河南省開封市三義寨中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2}，則任取（m，n）∈A，關(guān)于x的方程x2+x+n=0有實(shí)根的概率為（） A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型． 【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程x2+x+n=0有實(shí)根，推得ac≤1；然后作出圖象，求出相應(yīng)的面積；最后根據(jù)幾何概型的概率的求法，關(guān)于x的方程x2+x+n=0有實(shí)根的概率即可． 【解答】解：若關(guān)于x的方程x2+x+n=0有實(shí)根，則△=12﹣mn≥0， ∴mn≤1； ∵M(jìn)={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，總事件表示的面積為2×2=4， 方程有實(shí)根時(shí)，表示的面積為2×+2×=1+lnm|=1+2ln2， ∴關(guān)于x的方程x2+x+n=0有實(shí)根的概率為， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型的應(yīng)用，考查了二元一次方程的根的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題． 2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為(

)

A

B

C

D

參考答案：C3.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)(如,),對(duì)于給定的,定義,,則當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是(

)

參考答案：D4.如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；

②；③；

④．其中“同簇函數(shù)”的是（

）A．①②

B．①④

C．②③

D．③④參考答案：C5.已知，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，且的最小值等于，則實(shí)數(shù)的值等于（

▲

）A． B． C．

D．參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題E5由z=y-2x，得y=2x+z，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域，平移直線y=2x+z，

由平移可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=2x+z的截距最小，此時(shí)z取得最小值為-2，即y-2x=-2，由，解得，即A（1，0），

點(diǎn)A也在直線x+y+m=0上，則m=-1，故選：A【思路點(diǎn)撥】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z=y-2x的最小值等于-2，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.7.不等式+logx3+2>0的解集為

A．[2，3)

B．(2，3]

C．[2，4)

D．(2，4]

參考答案：C解：令log2x=t≥1時(shí)，>t－2．t∈[1，2)，Tx∈[2，4)，選C．8.設(shè)集合，則使M∩N＝N成立的的值是()A．1

B．0

C．－1

D．1或－1參考答案：C略9.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10..若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為(

)(A)或

(B)

(C)

(D)或參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心，則過點(diǎn)A、M、N的平面截正方體的截面面積為_________．參考答案：12.如圖，已知直角△ABC的斜邊AB長(zhǎng)為4，設(shè)P是以C為圓心的單位圓的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為

．參考答案：[﹣3，5]．13.已知函數(shù)，則其最大值為

參考答案：14.若正四棱錐P﹣ABCD的棱長(zhǎng)都為2，且五個(gè)頂點(diǎn)P、A、B、C、D同在一個(gè)球上，則球的表面積為．參考答案：8π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，正四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，推出底面中心到頂點(diǎn)的距離為球的半徑，求出球的表面積．【解答】解：正四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，對(duì)角線的長(zhǎng)為2，如圖，因?yàn)镻﹣ABCD是所有棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，所以△PAC與△DPB都是等腰直角三角形，中心到P，到A，B，C，D的距離相等，是外接球的半徑R，R2+（）2=22，解得R=，∴球的表面積S=4π（）2=8π．故答案為：8π．【點(diǎn)評(píng)】本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的表面積，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、多面體的外接球、勾股定理與球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．15.已知平面向量，且，則

.參考答案：

16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交該拋物于兩點(diǎn)，則的最小值為

參考答案：1617.已知拋物線方程為y2=﹣4x，直線l的方程為2x+y﹣4=0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，點(diǎn)A到直線l的距離為n，則m+n的最小值為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1，過焦點(diǎn)F作直線2x+y﹣4═0的垂線，此時(shí)m+n=|AF|+n﹣1最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得m+n的最小值．【解答】解：由題意，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．過焦點(diǎn)F作直線2x+y﹣4═0的垂線，此時(shí)m+n=|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），則|AF|+n==，則m+n的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M.

（1）若M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)M的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)P、Q，若（其中F是拋物線的焦點(diǎn)），求證：直線l的斜率為定值.參考答案：解析：（1）

，∴拋物線方程為（2）設(shè)P（x-1,y1），Q（x2,y2）l的斜率為k.

①l的方程為聯(lián)立y2=2px，得

②又

③聯(lián)立①②③得經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，l與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn).證畢.19.(本題滿分13分)如圖，已知橢圓：的離心率，短軸右端點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.參考答案：解：(Ⅰ)由已知，，又，即，解得，所以橢圓方程為.

(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.

當(dāng)⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有，即；…………6分

當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：

.

設(shè)，，則，，

，

∵

.若，則，

即，整理得，∵，∴.綜上在軸上存在定點(diǎn)，使得.20.（15分）（2015?浙江模擬）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∠CBD=60°，BC=2．（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）若E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EF與平面ABC所成的角記為θ，當(dāng)tanθ的最大值為，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】：平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】：（Ⅰ）直接根據(jù)已知條件，利用線線垂直，轉(zhuǎn)化成線面垂直，最后轉(zhuǎn)化出面面垂直．（Ⅱ）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，建立等量關(guān)系，最后求出二面角平面角的余弦值．證明：（Ⅰ）在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，所以：AB⊥CD，又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面ABC，∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，則：C（0，0，0），D（，0，0），B（0，2，0），E（，1，0），設(shè)A（0，2，t），則：所以：F（0，2λ，tλ），，平面ABC的法向量為：，由sinθ=由于tanθ的最大值為，則：（t2+4）﹣4λ+4的最小值為．解得：t=4，又∵BC⊥CD，AC⊥CD，所以∠ACB就是二面角A﹣CD﹣B的平面角．cos∠ACB==．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面垂直的判定定理，二面角的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用．及相關(guān)的運(yùn)算問題．21.

（1）用導(dǎo)數(shù)證明:若,則.

（2）若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值．

參考答案：解：（1）設(shè)f(x)=x-sinx，g(x)=tanx-x，x∈(0，π/2)f'(x)=1-cosx>0g'(x)=(1/cos2x)-1>0由

于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是單調(diào)遞增函數(shù)所以f(x)>f(0)=0，g(x)>g(0)=0==>x-sinx

>0，tanx-x>0=>x>sinx，tanx>x∴sinx<x<tanx，x∈(0，π/2)

………6分（2）當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sinx－ax>0”，“<b”等價(jià)于“sinx－bx<0”．令g(x)＝sinx－cx，則g′(x)＝cosx－c.討論：當(dāng)c≤0時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x∈恒成立．當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x∈，g′(x)＝cosx－c<0，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而g(x)<g(0)＝0對(duì)任意x∈恒成立．

………8分當(dāng)0<c<1時(shí)，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cosx0－c＝0.g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下：x(0，x0)x0g′(x)＋0－g(x)遞增

遞減因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，x0)上是增函數(shù)，所以g(x0)>g(0)＝0.于是“g(x)>0對(duì)任意x∈恒

成立”當(dāng)且僅當(dāng)g＝1－c≥0，即0<c≤.

………11分綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c≤時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x∈恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g(x)<0對(duì)任意x∈恒成立．所以，若對(duì)任意恒成立，則的最大值為，的最小值為1.

略22.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（3，）．曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ﹣）（θ為參數(shù)）．（Ⅰ）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若Q為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）由P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（3，），利用可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ﹣）（θ為參數(shù)），展開可得：ρ2=（ρcosθ+ρsinθ），利用及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐標(biāo)方程．（II）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=的直角坐標(biāo)方程為：：2x+4y=．設(shè)Q，