分段線性插值前面我們依據(jù)區(qū)間[a,b]上給出節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式Ln(x)近似表示f(x)。普通總認(rèn)為L(zhǎng)n(x)次數(shù)越高，迫近f(x)精度越好，但實(shí)際并非如此，次數(shù)越高，計(jì)算量越大，也不一定收斂。所以高次插值普通要慎用，實(shí)際上較多采取分段低次插值。第1頁(yè)1分段插值第2頁(yè)第3頁(yè)分段線性插值第4頁(yè)分段線性插值第5頁(yè)分段線性插值第6頁(yè)缺點(diǎn)：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在第7頁(yè)分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，假如交通工具用這么外形，則勢(shì)必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，所以用hermite分段插值更加好。第8頁(yè)分段三次Hermite插值第9頁(yè)分段三次Hermite插值算法第10頁(yè)第11頁(yè)2三次樣條插值第12頁(yè)三次樣條插值第13頁(yè)三次樣條插值第14頁(yè)三次樣條插值第15頁(yè)三次樣條插值第16頁(yè)三次樣條插值第17頁(yè)三次樣條插值第18頁(yè)三次樣條插值第19頁(yè)第20頁(yè)三次樣條插值第21頁(yè)三次樣條插值第22頁(yè)三次樣條插值第23頁(yè)三次樣條插值第24頁(yè)例題例2.4.1已知函數(shù)y=f(x)數(shù)表以下表所表示。

求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第25頁(yè)解做差商因?yàn)槭堑染嚯x節(jié)點(diǎn),第26頁(yè)由第二類邊界條件得第27頁(yè)解方程得將Mi代（*）式得第28頁(yè)因?yàn)楣?/p>

第29頁(yè)MATLAB實(shí)現(xiàn)x=0:0.15:0.60;y=[1,0.97800,0.91743,0.83160,0.73529];y1=interp1(x,y,0.2,'spline')y1=0.9615第30頁(yè)對(duì)離散數(shù)據(jù)曲線擬合最小二乘法曲線擬合問(wèn)題對(duì)于f(x)插值問(wèn)題,要想提升精度,就要增加節(jié)點(diǎn),所以多項(xiàng)式次數(shù)也就太高,計(jì)算量過(guò)大,而節(jié)點(diǎn)少,多項(xiàng)式次數(shù)低,但誤差精度不能確保,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點(diǎn)利用最小二乘法確定低次多項(xiàng)式近似表示f(x),這就是曲線擬合問(wèn)題.第31頁(yè)直線擬合第32頁(yè)第33頁(yè)曲線擬合在科學(xué)試驗(yàn)中,得到函數(shù)y=f(x)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù):,求曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.第34頁(yè)設(shè)是[a,b]上一組線性無(wú)關(guān)連續(xù)函數(shù),令記誤差.為尋求我們常以誤差加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn),即第35頁(yè)到達(dá)極小值,這里是[a,b]上權(quán)函數(shù).有多元函數(shù)極值必要條件有第36頁(yè)特例第37頁(yè)例題例1設(shè)函數(shù)y=f(x)離散數(shù)據(jù)以下表所表示試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第38頁(yè)解由式(*)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為第39頁(yè)平方誤差為第40頁(yè)MATLAB實(shí)現(xiàn)x=[0:0.2:1];y=[1.000,1.221,1.492,1.822,2.226,2.718];[p,s]=polyfit(x,y,2);y1=polyval(p,x);plot(x,y1,'b:',x,y,'r^')第41頁(yè)例2地球溫室效應(yīng)問(wèn)題下表統(tǒng)計(jì)了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升數(shù)據(jù).試依據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并依據(jù)這一模型,預(yù)報(bào)地球氣溫何年會(huì)比1860年平均溫度高第42頁(yè)年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第43頁(yè)解為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù),從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大100倍,依據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖以下第44頁(yè)第45頁(yè)從上圖能夠看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增加過(guò)程,所以,能夠假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù)α,β將上式改寫成第46頁(yè)記則有這是已知數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)地變?yōu)橐韵卤硭硎緉1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第47頁(yè)由（*）式取n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得解方程組得:第48頁(yè)對(duì)應(yīng)t與n指數(shù)型擬合