懂

【師生共析】如圖(I)所示,PO±AH,D是垂足，但D不平分AB;如圖(2)所示,PD平分AB,但PD不垂直

于AB.這說明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實現(xiàn)的,所以第四個同學的證法是錯誤的.

從同學們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直

平分線的判定.

我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平分線,現(xiàn)在我們學習了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能否

用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢？

要作出線段的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的判定:與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平

分線上，那么我們必須找到兩個與線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定己知線段的垂直平分線.

下面我們一同來寫出已知、求作、作法,體會作法中每一步的依據(jù).

陶廚尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外點作這條直線的垂線.

已知:直線AB和AB外一點C(如圖所示).

求作:AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

作法:(1)任意取一點K,使點K和點C在4B的兩旁.

(2)以點C為圓心,CK長為半徑作弧，交A8于點。和E.

(3)分別以點。和點E為圓心，大于的長為半徑作弧,兩弧相交于點F.

(4)作直線CF.

直線CF就是所求作的垂線，

【師】根據(jù)上面作法中的步驟,想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線?請與同伴進行交流.

【生】從作法的第(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,

C,F都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定).

.??CF就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線).

【師】我們曾用刻度尺找線段的中點,當我們學習了線段的垂直平分線的作法后，一旦垂直平分線作出,

線段與線段的垂直平分線的交點就是線段的中點，所以我們也用這種方法找線段的中點.

叵課堂小結(jié)

1.線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)互為逆命題.

2.線段的垂直平分線的集合定義包含兩個意思.

(I)到線段兩個端點的距離相等的點都在線段的垂直平分線上.

(2)在線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

區(qū)檢測反饋

1.如圖所示,AABC中,DE是AC的垂直平分線工E=4cm,AA3。的周長為14cm,則A4BC的周長為

()

A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm

解析:??,DE是AC的垂直平分線,：.AD=CD,：.\ABD的周長=A3+BD+AD=A3+3Q+C￡>=45+3C,:AE=4

cm,AAC=2AE=2x4=8(cm),/.MBC的周長=A8+3C+AC=14+8=22(cm).故選B.

第1題圖

第2題圖

2.如圖所示,四邊形H8CD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結(jié)論不一定成立的是()

A.AB=A。B.CA平分NBC。

C.AB=BDDABEC@4DEC

解析:〈AC垂直平分BD,；.AB=AD,BC=CD,EB=DE,在RtABCE和RtADCE

中，｛“:RtABCE^RtADCE(HL),NBCE=NDCE,：.CA平分NBCD.故選C.

3.如圖所示，在A48c中M8=AC,NA=36FB的垂直平分線DE交AC于。，交AB于E,下列結(jié)論錯誤的是

A.BD平分NABC

B.ABCD的周長等于AB+BC

C.AD=BD=BC

D.點。是線段AC的中點

解析:：在A4BC中，B=AC,NA=36。,；.NA8C=NC=竺等￡=72。,：48的垂直平分線是

DE,：.AD=BD,：.NABD=NA=36。,二NDBC=ZABC-248。=72。-36。=36。=NABD,:.BD平分NABC,故A正

確;ABC。的周長為BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,H(.B正

確;NOBC=36°,NC=72°,.\ZBDC=180°-ZDBC-ZC=72°,4BDC=NC,：.BD=BC,：,AD=BD=BC,故C正

確;?..B￡?CD，A￡?C￡),...點D不是線段AC的中點，故D錯誤.故選D.

4.如圖所示，已知OE是AC的垂直平分線,4B=10cm,BC=llcm,求AAB。的周長.

解析:先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=C。,故可得出8。+4。=84+(70=8(7,進而可得出結(jié)論.

解:YOE垂直平分AC,

:,AD=CD,

：.BD+AD=BD+CD=BC=11cm,

又,.,A3=10cm,

：.\ABD的周長=A8+8C=1O+1l=21(cm).

區(qū)板書設計

線段垂直平分線的性質(zhì)

性質(zhì):線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

判定:與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

晅布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第62頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第64頁習題13.1第6題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.如圖所示，直線CD是線段AB的垂直平分線,P為直線CD上的一點，已知線段P4=5,則線段PB的長度為

()

A.6B.5C.4D.3

U

2.如圖所示，A4BC的周長為30cm,把MBC的邊AC對折,使頂點C和點A重合,折痕交BC邊于點D,交AC

邊于點瓦連接4D,若AE=4cm,則t^ABD的周長是()

A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm

3.如圖所示工OADBOBD則有()

AAB垂直平分CD

B.CD垂直平分AB

C.AB與CD互相垂直平分

D.CD平分NACB

4.如圖所示,RtAABC中,NC=90。,斜邊AB的垂直平分線交AB于點。，交BC于點EAE平分NBAC,那么下列

關(guān)系式中不成立的是()

A.ZB=ZCA￡B.ZD￡A=ZCEA

C.NB=NBAED.AC=2EC

5.某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一個售票中心，使得三個娛樂項目所處位

置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置.

?摩天輪

B,海盜船

；.碰碰車

【能力提升】

6.如圖所示,AABC^,AB=AC=5.AB的垂直平分線DE分別交AB.AC于E.D,

(1)若ABC。的周長為8,求BC的長；

⑵若BC=4,求ABCD的周長.

7.如圖所示，在MBC中4B=AC,A。垂直平分EF.

⑴求證BE=C尸；

（2）將條件垂直平分E尸換成另一個條件，使得結(jié)論8E=C5仍成立，請直接寫出這個條件.

ISHI)FC

【拓展探究】

8.如圖所示,AA8C的兩邊ABAC的垂直平分線分別交BC于￡）,E,若NBAC+NDAE=150。,求N8AC的度數(shù).

【答案與解析】

LB（解析:...直線CD是線段43的垂直平分線，尸為直線CD上的一點,，P8=E4,而已知線段PA=5".PB=5.

故選B.）

2.A（解析:由折疊知DE垂直平分AC,；.AE=CE=4cm,AD=CD,MBD的周長

=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=30-S=22（cm）.'）

3人（解析:：4。=4。,8。=8。,二點4,3在線段CD的垂直平分線上,...AB垂直平分CD故選A.）

4.D（解析:A.：EDJ_AB,且BD=AD,：.NB=NDAE,又?：AE平分ZBAC,：.ZCAE=ZDAE.iftZB=ZCAE,IE

確;B.在AADE與AACE中,NC4E=/D4E,/C=NADE=90。,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NOEA=NCEA,正

確;C「.?￡￡>_!_AB,且BD=AD,：,正確:D.不一定成立.故選D.）

5.解:如圖所示,①連接AB,AC;②分別作線段ABAC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點P,則P即為售票中

心的位

6.解:(1)AB=AC=5,DE垂直平分AB,故BD=AD,：.BD+CD=AD+CD=5.,：ABCD的周長為8,；.BC=3.

(2)VBC=4,BD+CD=5,：.&BCD的周長=BD+CD+BC=9.

7.(1)證明:：AB=AC,AD垂直EF,根據(jù)直角三角形全等，得BD=CD.'：AD平分EF,：.DE=DF.：.BE=CF.⑵解:

換成條件AE=AF（答案不唯一）.

8.解:TiMBC的兩邊AB.AC的垂直平分線分別交8c于。,E,；.D4=OB,E4=EC,；.NB=ND48,NC=NEAC（等

邊對等角，下節(jié)課會學到）.：NBAC+NDAE=150。,①

...NB+NC+2N￡>AE=150°.YNB+NC+NBAC=180°,，180°-NBAC+2ND4E=150°,即

NBAC-2NDAE=30°.②由①?組成方程組仁既一力溜

解得NBAC=110°.

區(qū)L教學反思

Q成功之處

在導入新課這一環(huán)節(jié)上教師先讓學生作一個以線段。為底的等腰三角形，直接說明此舉是利用了線段垂

直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，然后引導學生證明.在這一過程中讓學生主動積極地參與到

教學中來，使學生通過作圖、觀察、量一量得出結(jié)論.從而把知識的形成過程轉(zhuǎn)化為學生親自參與、發(fā)現(xiàn)、探

索的過程.在教學時，引導學生分析性質(zhì)定理的題設與結(jié)論，畫圖時寫出已知、求證，通過分析由學生得出證明

性質(zhì)定理的方法，這個過程既是探索過程也是調(diào)動學生動腦思考的過程，只有學生動腦思考了,才能真正理解

線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及證明方法.在此基礎上再提出如果有兩點到線段的兩端點的距離相等，這樣

的點應在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點在線段的垂直平分線上，從而引出性質(zhì)定理的逆定理,由上述

兩個定理使學生進一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點距離相等的所有點的集合.這樣可

以幫助學生認識理論來源于實踐又服務于實踐的道理,也能提高他們學習的積極性，加深對所學知識的理解.

（私不足之處

在教學過程中，教師沒有設計相應的習題，只注意對知識的講解,時間安排得過于緊湊，這樣整個教學過程

是以講授新知為主,應該邊進邊練，講練結(jié)合，這樣才能提高學生對知識的理解和掌握程度.講是一方面，更主

要的是在學生理解的基礎上加以鞏固和提升.

（事再教設計

在教學過程中教師可針對線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理設計對應的例題，對于尺規(guī)作圖的應

用，教師可設計生活中的實際問題,讓學生確定位置或點的習題.另外要注重線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和

逆定理的比較，讓學生加深印象，讓學生明確什么時候用性質(zhì)定理，什么時候用判定定理.

S教材習題解答

練習（教材第62頁）

1.解:AB=AC=C'瓦理由如下:因為AD_LBC,B￡>=DC,所以AO是線段BC的垂直平分線，所以AB=AC.又因為點

C在AE的垂直平分線上，所以AC=CE,所以AB=AC=CE.A8+BD=DE,理由是:因為8Q=￡>C4B=AC=CE,所以

AB+BD=DC+CE=DE,BPAB+BD=DE.

2.解:直線AM是線段BC的垂直平分線，理由如下:因為AB=AC,所以點A在線段BC的垂直平分線上.因為

MB=MC,所以點M也在線段BC的垂直平分線上.又因為兩點確定一條直線，所以直線AM是線段BC的垂直

平分線.

Q備課資源

Q教學建議

線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

如果一個點是線段垂直平分線上的點，那么這個點到這條線段兩個端點的距離相等.D是線段AB垂直平

分線上任意一點，要證明垂直平分線上每一點都具有這樣的性質(zhì)，只需要在圖形上任取一點作代表，這種證明

的思想是我們所應掌握的.這個結(jié)論的成立主要是通過證三角形全等,A40DWAB0D,所以及隨著D在

垂直平分線上的移動，兩個三角形的形狀在發(fā)生變化，但這兩個三角形始終是全等的（如圖所示）.

符號語言:

（1）;。是線段AB垂直平分線上的點,

...OA=D8（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）.

(2)：OO_1_AB，O=BO,

.,.D4=￡>B（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）.

①經(jīng)典例題

陶廚某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC,如圖（1）所示，現(xiàn)要在道路AB的邊緣上建一個休息亭M,

使它到A,C兩點的距離相等.在圖中確定休息亭M的位置.

（解析）作AC的垂直平分線交AB于M根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC,則點M滿足條件.

BCBC

(1)⑵

解:如圖(2)所示，作AC的垂直平分線交AB于M點，則點M即為所求.

第②課時

—一整體設.

。教學目標

“知識寫技能”

會畫軸對稱圖形的對稱軸.

*過程寫方制

通過畫軸對稱圖形的對稱軸，進一步認識軸對稱及軸對稱的性質(zhì).

r畸態(tài)度前值觀1

通過學習軸對稱圖形的對稱軸的畫法,進一步激發(fā)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學知識創(chuàng)造美好生活的熱情和

愿望.

教學重難點

【重點】軸對稱圖形的對稱軸的畫法.

【難點】軸對稱圖形的對稱軸的畫法.

(j教學準備

【教師準備】直尺和圓規(guī).

【學生準備】直尺和圓規(guī).

日教學過程

反新課導入

導入*:

提出問題：

(1)如果兩個平面圖形成軸對稱，你能用什么辦法可以驗證？

(2)不經(jīng)過折疊,你能用什么方法畫出它的對稱軸？

［設計意圖］讓學生說出折疊法可以驗證，加深對軸對稱的理解，接著又提出問題，引起學生思考,從而引

出新課.

導入

【問題1】什么是軸對稱?兩個圖形關(guān)于某直線成軸對稱一定能夠完全重合嗎？

【問題2］什么是對稱軸?請你舉出一個有兩條對稱軸的軸對稱圖形.

學生思考后回答，教師進行點評.

I設“出即通過復習提問，讓學生明確關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個圖形與直線的關(guān)系;以及這兩個

圖形的特征，明確對稱軸是一條直線,為本節(jié)課的學習做好準備.

導入三：

下面的交通標志是軸對稱圖形嗎?如果是軸對稱圖形，你能找到它的對稱軸嗎？

金

O

隹新知構(gòu)建

［過渡語］我們掌握了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，我們就可以作出一個圖形的對稱軸.

活動:畫對稱軸

【說明】我們已經(jīng)學過，如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂

直平分線,所以我們只要找到兩個圖形的一對對應點，然后畫出以對應點為端點的線段的垂直平分線即可，如

何作線段的垂直平分線呢?

例1(教材例2)如圖(1)所示,已知點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎?

B

(1)

(解析)我們只要連接點A和點B,作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點A和點B的對稱軸，為

此作出到點A,8距離相等的兩點,即