第49講直線與橢圓的位置關(guān)系思維導(dǎo)圖知識梳理1．焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).2．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則(1)弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0). 題型歸納題型1直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】直線y＝kx+k與焦點在y軸上的橢圓+＝1總有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．【例1-2】已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點（1，）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)m取何值時，直線y＝x+m與橢圓C：有兩個公共點；只有一個公共點；沒有公共點？【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y＝2x+m，橢圓C：+＝1，試問：當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C，（1）有兩個不重合的公共點；（2）有且只有一個公共點；（3）沒有公共點？【名師指導(dǎo)】判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)．(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點．題型2弦長問題【例2-1】已知橢圓C的焦點為F1（）和F2（），長軸長為6，設(shè)直線y＝x+2交橢圓C于A、B兩點．求：（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）弦AB的中點坐標(biāo)及弦長．【例2-2】已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4．（1）求橢圓方程；（2）過P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長．【跟蹤訓(xùn)練2-1】橢圓＝1，過原點O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|＝4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知橢圓＝1的離心率為，以橢圓的2個焦點與1個短軸端點為頂點的三角形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點F，且與橢圓交與A，B兩點，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，求直線l的方程．【名師指導(dǎo)】1．弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；④|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).2．弦長公式的運用技巧弦長公式的運用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大?。覀兊慕?jīng)驗是：若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．題型3中點弦問題【例3-1】已知：橢圓+＝1，求：（1）以P（2，﹣1）為中點的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．【例3-2】已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F恰為圓F：的圓心，直線l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中點的橫坐標(biāo)為，則C的短軸長為．【例3-3】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，點A，B分別為橢圓C的右頂點和下頂點，且點F1關(guān)于直線AB的對稱點為M．若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知斜率為k1（k1≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點）的斜率為k2，則k1?k2＝（）A． B．﹣4 C． D．﹣2【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為F（1，0），點在橢圓上，（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）斜率為k的直線l過點F且不與坐標(biāo)軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的左焦點為F，A、B兩點是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的點，若△ABF能構(gòu)成一個內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e＝（）A． B． C．﹣1 D．2﹣【名師指導(dǎo)】1.處理中點弦問題常用的求解方法(1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式可求得斜率．(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．2.求解橢圓上對稱問題的常用方法（1）將對稱兩點所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＞0建立不等關(guān)系，再由對稱兩點的中點在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍．（2）用參數(shù)表示中點坐標(biāo)，利用中點在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍．題型4橢圓與向量的綜合問題【例4-1】設(shè)點M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點，線段MN最長為4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點Q（0，2），且＞0，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍．【例4-2】已知P（2，0）為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點，點M在橢圓C的長軸上，過點M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)點M與坐標(biāo)原點O重合時，直線PA，PB的斜率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若＝2，求△OAB面積的最大值．【跟蹤訓(xùn)練4-1】已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個焦點，點M在C外，＝3，經(jīng)過M的直線l與C的一個交點為N，△MNF是有一個內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（）A． B． C．﹣1 D．【跟蹤訓(xùn)練4-2】在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b