行列和法則式2.記號二階與三階行列式

注二階行列式：二行二列，元素——

交叉相乘再相減(1)對角線法則3.展開式個元素i：行號，j：列號，第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天——

交叉相乘再相減對角線法則

注實線：主對角線虛線：副對角線矩陣與行列式第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天a.每項有兩個元素相乘由１開始的幾個自然數(shù)取所有2元排列：１２，２１）

注ｎ元排列：的排列．(2)一般規(guī)律——所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和或b.任一項形式(相乘規(guī)律)取所有2元排列：１２，２１）二階與三階行列式第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

（二）三階行列式

解三元一次線性方程組矩陣與行列式

得第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.記號

注三階行列式：三行三列，個元素二階與三階行列式第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3.展開式(1)對角線法則——交叉相乘再相減二階與三階行列式第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天a.每項有三個元素相乘取所有３元排列）(2)一般規(guī)律——所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和或b.任一項形式(相乘規(guī)律)二階與三階行列式第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天ｄ.一般規(guī)律二階與三階行列式第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(3)遞推公式二階與三階行列式第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

注a.三階行列式等于某行(列)元素與它們各自的代數(shù)余子式乘積之和。按i行展開按j列展開b.aij的代數(shù)余子式aij的余子式劃去aij所在的行和列余下的子式二階與三階行列式第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天４.例題例１計算解法一：對角線法則解法二：按第一行展開二階與三階行列式第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二階與三階行列式例２解方程解：由：解得：第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣與行列式（三）n階行列式1.定義Ａ第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.定義B(遞推定義)n階行列式記為當(dāng)n=1時，定義一階行列式為設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，則定義n階行列式為矩陣與行列式第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天稱上式為行列式D按第i列的展開式.其中，矩陣與行列式第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天五、方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作|A|或detA第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天運算規(guī)律：注：雖然

但第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天幾個特殊行列式的展開式1.對角行列式等于主對角線上元素的乘積。即：矩陣與行列式第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.3.上三角行列式(主對角線下方元素全為零)等于主對角線上元素的乘積，即矩陣與行列式第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.上三角行列式(主對角線下方元素全為零)等于主對角線上元素的乘積，即矩陣與行列式第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1.（四）行列式的性質(zhì)行列互換(轉(zhuǎn)置），行列式值不變例：記性質(zhì)2.某行（列）的公因子可提出來數(shù)乘行列式等于數(shù)乘某行（列）例：矩陣與行列式第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3.兩行（列）互換，行列式變號例：推論：兩行（列）相同，行列式等于零例：即，即矩陣與行列式第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4.兩行（列）成比例，行列式等于0例：性質(zhì)5：某行列分為兩項，行列式分為兩個例：+矩陣與行列式第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)6：一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)上，行列式值不變。例：矩陣與行列式第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1.用定義(抽象元素，無規(guī)律)A.低階(二階三階)對角線法則B.高階定義（五）行列式的計算矩陣與行列式第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2、基本方法A：法一：(造零)化為三角行列式利用行列式的性質(zhì)圖示:第一步第二步第三步矩陣與行列式第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天B.按含零元素較多的行或列展開第一步第二步第三步矩陣與行列式第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：計算解：矩陣與行列式第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(2)(-3)(-1)(7)(6)矩陣與行列式第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(3)矩陣與行列式第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天計算

例(-1)(-1)(-1)(-2)(-3)矩陣與行列式第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(-3)矩陣與行列式第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天另解(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)矩陣與行列式第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(-1)矩陣與行列式第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天計算

例(1)(1)(1)(-1)矩陣與行列式第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天另解(1)(1)(-1)(-1)矩陣與行列式(-3)第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣與行列式第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天計算

例(-2)(1)矩陣與行列式第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：計算(-1)(-1)矩陣與行列式第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：計算反對稱行列式矩陣與行列式第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解：矩陣與行列式即第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3、n階行列式解題方法：(1)定義(2)化為三角行列式(3)按含零元素較多的行(列)展開(4)遞推法(5)數(shù)學(xué)歸納法(6)利用已知行列式展開(7)其它矩陣與行列式第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天計算

例解：矩陣與行列式第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣與行列式第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

一、法則克萊姆法則

設(shè)線性方程組若系數(shù)行列式矩陣與行列式第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天則該方程組有唯一解，公式為：其中，將D中第j列換為常數(shù)使用條件a.方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)

注b.矩陣與行列式則該方程組有唯一解，公式為：第47頁,共51頁，2024年2月25日，星期天r1-2r2r1-r4第48頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第49