第10講一元二次方程的解法-根的判別式2.2【學習目標】1.會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況；2.由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍。【基礎(chǔ)知識】1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.【考點剖析】考點1：根據(jù)一元二次方程根的判別式符號判斷根的情況例1．下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0例2．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根例3．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17例4．方程的根的判別式Δ＝_____，其根的情況_____．考點2：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍（任何有關(guān)一元二次方程的題養(yǎng)成a≠0的解題素養(yǎng)）例5．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且例6．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1例7．若關(guān)于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有實根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠0例8．已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且例9．已知x2-x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是_____．例10．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值為_______．例11．如果關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，那么滿足______________例12．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則可取的最大整數(shù)是______．例13．已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是__________．例14．已知實數(shù)k，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人對關(guān)于x的方程kx2-（k+2）x+k=0進行了討論：甲說：這一定是關(guān)于x的一元二次方程；乙說：這有可能是關(guān)于x的一元一次方程；丙說：當k≥-1時，該方程有實數(shù)根；丁說：只有當k≥-1且k≠0時，該方程有實數(shù)根．A．甲和丙說的對 B．甲和丁說的對 C．乙和丙說的對 D．乙和丁說的對考點3：根據(jù)相應條件，衍化變形，邏輯推理，并推斷出結(jié)果例15．以下關(guān)于一元二次方程的根的說法中，不正確的是（

）A．若c＝0，則方程一定有一根為0；B．若，則方程一定有兩個實數(shù)根；C．若，則方程必有一根為－1；D．若，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．例16．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；②若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②考點4：復雜的知根求參（數(shù)）；知參（數(shù)）求根例17．已知a、b、c為常數(shù)，且a（a+b+c）＜0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情況是（）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有兩個實數(shù)根例18．關(guān)于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有兩個相等的實數(shù)根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，則 B．若，則0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，則 D．若，則0＜a＜1考點5：創(chuàng)新閱讀材料題例19．定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)=c B．a(chǎn)=b C．b=c D．例20．將4個數(shù)a，b，c，d排成2行，2列，兩邊各加一條豎線，記成，并規(guī)定，例如，則的根的情況為（

）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根考點6：解答證明題例21．已知關(guān)于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）．(1)若方程只有一個根，求m的值并求出此時方程的根；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的值．例22．已知關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）.（1）如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍.（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值．（3）如果方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍.例23．已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）如果方程根的判別式的值為1，求m的值．（2）如果方程有一個根是—1，求此方程的根的判別式的值．例24．已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．例25．設a、b、c是△ABC的三邊，關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，且方程3cx+2b＝2a的根為0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若a、b為方程x2+mx﹣3m＝0的兩根，求m的值．【真題演練】一、單選題1．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠12．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）小剛在解關(guān)于x的方程時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（）A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）對于實數(shù)，定義新運算：，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且二、填空題4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則_________．5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是________．6．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）若一元二次方程無解，則c的取值范圍為_________．三、解答題7．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．8．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．一元二次方程的根的情況是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定2．若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則整數(shù)的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．43．當k不小于時，方程有（

）．A．兩個不相等的實數(shù)根 B．兩個相等的實數(shù)根 C．兩個實數(shù)根 D．以上都不正確4．已知分別是三角形的三邊，則方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根B．可能有且只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根5．關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且6．一元二次方程根的判別式的值為（）A．8 B． C． D．7．已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．8．下列命題：①若，則1是方程的根；②若，則一元二次方程一定有兩不相等的實數(shù)根；③若一元二次方程有一個根是，則代數(shù)式的值是；④一元二次方程的兩根為，若，則；⑤若，則一元二次方程一定有兩不相等的實數(shù)根．其中正確的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤9．定義：如果一元二次方程滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＝c B．a(chǎn)＝b C．b＝c D．a(chǎn)＝b＝c10．關(guān)于x的方程，有下面5個說法：①存在實數(shù)k，使得方程無實數(shù)根；②存在實數(shù)k，使得方程恰有1個實數(shù)根；③存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同實數(shù)根；④存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同實數(shù)根；⑤存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同實數(shù)根；其中正確的說法有（

）個A．0 B．2 C．3 D．5二、填空題11．關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是______．12．一元二次方程的根的判別式的值為______.13．一元二次方程有兩個____________的實數(shù)根（填相等或不相等）14．（1）關(guān)于的方程．①有實數(shù)根，則m的取值范圍是_______；②有兩實數(shù)根，則m的取值范圍是_______．（2）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是_______．15．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則______．16．關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍為______．17．關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是______．18．關(guān)于x的一元二次方程，下列說法：①若，則關(guān)于x的方程必有一個根為；②當（時，則關(guān)于x的方程必有實數(shù)根；③若，則方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；④若和有一個相同的根，那么這個根一定是1．其中正確的是______________（填序號）三、解答題19．已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為非負整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．20．關(guān)于的一元二次方程：(1)當時，求方程的根；(2)若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；21．已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．(1)求證：不論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有一個根是，求的值．22．已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個實數(shù)根為負數(shù)，求m的取值范圍.23．因式定理：對于多項式，若，則是的一個因式，并且可以通過添減單項式從中分離出來．已知．(1)填空：當時，，所以是的一個因式．于是．則________________；(2)已知關(guān)于x的方程的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實數(shù)k的值．24．對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一