湖北省宜昌市葛洲壩明珠中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，，若，則的值為（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C【知識點】數(shù)量積的定義因為,得

故答案為：C2.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+sinx，g（x）=x﹣2，設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直線PQ∥x軸，則P，Q兩點間最短距離為(

) A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；點到直線的距離公式．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)題意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），求出其導(dǎo)函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．解答： 解：x≥0時，f'（x）=ex+cosx≥1+cosx≥0，∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2，∴P，Q兩點間的距離等于|x2﹣x1|=||，設(shè)h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），則h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），記l（x）=h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），則l'（x）=ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0，∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=3，∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q兩點間的最短距離等于3．故選：B．點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．3.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是一條直線，給出下列命題：①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m∥α，α⊥β，則m⊥β．則（）A．①②都是假命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是真命題參考答案：B【分析】由面面垂直的判定①為真命題；若m∥α，α⊥β，m與β不垂直，【解答】解：由面面垂直的判定，可知若m⊥α，m?β，則α⊥β，故①為真命題；如圖m∥α，α⊥β，m與β不垂直，故②是假命題．故選：B．【點評】考查直線與平面、面與面的位置關(guān)系，解決此題問題，可以把圖形放入長方體中分析，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．4.設(shè)函數(shù)f（x）=在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f（x）的值不小于常數(shù)e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．參考答案：B【考點】CF：幾何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以長度為測度，即可求出概率．【解答】解：由題意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常數(shù)e，∴1≤x≤e，∴所求概率為=1﹣，故選B．【點評】本題考查概率的計算，考查分段函數(shù)，確定以長度為測度是關(guān)鍵．5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）．

．

．

．參考答案：A由三視圖知，原幾何體為一個正方體挖掉一個正四棱錐其中正方體的棱為2，正四棱錐的底面邊長為正方體的上底面，高為1.∴原幾何體的體積為,選A.6.設(shè)，且為正實數(shù)，則 A.2

B.1

C.0

D.參考答案：D7.如圖，在三棱錐中,兩兩互相垂直，且,設(shè)是底面三角形內(nèi)一動點，定義：，其中分別表示三棱錐的體積，若，且恒成立，則正實數(shù)的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略8.下列命題中的真命題是 （

）

A．對于實數(shù)、b、c，若，則B．x2＞1是x＞1的充分而不必要條件C．，使得成立D．，成立參考答案：C9.下列命題：①“”是“存在，使得成立”的充分條件；②“”是“存在，使得成立”的必要條件；③“”是“不等式對一切恒成立”的充要條件.其中所以真命題的序號是（

）A．③

B.②③

C.①②

D.①③參考答案：B10.“成等差數(shù)列”是“”成立的

（

）A．充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件

D.既非充分也非必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.達喀爾拉力賽（TheParisDakarRally)被稱為世界上最嚴(yán)酷、最富有冒險精神的賽車運動，受到全球五億人以上的熱切關(guān)注.在如圖所示的平面四邊形中，現(xiàn)有一輛比賽用車從地以的速度向地直線行駛，其中，,.行駛1小時后，由于受到沙塵暴的影響，該車決定立即向地直線行駛，則此時該車與地的距離是

．(用含的式子表示）參考答案：12.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的模為___________．參考答案：1，所以.

13.將邊長為1米的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是________．參考答案：略14.《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有“假令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假設(shè)一個芻童，上底面寬1尺，長2尺：下底面寬3尺，長4尺，高1尺（如圖，芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形，兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體）”．若該幾何體所有頂點在一球體的表面上，則該球體的表面積為

．參考答案：由已知得球心在幾何體的外部，設(shè)球心天幾何體下底面的距離為，則，解得，，該球體的表面積．15.已知等差數(shù)列的前n項和為，且．?dāng)?shù)列的前n項和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列,的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．參考答案：解：（Ⅰ）由題意，，得．

…………3分

，，，兩式相減，得數(shù)列為等比數(shù)列，．

…………7分（Ⅱ）．

……………8分

……………13分

略16.已知為正實數(shù)，函數(shù)在上的最大值為，則在上的最小值為

．參考答案：略17.學(xué)校擬安排六位老師至5月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排兩人，若六位老師中王老師不能值5月2日，李老師不能值5月3日的班，則滿足此要求的概率為

．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】六位老師值班每天兩人的排法有種，求出滿足要求的排法有42種，即可求出概率．【解答】解：六位老師值班每天兩人的排法有種，滿足要求的排法有：第一種情況，王老師和李老師在同一天值班，則只能排在5月1號，有種；第二種情況，王老師和李老師不在同一天值班，有種，故共有42種．因此滿足此要求的概率．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2，求f()＋f(－)的值．參考答案：f(x)的定義域為(－1,1)，∵f(－x)＝－(－x)＋log2＝－(－x＋log2)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，∴f()＋f(－＝0.19.

設(shè)函數(shù)，其中.

（1)若在處取得極值，求常數(shù)的值；

（2）設(shè)集合，，若元素中有唯一的整數(shù)，求的取值范圍.

參考答案：略20.設(shè)a＞0，a≠1為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝loga．(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－5)內(nèi)的單調(diào)性，并給予證明；(2)設(shè)g(x)＝1＋loga(x－3)，如果方程f(x)＝g(x)有實根，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)x1＜x2＜－5，則－＝·10·(x2－x1)＞0.若a＞1，則f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1)，此時f(x)在(－∞，－5)內(nèi)是增函數(shù)；若0＜a＜1，則f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)，此時f(x)在(－∞，－5)內(nèi)是減函數(shù)．(2)由g(x)＝1＋loga(x－3)及f(x)＝g(x)得1＋loga(x－3)＝loga?a＝．由?x＞5.令h(x)＝，則h(x)＞0.由＝＝(x－5)＋＋12≥4＋12，當(dāng)且僅當(dāng)?x＝5＋2時等號成立．∴0＜h(x)≤．故所求a的取值范圍是0＜a≤．21.某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大．已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）空調(diào)機洗衣機月資金供應(yīng)量（百元）成本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68

參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．【解答】解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均為整數(shù)．由圖知直線y=﹣x+P過M（4，9）時，縱截距最大．這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）．故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元．22.本小題滿分14分）已知，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若在(0,2)上無極值，求t的值；（Ⅱ）若存在，使得是在[0,2]上的最大值，求t的取值范圍；（Ⅲ）若為自然對數(shù)的底數(shù))對任意恒成立時m的最大值為1，求t的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）1;（Ⅱ）（Ⅲ）【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解析：（Ⅰ），又在(0,2)無極值

…………3分（Ⅱ）①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由得：在時無解②當(dāng)時，不合題意；③當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即④當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，滿足條件綜上所述：時，存在，使得是在[0,2]上的最大值.

…8分（Ⅲ）若對任意恒成立，即對