《高等數(shù)學(xué)》A第1頁第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

中值定理

洛必達(dá)法則泰勒公式導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第2頁中值定理

第一節(jié)學(xué)習(xí)重點了解羅爾定理掌握拉格朗日中值定理及其推論第3頁微分中值定理包含：羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理§3.1中值定理

微分中值定理共同特點是：在一定條件下，能夠斷定在所給區(qū)間內(nèi)最少有一點，使所研究函數(shù)在該點含有某種微分性質(zhì)。

微分中值定理是微分學(xué)理論基礎(chǔ)。是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)理論依據(jù)。第4頁一、費爾馬(Fermat)引理（1）極值(局部最值)定義：則稱函數(shù)(或極小值),并稱為

極值未必是函數(shù)在上最大值,極值只是局部最大.第5頁第6頁（2）費爾馬(Fermat)引理(極值必要條件)證實:第7頁第8頁說明:稱使點為函數(shù)駐點二、羅爾(Rolle)定理第9頁怎樣證實羅爾定理？想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大最小值定理！第10頁證實:第11頁三、拉格朗日(Lagrange)定理第12頁怎樣證實拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加條件:則為羅爾定理；羅爾定理若放棄條件:

則推廣為拉格朗日定理。

知識擴張所遵照規(guī)律之一就是將欲探索新問題轉(zhuǎn)化為已掌握老問題。所以想到利用羅爾定理！第13頁滿足羅爾定理條件弦線與f(x)在端點處相等設(shè)所以函數(shù)第14頁證實：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)第15頁拉格朗日公式各種形式第16頁有限增量公式微小增量公式第17頁推論1：[證]拉格朗日中值定理推論第18頁推論2：推論3：推論4：第19頁四、柯西(Cauchy)定理第20頁證實：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)第21頁拉格朗日定理羅爾定理柯西定理第22頁例1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x1)(x2)(x3),試判斷方程f'

x

有幾個實根,分別在何區(qū)間?解:因為f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在[1,2]上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理,

1(1,2),使

f(

1;同理,2,,使

f'(2;又因f'(x

是二次方程,至多兩個實根,故f'(x有兩個實根,分別位于(1,2)和(2,3)內(nèi).第23頁例２.設(shè)f(x)=x2+x.在[–1,1]上驗證拉格朗日中值定理正確性.解:(1)f(x)=x2+x在[–1,1]上連續(xù),在(–1,1)內(nèi)可導(dǎo).(2)看是否存在

(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'(

)·2即2(2

+1)=2–0或4

=0.

=0

(–1,1).

故

=0

(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'(

)·2.第24頁例３.證實當(dāng)x>0時,證:改寫原式,(利用公式證不等式時,往往要把待證式中一部分寫成形式,方便結(jié)構(gòu)函數(shù)f(x).)第25頁所以,記f(t)=ln(1+t),知f(t)在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理條件.且因故第26頁證在內(nèi)可導(dǎo)，且.

設(shè)，顯然在上連續(xù);即第27頁例5.設(shè)f(x)在(–,+)內(nèi)可導(dǎo).f(0)=0.證實

(–,+),使得2f(

)·f'(

)=3

2·f2(1)證:這一類問題,往往可考慮用中值定理處理.變形.注意到,第28頁左端,從而,待證式為故,記F(x)=f2(x),g(x