湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第七中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)＝(A≠0，>0，－<<)的圖象關(guān)于直線對稱，

它的周期是，則（

）A．的圖象過點(diǎn)(0，)

B．在區(qū)間[，]上是減函數(shù)C．的最大值是A

D．的圖象的一個(gè)對稱中心是(，0)

參考答案：D2.函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象，可由y＝sinx的圖象經(jīng)過下述哪種變換而得到:（

）A.向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍B.向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍C．向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍D．向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍參考答案：B略3.已知等邊的邊長為2，為內(nèi)（包括三條邊上）一點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2

B．

C.0

D．參考答案：A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則．故令，則t表示內(nèi)（包括三條邊上）上的一點(diǎn)與點(diǎn)間的距離的平方．結(jié)合圖形可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B或C重合時(shí)t可取得最大值，且最大值為，故的最大值為．選A．

4.若集合，，則等于[

]

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.若，則的最小值是

（

）A．

B．8

C．10

D．12參考答案：B6.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.（5分）若直線l∥平面α，直線a?α，則l與a的位置關(guān)系是（） A． l∥a B． l與a異面 C． l與a相交 D． l與a平行或異面參考答案：D考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題： 閱讀型．分析： 可從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．直線l∥平面α，所以直線l∥平面α無公共點(diǎn)，故可得到l與a的位置關(guān)系解答： 直線l∥平面α，所以直線l∥平面α無公共點(diǎn)，所以l與a平行或異面．故選D點(diǎn)評： 本題考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，考查邏輯推理能力．8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意的，不等式恒，則實(shí)數(shù)m的最大值是（

）A．-1

B．

C.

D．參考答案：C函數(shù)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),時(shí),函數(shù)為增函數(shù).若對任意的，不等式恒成立，則,即,所以.當(dāng)時(shí),,所以,解得,所以.當(dāng),時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),,無解,故,的最大值為.

9.函數(shù)y=x2﹣4x+1，x∈[1，5]的值域是（）A．[1，6] B．[﹣3，1] C．[﹣3，+∞） D．[﹣3，6]參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】首先求函數(shù)y=x2﹣4x+1，在區(qū)間[1，5]上的值域，考慮到函數(shù)是拋物線方程，可以求得對稱軸，然后判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再求解最大值最小值，即得答案．【解答】解：對于函數(shù)f（x）=x2﹣4x+1，是開口向上的拋物線．對稱軸x=，所以函數(shù)在區(qū)間[1，5]上面是先減到最小值再遞增的．所以在區(qū)間上的最小值為f（2）=﹣3．又f（1）=﹣2＜f（5）=6，，所以最大值為6．故選D．10.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（

）A.－2 B. C. D.－1參考答案：B分析：根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可.詳解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，），則關(guān)于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解是．參考答案：{x|﹣1≤x＜2}【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，α為常數(shù)．把點(diǎn)（2，）代入可得：，解得α，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，α為常數(shù)．由于圖象過點(diǎn)（2，），代入可得：，解得．∴f（x）=．可知：函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∵f（a+1）＜f（3），∴0≤a+1＜3，解得﹣1≤a＜2．∴關(guān)于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解集是{x|﹣1≤x＜2}．故答案為：{x|﹣1≤x＜2}．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的解析式與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12.過三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中有

條與平面ABB1A1平行．參考答案：6【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】作出圖象，由圖形知只有過H，G，F(xiàn)，I四點(diǎn)的直線才會與平面ABB1A1平行，由計(jì)數(shù)原理得出直線的條數(shù)即可【解答】解：作出如圖的圖形，H，G，F(xiàn)，I是相應(yīng)直線的中點(diǎn)，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面HGFI中，由此四點(diǎn)可以組成C42=6條直線．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查滿足條件的直線的條數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．13.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則______參考答案：5根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及性質(zhì)可得：，得，故答案為.14.已知△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的等邊△A1B1C1，那么原△ABC的面積為________．參考答案：215.若,則m的值為______________。參考答案：由題意得，＝－1，∴＝－1，即lgm＝－lg3＝lg，∴m＝.16.若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函數(shù)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間是________．參考答案：[0，＋∞)略17.若函數(shù)f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期為，則ω=

． 參考答案：4【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法． 【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 【分析】由三角函數(shù)的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值． 【解答】解：由三角函數(shù)的周期性及其求法可得：T==， 解得：ω=4． 故答案為：4． 【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識的考查． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知直線l：ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)（其中a，b為實(shí)數(shù)），點(diǎn)Q（0，）是圓內(nèi)的一定點(diǎn)．（1）若a=，b=1，求△AOB的面積；（2）若△AOB為直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q之間距離最大時(shí)的直線l方程；（3）若△AQB為直角三角形，且∠AQB=90°，試求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．參考答案：考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用．專題： 直線與圓．分析： （1）由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，進(jìn)一步求得|AB|，然后代入三角形的面積公式得答案；（2）在直角三角形AOB中，求得|AB|，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到a，b的關(guān)系，把|PQ|用含有b的代數(shù)式表示，通過配方法求得點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q之間距離最大時(shí)的a，b的值，則直線l的方程可求；（3）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用圓中的垂徑定理列式求得AB中點(diǎn)M的軌跡方程．解答： （1）由已知直線方程為2x+y=1，圓心到直線的距離，，∴；（2）∵△AOB為直角三角形，∴|AB|=，∴圓心到直線的距離為，即2a2+b2=2，∵2﹣b2=2a2≥0，∴，=，當(dāng)時(shí)可取最大值，此時(shí)a=0，∴直線l方程為；（3）設(shè)M（x，y），連OB，OM，OQ，則由“垂徑定理”知：M是AB的中點(diǎn)，則OM⊥AB，∴|OM|2+|MB|2=|OB|2，又在直角三角形AQB中，，∴|OM|2+|QM|2=|OB|2，即，∴M點(diǎn)的軌跡方程為：．點(diǎn)評： 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，訓(xùn)練了平面幾何中垂徑定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是中檔題．19.已知圓C過兩點(diǎn)M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圓心在直線2x﹣y﹣2=0上（1）求圓的方程；（2）直線l過點(diǎn)（﹣2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過點(diǎn)P（3，﹣1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）圓心C是MN的垂直平分線與直線2x﹣y﹣2=0的交點(diǎn)，CM長為半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）直線l過點(diǎn)（﹣2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則C到l的距離小于半徑，進(jìn)而得到k的取值范圍；（3）求出AB的垂直平分線方程，將圓心坐標(biāo)代入求出斜率，進(jìn)而可得答案．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）MN的垂直平分線方程為：x﹣2y﹣1=0與2x﹣y﹣2=0聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為C（1，0）R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25∴圓C的方程為：（x﹣1）2+y2=25…（2）設(shè)直線l的方程為：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，設(shè)C到直線l的距離為d，則d=由題意：d＜5

即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因?yàn)閗＞0∴k的取值范圍是（，+∞）…（3）設(shè)符合條件的直線存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0∵弦的垂直平分線過圓心（1，0）∴k﹣2=0

即k=2∵k=2＞故符合條件的直線存在，l的方程：x+2y﹣1=0…20.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求經(jīng)過點(diǎn)B且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求外接圓的方程.參考答案：解：（1）若直線過原點(diǎn)，則方程為

若直線不過原點(diǎn)，則方程為

（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，則的斜率為設(shè)直線的方程把點(diǎn)代入上式得，即直線的方程解得，即

，、的中點(diǎn)為的外接圓的圓心為，半徑為方程為.

略21.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=btanA，且B為鈍角．（Ⅰ）證明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由題意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范圍和誘導(dǎo)公式可得；（Ⅱ）由題意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化簡可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B為鈍角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A