2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初中學(xué)業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)滿分：150分時間：120分鐘一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．每小題涂對得3分，滿分36分．1．下列各式正確的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和相反數(shù)的定義對各選項分析判斷即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴選項A不符合題意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項B不符合題意；C、∵|﹣5|＝5，∴選項C不符合題意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項D符合題意．故選：D．2．如圖，AB∥CD，點P為CD上一點，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．3．冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納米，則正確的結(jié)果是（）A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：110納米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故選：C．4．在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點M的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用點的坐標(biāo)特點進而分析得出答案．解：∵在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點M的縱坐標(biāo)為：﹣4，橫坐標(biāo)為：5，即點M的坐標(biāo)為：（5，﹣4）．故選：D．5．下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．故選：B．6．如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S＝|k|即可判斷．解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，∵點A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點B在雙曲線線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故選：C．7．下列命題是假命題的是（）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判斷，可求解．解：A、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形是真命題，故選項A不合題意；B、對角線互相垂直的矩形是正方形是真命題，故選項B不合題意；C、對角線相等的菱形是正方形是真命題，故選項C不合題意；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，故選項D符合題意；故選：D．8．已知一組數(shù)據(jù)：5，4，3，4，9，關(guān)于這組數(shù)據(jù)的下列描述：①平均數(shù)是5，②中位數(shù)是4，③眾數(shù)是4，④方差是4.4，其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，再根據(jù)方差公式計算數(shù)據(jù)的方差，然后利用計算結(jié)果對各選項進行判斷．解：數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，它的平均數(shù)為＝5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，數(shù)據(jù)的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正確．故選：D．9．在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．10．對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判定【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不論k為何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程沒有實數(shù)根，故選：B．11．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當(dāng)x＝1時，y的值最小，此時，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．12．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點A落在EF上的點A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點N．若直線BA′交直線CD于點O，BC＝5，EN＝1，則OD的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中位線定理可得AM＝2，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A′M＝A′N＝2，過M點作MG⊥EF于G，可求A′G，根據(jù)勾股定理可求MG，進一步得到BE，再根據(jù)平行線分線段成比例可求OF，從而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位線定理得AM＝2，由折疊的性質(zhì)可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2過M點作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故選：B．第Ⅱ卷非選擇題（共102分）注意事項：必須使用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆在答題卡上題目所指示區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．二.填空題(共6個小題，每題4分，共24分)13.分解因式：=．【答案】．【解析】試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，先提取公因式3后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：．考點：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．14.與最接近的自然數(shù)是________．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)得到，進而得到，因為14更接近16，所以最接近的自然數(shù)是2．【詳解】解：，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然數(shù)是2．故答案為：2．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，找到無理數(shù)相鄰的兩個整數(shù)是解題的關(guān)鍵．15.某中學(xué)新建食堂正式投入使用，為提高服務(wù)質(zhì)量，食堂管理人員對學(xué)生進行了“最受歡迎菜品”的調(diào)查統(tǒng)計，以下是打亂了的調(diào)查統(tǒng)計順序，請按正確順序重新排序（只填番號）_________________．①.繪制扇形圖；②.收集最受學(xué)生歡迎菜品的數(shù)據(jù)；③.利用扇形圖分析出受歡迎的統(tǒng)計圖；④.整理所收集的數(shù)據(jù)．【答案】②④①③【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計的一般順序排列即可．【詳解】統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論，故答案為：②④①③．【點睛】本題考查統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論．16.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長為________米（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分別在Rt△CEB與Rt△DFA中使用三角函數(shù)即可求解.【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB與Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．17.如圖，在矩形中，是上的一點，連接,將△進行翻折，恰好使點落在的中點處，在上取一點，以點為圓心，的長為半徑作半圓與相切于點;若,則圖中陰影部分的面積為____．【答案】.【解析】【分析】連接OG，證明△DOG∽△DFC，得出，設(shè)OG=OF=r，進而求出圓的半徑，再證明△OFQ為等邊三角形，則可由扇形的面積公式和三角形的面積公式求出答案．【詳解】解：連接OG，過O點作OH⊥BC于H點，設(shè)圓O與BC交于Q點，如下圖所示：設(shè)圓的半徑為r，∵CD是圓的切線，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折前后對應(yīng)的線段相等可得DF=DA=4，∵F是BC的中點，∴CF=BF=2，代入數(shù)據(jù)：∴，∴，∴，∴，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°，且OF=OQ，∴△OFQ是等邊三角形，∴∠DOQ=180°-60°=120°，同理△OGQ也為等邊三角形，∴OH=，且S扇形OGQ=S扇形OQF∴.故答案為：.【點睛】本題考查了扇形面積的計算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，直線與軸交于點，與雙曲線在第三象限交于兩點，且；下列等邊三角形，，，……的邊，，，……在軸上，頂點……在該雙曲線第一象限的分支上，則=____，前25個等邊三角形的周長之和為_______．【答案】(1).；(2).60【解析】【分析】設(shè)，設(shè)直線與軸的交點為H，先求解的坐標(biāo)，得到∠HAO=30°，用含的代數(shù)式表示，聯(lián)立函數(shù)解析式利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的方程，從而可得第一空的答案；過分別向軸作垂線，垂足分別為先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解的邊長，依次同法可得后面等邊三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再前25個等邊三角形的周長之和即可．【詳解】解：設(shè)，設(shè)直線與軸的交點為H，令則令則∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，過作軸于過作軸于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=，AC=，∴，聯(lián)立得到?！?，由已知可得，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，過分別向軸作垂線，垂足分別為設(shè)由等邊三角形的性質(zhì)得：得：（舍去）經(jīng)檢驗：符合題意，可得的邊長為4，同理設(shè)，解得：（舍去）經(jīng)檢驗：符合題意，的邊長為，同理可得：的邊長為，的邊長為．∴前25個等邊三角形的周長之和為=故答案為：【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查與反比例函數(shù)相關(guān)的規(guī)律題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三.解答題(共8個題，共78分)19.計算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的知識進行計算即可．【詳解】解：原式=【點睛】本題考查了實數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪、和負指數(shù)冪的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)運算法則進行計算．20.先化簡，再求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的運算法則化簡式子，再解不等式組得到不等式組的整數(shù)解，代入即可．【詳解】解：，解不等式組可得，∵，即，且為整數(shù)，∴，代入．【點睛】本題考查分式的化簡求值、不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是取值時，注意分式的分母不能為0．21.如圖，在正方形中，點在邊的延長線上，點在邊的延長線上，且,連接和相交于點．求證：．【答案】證明見解析．【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，∴（SAS），∴AE=BF．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22.某校為了響應(yīng)市政府號召，在“創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)”活動周中，設(shè)置了“:文明禮儀；：環(huán)境保護；；衛(wèi)生保潔；:垃圾分類”四個主題，每個學(xué)生選一個主題參與；為了解活動開展情況，學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．⑴.本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是人，=；⑵.請補全條形統(tǒng)計圖；⑶.學(xué)校要求每位同學(xué)從星期一至星期五選擇兩天參加活動，如果小張同學(xué)隨機選擇連續(xù)兩天，其中有一天是星期一的概率是；小李同學(xué)星期五要參加市演講比賽，他在其余四天中隨機選擇兩天，其中一天是星期三的概率是．【答案】（1）60，30；（2）畫圖見解析；（3），【解析】【分析】(1)由B的人數(shù)是12人，所占的百分比為20%即可求出總的學(xué)生人數(shù)，再用18除以總?cè)藬?shù)即可得到m的值；(2)總?cè)藬?shù)減去A、B、D的人數(shù)即可得到C的人數(shù)；(3)采用列舉的形式，將所有可能的情況按照從星期一到星期五的順序列出來，然后再用符合題意要求的情況除以總的情況即可得到概率.【詳解】（1），∴本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為60人，，故m=30．故答案為：60，m=30.（2）C的人數(shù)為：60-18-12-9=21(人)，補全圖形如下所示：（3）星期一到星期五連續(xù)的兩天為（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4種情況，符合題意的只有（星期一、星期二）這一種情況，故概率為；在星期一到星期四任選兩天的所有情況如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6種情況，其中有一天是星期三的情況有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3種情況，所以概率是.故答案為：，.【點睛】本題考查了列表法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖以及概率公式：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．23.甲、乙兩家商場平時以同樣價格出售相同商品，新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷，甲商場所有商品按9折出售，乙商場對一次購物中超過100元后的價格部分打8折．⑴.以（單位：元）表示商品原價，（單位：元）表示實際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；⑵.新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？【答案】（1）；（2）當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出兩家商場對應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式，可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢．【詳解】解：（1）由題意可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由上可得，；（2）由題意可知，當(dāng)購買商品原價小于等于100時，甲商場打9折，乙商場不打折，所以甲商場購物更加劃算；當(dāng)購買商品原價超過100元時，若，即此時甲商場花費更低，購物選擇甲商場；若，即，此時甲乙商場購物花費一樣；若，即時，此時乙商場花費更低，購物選擇乙商場；綜上所述：當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．24.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離．⑴.發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？⑵.探究問題：如圖，點分別表示的是，．∵的幾何意義是線段與的長度之和∴當(dāng)點在線段上時，;當(dāng)點點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時∴最小值是3．⑶.解決問題：①.的最小值是；②.利用上述思想方法解不等式：③.當(dāng)為何值時，代數(shù)式的最小值是2．【答案】①6；②或；③或【解析】【分析】(3)①根據(jù)絕對值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．【詳解】解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴表示數(shù)軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，表示數(shù)軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6.故答案為：6.②設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為或．故答案為：或．③設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或.【點睛】此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對值，以及數(shù)學(xué)常識，掌握絕對值的幾何意義，學(xué)會分類討論是解決本題的關(guān)鍵．25.如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點是⊙外一點，且，連接交于點，延長交⊙于點．⑴.證明：=；⑵.若，證明：是⊙的切線；⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點,連接;若，求的長．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）【解析】【分析】（1）連接CO，易證△PCO≌△PAO，得PO為∠APC的角平分線，根據(jù)條件證出F為優(yōu)弧中點，即可證明=；（2）因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據(jù)三角函數(shù)表示出BC，AC的長度，由勾股定理表示出OD的長度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可證明是⊙的切線；（3）連接AE，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，證出△PEA∽△PAB，可得，證出四邊形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可【詳解】解：（1）證明：如圖，連接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO為∠APC的角平分線，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC為⊙O的弦，PF過圓心O，∴F為優(yōu)弧中點，∴=，（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，且弦AB所對圓周角為∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半徑，∴PA是⊙O的切線；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，連接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，如圖所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四邊形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠B