第48題數(shù)列求和

題源探究?黃金母題

1

求數(shù)冽一—的前〃項和sn.

71(71+2)

【試題來源】例1：人教A版必修5P47習(xí)

【答案】S.

題2.3B組改編；

【解析】【母題評析】這類題考查數(shù)列求和的基本

41I+小\(I|1彳法，考查考生的分析問題解決問題的能

2[3J2[24；2(35Jn+2)2(2〃+1"+2方以及基本計算能力.

【思路方法】根據(jù)和式的結(jié)構(gòu)特征選用公

式法、分組法、錯位相減法、倒序相加法、

裂項相消法求和.

考場精彩?真題回放

【2020年高考山東】將數(shù)列｛2"-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則｛%｝的前〃項和為

【命題意圖】本類題以考查分組法、錯位

【答案13n2—2n

相減法、倒序相加法、裂項相消法求和為

【解析】因為數(shù)列｛271-1)是以1為首項，以2為公差的主，識別出等差(比)數(shù)列，直接應(yīng)用公

式法也是考查的熱點.

等差數(shù)列，

【考試方向】這類試題在考查題型上，以

數(shù)列｛3〃-2｝是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，

解答題為主，一般第一問考查求數(shù)列的通

項，第二問考查求和，并與不等式、函數(shù)、

所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列｛%｝是以1為最值等問題綜合，難度較大.

首項，以6為公差的等差數(shù)列，

【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

所以｛%｝的前〃項和為〃?1+歿二①6=3〃2-2〃，

【難點中心】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通

故答案為：3〃2一2”.項公式及前〃項和公式列方程組求數(shù)列的

首項和公差或公比，進而寫出通項公式及

前〃項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列

的基本要求，數(shù)列求和方法常用的方法還

有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法

和分組求和法等.

三.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點一等差數(shù)列的前〃和的求和公式：5"==叫匕.

考點二等比數(shù)列前〃項和公式

一般地，設(shè)等比數(shù)列4，。2，。3，，《,，的前〃項和是s“=6+。2+4++/，當qwl時,

S"="?一0'）或S"當4=1時，S“=〃％（錯位相減法）.

j1-<7

考點三數(shù)列前八項和

①重要公式：⑴￡%=1+2+3++〃=叱+0；

念2

(2)￡(21)=1+3+5++(2〃-1)=〃2；

k=i

n「I-|2

(3)f攵3=]3+23+…+/=+；

jt=iL2_

(4)￡*2=l2+22+32H---\-rr=-n(/2+1)(2〃+1).

k=\6

②等差數(shù)列中，Si=鼠+5”+加以；③等比數(shù)列中，Si=Sn+q〃Sm=Sm+q”n.

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，以解答題為主，一般第一問考查求數(shù)列的通項，第二問考查求

和，并與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合，難度較大.

考向1公式法求和

已知在數(shù)列｛4｝中，％=1,anaH+i=T.【溫馨提醒】

鍵根據(jù)條件判斷數(shù)列的

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；類型，然后根據(jù)數(shù)列的

前n項和公式求和。

⑵若a=log2a?,數(shù)列｛b,,｝的前n項和為Sn,求S,.

/I-I

2萬，〃是奇，2-\

【答案】（1）%=｛,（2）當“為奇數(shù)時，S"=n『，當〃為

2，,〃是偶.

〃2

偶數(shù)時，亍.

【解析】（D因為anan+x=2",所以當〃22時，an_ian=，所以4=2,

%

所以數(shù)列｛4,,｝的奇數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，偶數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列.

C71-Iw-1

又q=1,4,=4=2,所以當〃為奇數(shù)時，a?=\-2T=22\

-?i

n-\

njn22〃是奇

當〃為偶數(shù)時，氏=22=22,所以為=｛.

2工〃是偶.

（2）因為4=1,4/（“+1=2",hn=log2??,所以2+2用=〃.討論：

當〃為奇數(shù)時，J=偽+（仇+4）+他+/）++（4i+〃）

川一1

=0+2+4++(〃-1)=---

當〃為偶數(shù)時，"=胡+3)+(4+&)++(%+，)

rj~9

=1+3++(?-1)=—

考向2分組轉(zhuǎn)化法求和

n【溫馨提醒】用錯

已知數(shù)列也｝的前〃項和分別為S“，Tn,hn-an=2+\,且

位相減法求和應(yīng)注意的

S“+，=2叫〃2-2.

問題(1)要善于識別題

目類型，特別是等比數(shù)

⑴求S“；

列公比為負數(shù)的情形；

(2)求數(shù)列圖的前〃項和R,,.q

(2)隹寫出“久」

“夕S"”的表達式時應(yīng)

【答案】(D2,,+l+n-2(2)n+2--^

T特別注意將兩式“錯項

對齊”以便下一步準確

【解析】試題分析：(1)先根據(jù)分組求和法分成一個等差與一個等比數(shù)列的

h匕寫出“S"一＜7S”,，的表

和的和，再分別求和，(2)因為之=1+2,所以利用錯位相減法以及分組求和

2〃X

達式；(3)在應(yīng)用錯位相

法求和.

減法求和時，若等比數(shù)

,?

試題解析：(1)依題意可得4—a1=3,b2—a2=5,...?hn-an=2+1,列的公比為參數(shù)，應(yīng)分

公比等于1和不等于1

:1-s.=(4+bH----1-/?,)-(?)+a+???+??)

22兩種情況求解.

=〃+(2+2?+…+2")=2川+“-2.

-n

⑵???2S“=S“+7；—(北―S,)

又…,,=2"+l,.?也=2"+〃，.?.聲b=1+爰n,

…(12/i>.11(\2

"=〃+匕+齊+…+旬，貝n勺凡=y+盡+初+…+尸n\)

11

故R“=〃+2x22'用

1-2

考向3錯位相減法求和

已知數(shù)列｛4｝的前N項和是S,，且S,+；4=l(〃wN*).數(shù)列也｝是公【溫馨提醒】該題考壬

3的是有關(guān)數(shù)列的通項公

差d不等于o的等差數(shù)列，且滿足：a=：%,打，瓦I成等比數(shù)列.

式以及求和問題，在求

(1)求數(shù)列包｝、也｝的通項公式；解的過程中，要明確遞

推公式的利用，要銘記

⑵設(shè)a=/也,求數(shù)列｛%｝的前〃項和等差數(shù)列和等比數(shù)列的

通項公式的求法，第二

■田上、/、J1丫/八八2〃+2

【答案】(1)a=2二；(2)2-------問應(yīng)用錯位相減法求

〃⑶3〃

和，在求和的過程中，

12

【解析】(1)〃=1時，+—6f|=1,6Zj=—一定要明確整理之后的

括號里的只有〃一1項.

S,,=l11

心2時，｛，sn-Sn_y=-(an_,-an),：.an=-an_x

(n>2)

?I?(1Y(1、

｛%｝是以上為首項，上為公比的等比數(shù)列，q=±x-\=2-

333<3y(3,

a1,又及=%濟4得:(l+4d)2=(l+d)(l+13d),d?-2d=0,

因為doO解得d=2,b?=2n-l.

4〃一2

⑵c,=

3”

.2610

T=—I-y—r+

〃332333”

4〃-64/2-2

+---------1--------1

33233343"3,,+|

22114/2-2

-T?=-+4

3"3+F3向

11

224?-22T424H-22〃+2

-T=—+4x

n3的：91—2

3"31-133"3,,+'3"

考向4裂項相消法求和(高頻考點)

已知等比數(shù)列｛a,｝的前〃項和為S“，q=2,4>0(“eN*),Se+y是【技能方法】本題主要

考查求等比數(shù)列的通項

S4+a4,S5+%的等差中項.

公式以及裂項相消法求

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；數(shù)列的和，屬于中檔

題.裂項相消法是最難

2'

(2)設(shè)d=log22"T，數(shù)列'的前”項和為1,求T..把握的求和方法之一，

2〔她J

其原因是有時很難找到

裂項的方向，突破這一

1、〃2

-;(2)---

(2)2n-l難點的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂

【解析】分析：(1)由S6+4是54+%，S.5+%的等差中項，推出4%=%，項技巧：(1)

再根據(jù)數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列，即可求得公比，從而可得數(shù)列｛4｝的通項公式；(2)

〃(〃+2)k\nn+k)*

2(2)

根據(jù)（1）可得數(shù)列｛2｝的通項公式，進而可得數(shù)列［獲一］的通項公式，再根

據(jù)裂項相消法求和，即可求得7；.；(3)

11_____!_)

(2n—l)(2n+l)2\-12n+l)

詳解：⑴?.?4+。6是54+4,S5+%的等差中項，二

；(4)

2（§6+4）=$4+4+S5+。5

1_111

n(n+l)(w+2)2n(/i+l)(M+I)(H+2)

S6+a6-S4-tz4=S5+tz5-S6-a6,化簡得，4a6=a4,:此外，需注意裂項之

后相消的過程中容易出

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則/現(xiàn)丟項或多項的問題，

導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

］（1V-1（1丫-2

=

,?*cin>0（幾￡N）,；?q>0,:0q=-92x—=—.

212）12,

（2）由⑴得：2=log〃,,i=log1（!）2?3=2〃一3.

o02

2211

設(shè)西=(2〃-3)(2〃-1)=不5

G2〃一1

五.限時訓(xùn)練*提升素養(yǎng)

1.(2020?吉林長春)已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,可+|=端=，則數(shù)列｛%4,用｝的前〃項和北=()

nn2nn

A.-----B.-----C.-----D.------

2n-l2〃+12〃+14"+2

【答案】B

【詳解】

己知數(shù)列｛??｝滿足q=l,4+i=同：

a11+2/I、11c

在等式4+i=丁n七兩邊同時取倒數(shù)得—=-----+2---------=2,

2%+1??+i????+1??

所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為'=1,公差為2,則」~=1+2(〃-1)=2〃-1,

an]a}an2n-l

_1_1<1]、

"a"a"+l~(2n-l)(2n+l)-212九-1-2〃+lJ

因此，Tn=

故選：B.

2.設(shè)/(〃)為最接近?("N")的整數(shù)，如"1)=1,42)=1,43)=2,/(4)=2,/(5)=2,若正整數(shù)m滿

1111…4

^足/(c1/)\7(7~~2r+)/“(3)、+HT—r=4034'川則機=()

A.2016x2017B.2017x2018c,2018x2019D.2019x2020

【答案】B

【詳解】

設(shè)f(x)=/，x,jwN*,〃是整數(shù)，則〃="+〃+_1不是整數(shù)，因此任意正整數(shù)的正的平方根不

I2)4

可能是〃+」(〃￡Z)形式，

2

.1I—.1.9.1.2.1

??J+—,J-./+—<A：<J+J+—?

：.j2-j+l<x<j2+j,

故/(x)=J?時，x=j2-j+l,j2-j+2,,/+/共2j個,

111

設(shè)Q”=-----------------------1---------;---------------FH---------1--------

「./'(J2-J+D/(/-J+2)/(/+j)

2/

則冊=r=2,p2N*,

J

11I1

由題意項+南+而r+7w,

4034=2x2017,

1111F11］「1111-

/(1)/(2)7(3),/?L/0)/⑵」W)/(4)/(5)/(6)

--------1-------+--------5--------++—,―=4034,

/(加一2x2017+1)/(m-2x2017+2)/(W)

故/(機)=2017,加為方程/(4)=2017的最大整數(shù)解，

/.w=20172+2017=2017x2018-

故選：B.

3.(2020?江蘇省)設(shè)數(shù)列他"｝的通項公式為”"=C°S-廢，該數(shù)列的前"項和為S"，則$89

89

【答案】—

2

【詳解】

cos2n=sin2(90，

2222

S89=cos1+cos24-cos3+...+cos89,

2222

S89=cos894-cos88+cos87+...-FCOS1,

cos289=sin21，cos288=sin22，cos287=sin23，???cos21=sin289?

22222

/.2SS9=(cos1+cos89)+(cos24-cos88)+..?+(cos?89+cos1),

222222

/.2SS9=(cos1+sin1+(cos2+sin2)+...+(cos89+sin89),

=1x89=89,

…89造

2

89

故答案為：--

2

4.(2020?江西)4知數(shù)列｛"/中,%=1,且“向+2%+3=°,nwN",數(shù)列｛叫的前〃項和為,

貝科=.

【答案】-48

【詳解】

因為a“+i=-2?！耙?,所以4用+1=—2(。“+1),

因為4+1=2x0,所以數(shù)列｛q+1｝是以2為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，

所以+1=2x(—2)1,即a,,=2x(-2)"-'-1,

S?=|(l-(-2r)-?，所以S6=；(l—26)_6=_48.

故答案為：一48

5.（2020.河南）己知數(shù)列｛4｝滿足％=2〃-1,S”為｛4｝的前〃項和，記

/??=S?-cosll+S?+1-cos—,數(shù)列｛4｝的前N項和為7；,貝Ijq=.

【答案】-104

【詳解】

由題意，數(shù)列｛"J滿足q=2〃-1,則S“=‘,

,2（〃一11i、2府

貝-cos12?%J+Qzz+D-cos—,

則￡o=12—32—32+52+52—72-72+92+492-512

=（F-32）-（32-52）+（52-72）-（72-92）+（492-262）

=-2x4+2x8-2x12+2x16+—2x100=—104.

故答案為：一104

X1

6.（2020?河南）己知函數(shù)/（x）=——,設(shè)數(shù)列｛4｝滿足““+1=/（6,），且q=一.

2x+l2

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若記4=/（一（2i-l）xa,,）（7=1,2,3,…,"）,求數(shù)列｛4｝的前凡項和

1〃

【答案】（1）;（2）T=-.

277n2

【詳解】

yCl

⑴因為?。?口，所以由％=/0）得知廣有

1.

所以｛f—｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

所以，=2+(〃_l)x2=2w,所以?！?」_

an2〃

2/-1

(2)由(1)知4=/(一一—)(i=1,2,3,...,〃)，

2n

_2z-l

.2〃-(2z—1)1—2z+1

則b=-------4^—=--------------------------=-x-------------,

，2)“2f，-1)?]2x[-(2z-1)]+2?2n-2z+1

2(H-Z+1)-1

b--2〃_—+1)-1]

""'+]2><[2(〃-1+1)-1]?]2x{-[2(n-z+1)-1]}+2n

L2n

12(n-z+l)-l12n-2i+l

——X--------------------------—?—X----------------,

2[2(zi—/+1)—1]—2〃一2i+l

1—2.i+112n—2z+l

所以偽+2i+i—x-------------4-—x=l(z=1,2,3,...，〃)，

2〃-2i+12n—2z+1

〃

Tn="+Z?2+&+…+0f

Tn=bn+bH_x+bn_2+...+4,

兩式相加，得:

27；=(4+勿)+M+%)+(4+〃,_2)+…+依+4)=Z(4+bi)=n,

i=l

n

所以1=5.

1*1

7.(2020?江蘇省)在數(shù)列但“｝中，4點“的)("€N)在直線y=x+/.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

,1

(2)記2=------,求數(shù)列｛2｝的前"項和

a”，?！?|

(3)令q,=3?,“wN”.證明：<?!+c2+cn<2.

【答案】⑴a“=j"eN*)；(2)—；(3)證明見解析.

2、'n+1

【詳解】

(1)由已知得4+1=4,+；,即4"+1一q=g，

???數(shù)列｛%｝是以y為首項，以4=,為公差的等差數(shù)列

22

an=4+(/?-l)d

14

1-)=___1

(2)由(I)得"-nn+1n(n+1)，??b〃=心

—x〃+1

2~T~

?]=4-

nn+ljvH+1J〃+l

〃12n

（3）cn=—＞記5=4+。2+%=m+中+…+凄，

23n

則2s=1+下+尹++而，

;.S=2S-S=l+!+±++-^-—=2--^.

2'222"T2n2"

因為〃為正整數(shù)，則字＞0,從而5=2—安＜2.

即C]+Q+Cn＜2.

8.（2020?青銅峽市）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項的和為S“，且S”=2氏一2（〃eN*），

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若數(shù)列出｝滿足”=（2〃-l）+a“（〃eN*），求數(shù)列｛〃｝的前”項的和7.

（3）若數(shù)列2=（2〃—1）?！埃髷?shù)列｛4｝的前〃項和S“；

【答案】（1）4=2"；（2）T?=n2+2n+l-2；⑶S?