標(biāo)題-2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)三維設(shè)計(jì)蘇教版必修5：課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十八)--簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題PAGE課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十八）簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則x＋2y的最大值是________．解析：作出題設(shè)約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，平移直線l0：x＋2y＝0至點(diǎn)A時(shí)，x＋2y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))可得(x＋2y)max＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)2．已知a＞0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值為1，則a等于________．解析：由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當(dāng)直線l過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A(1，－2a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax取得最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：作出如圖可行域，由z＝y(tǒng)－ax得y＝ax＋z可知，直線在y軸上的截距最大時(shí)，z最大，結(jié)合圖象可知，在A(1,3)處取得最大值，需a>1.答案：(1，＋∞)4．若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x＋y≥0，,x－y－2≤0，))則z＝x－2y的最大值為________．解析：如圖，畫出約束條件表示的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y經(jīng)過(guò)x＋y＝0與x－y－2＝0的交點(diǎn)A(1，－1)時(shí)，取到最大值3.答案：3則a的值為________．解析：依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：17．如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,y＋1≥0，,x＋y＋1≤0，))那么z＝4－x·2y的最大值為________．解析：可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直線y＝2x＋t過(guò)點(diǎn)B(－2，－1)時(shí)，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值為8.答案：88．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a，,x＋y≥8，,x≥6，))且不等式x＋2y≤14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a≥8，否則可行域無(wú)意義．由圖可知x＋2y在點(diǎn)(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.答案：[8,10]9．直線l：x＝my＋n(n＞0)過(guò)點(diǎn)A(4,4eq\r(3))，若可行域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤my＋n，,\r(3)x－y≥0，,y≥0))的外接圓直徑為eq\f(14\r(3),3).求實(shí)數(shù)n的值．解：作出可行域如圖所示，過(guò)原點(diǎn)的直線OA的傾斜角為60°，由直線l：x＝my＋n(n＞0)過(guò)點(diǎn)A(4，4eq\r(3))，可得4＝4eq\r(3)m＋n.又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,\r(3)x－y＝0))可解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為A(4,4eq\r(3))，又點(diǎn)B坐標(biāo)為(n,0)，∴eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(14\r(3),3)，∴AB＝7，∴(4－n)2＋(4eq\r(3))2＝49，∴n＝3或5.10．已知x，y滿足條件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0，))求：(1)4x－3y的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，設(shè)z＝4x－3y.直線4x－3y＝0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)．作一組與4x－3y＝0平行的直線l：4x－3y＝t.則當(dāng)l過(guò)C點(diǎn)時(shí)，t值最小；當(dāng)l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，t值最大．∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.故4x－3y的最大值為14，最小值為－18.(2)設(shè)u＝x2＋y2，則eq\r(u)為點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)的距離．結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域，不難知道：點(diǎn)B到原點(diǎn)距離最大；而當(dāng)(x，y)在原點(diǎn)時(shí)，距離為0.∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0，∴x2＋y2的最大值為37，最小值為0.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．設(shè)D為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2x－y≤0，,x＋y－3≤0))所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為________．解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B(1，0)到直線2x－y＝0的距離最小，d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5)<1，故最小距離為eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)2．若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))則z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由已知不等式組作可行域如圖陰影部分所示．令x＋2y＝k，則y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)，問題由求k的最小值轉(zhuǎn)化為求直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)的縱截距的最小值．顯然當(dāng)直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)過(guò)原點(diǎn)O時(shí)，截距最小，此時(shí)kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值為1.答案：13．已知x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，則a＝________.解析：依題意可知a<1.作出可行域如圖所示，z＝2x＋y在A點(diǎn)和B點(diǎn)處分別取得最小值和最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝x，))得A(a，a)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝x，))得B(1,1)．∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．設(shè)二元一次不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－19≥0，,x－y＋8≥0，,2x＋y－14≤0))所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是________．解析：作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8)．當(dāng)y＝ax過(guò)A(1,9)時(shí)，a取最大值，此時(shí)a＝9；當(dāng)y＝ax過(guò)C(3,8)時(shí)，a取最小值，此時(shí)a＝2，∴2≤a≤9.答案：[2,9]5．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥1，,x＋y≥1，,x≤2，))則滿足函數(shù)y＝2x－t的t最大值為________．解析：由約束條件作出可行域如圖所示，可知(x，y)是由點(diǎn)A(1,0)，B(2,1)，C(2，－1)三點(diǎn)組成的三角形區(qū)域，令t＝2x－y，即當(dāng)經(jīng)過(guò)C(2，－1)時(shí)，t有最大值5.答案：56．若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,x－2y≥－4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則loga(－b)＝________.解析：由線性約束條件得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分．由z＝5y－x，得y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5).由圖知目標(biāo)函數(shù)y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5)，過(guò)點(diǎn)A(8,0)時(shí)，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8.目標(biāo)函數(shù)y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5)過(guò)點(diǎn)B(4,4)時(shí)，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16.所以loga(－b)＝log168＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)ω(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，所以利潤(rùn)ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如圖所示，作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最優(yōu)解為A(50,50)，此時(shí)ωmax＝550元．故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為550元．8．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－3y≤－4，,3x＋5y≤30.))(1)求目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最大值和最小值；(2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，求a的值；(3)求z＝eq\f(y＋5,x＋5)的取值范圍．解：作可行域如圖所示．(1)作直線l：2x＋y＝0，并平移此直線，當(dāng)平移直線過(guò)可行域內(nèi)的A點(diǎn)時(shí)，z取最小值；當(dāng)平移直線過(guò)可行域內(nèi)的B點(diǎn)時(shí)，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－3y＝－4，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＝－4，,3x＋5y＝30，))得B(5,3)．∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋eq\f(5,3)＝eq\f(11,3).(2)一般情況下，當(dāng)z取得最大值時(shí)，直線所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線z＝ax＋y平行于直線3x＋5y＝30時(shí)，線段BC上的任意一點(diǎn)均使z取得最大值，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)即最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)．又kBC＝－eq\f(3,5)，∴－a＝－eq\f(3,5).∴a＝eq\f(3,5).(3)z＝eq\f(y＋5,x＋5)＝eq\f(y－－5,x－－5)，可看作區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)D(