2023年湖北省黃石市成考專升本數(shù)學（理）

自考真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.設復數(shù)z=l+新一是虛數(shù)單位.則；的幅角主值為（）

A.7i/6B.117i/6C.7i/3D.5H/3

2.向=nJ--21.記?13.2.-21.3為

A.|2,-1,-AlB.|-2.1,-41

C.12.-1.01D.14.5.-41

3.一切被3整除的兩位數(shù)之和為（）

A.4892B.1665C.5050D.1668

4.已知橢圓的長軸長為8,則它的一個焦點到短軸一個端點的距離為

（）

A.A.8B,6C.4D.2

5.若a,b,c成等比數(shù)歹！J,則Iga,Igb,Ige成（）

A.A.等比數(shù)列

B.等差數(shù)列

C.等比數(shù)列或等差數(shù)列

D.無法確定

6.在AABC中，若a=2,b=242,c=、6+N2,則角A等于()。

A.30°B.45°C,60°D,75°

7.設某項試驗每次成功的概率為:，則在2次獨立重復試驗中，都不成

功的概率為()

A.A.4/9B.1/3C,2/9D.1/9

8.--：()

A.A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判斷

9.已知有兩點A(7,-4),B(-5,2),則線段AB的垂直平分線的方程為

()

A.A.2x-Y-3=0B.2x-y+3=0C.2x+Y-3=0D.2x+Y+3=0

函數(shù)、=1sin%的最小11調(diào)期是()

A.A.4KB.2TIC.7iD.K/2

11.

設全集0=(0,1,2.3,4},集合"={0,1.2.3},可=(2,3,4),則|：“乂0￡”'=()

A.A.{2,3)B.{0,1,4}C.(pD.U

12.已知雙曲線”:4的離心率為3,則111=()

A.4

B.1

1

C.I

D.2

一箱子中裝有5個相同的球，分別標以號碼1.2,3,4,5,從中一次任取2個

球，則這2個球的號碼都大于2的概率為工

若向量。=(-2)/=(-2,4),且明。共線，則工=()

(A)-4(B)-1

14.‘''(D)4

(5)e&tty>/xl-i的定義城是

(A)|xls>l|(B)?<H

15(C)|xlx>Il(D)|?l?<-Itfx>II

16.

已知復數(shù)x=l+i,i為虛數(shù)單位，貝IJz2=()

A.2iB,-2iC.2+2iD.2-2i

在8c中，若siM=+8=30。,8c=4,則48=()

(A)24(B)6Q

17(C)2H(D)6

正四校柱/BCD-44G。中，AAt=2AB,則直線明與宜線G"所成角的正弦值

為

(A)—(B)—(C)—(D)—

18.

U2D

復數(shù)(呼)的值等于()

(A)l(B)i

19.⑹-1(D)-i

20.

第9題正三棱錐的高為2,底面一邊的長為12,則它的側(cè)面積為()

A.144B.72C.48D.36

21.不等式|2x-3區(qū)1的解集為()。

A.{x|l<x<2}B.{x|x<-1<>2}C.{x|l<x<3}D.{x|2<x<3}

(11)(?4/)’的展開式中的常效R為

22(A)6(B)I2(C)I5(D)3O

23.在(《■+/)的展開式中''的系數(shù)和常數(shù)項依次生A.20,20B,15,20C,20,15

D.15,15

24.在△ABC中，若AB=3,A=45。，C=30°,則BC=()。

A.73B.2V3

C.3&D.專

yi+x1(x>o)

25.已知'/貝IJf(x)=

26.

設aW(0,yj,cosa="|?，則sin2a等司

A.8/25B.9/25C.12/25D.24/25

y=xe",則y'=

(A)xe*(B)xe*+x

27(C)xe*+e'(D)eM

28.下列函數(shù)()是非奇非偶函數(shù)

B.fix')=x2—2IxI—1

A.f(工)—工

C./(x)=2D.f(x)=21

29.

第2題設角a的終邊通過點P(-5,12),則cota+sina等于(

A.7/13B.-7/13C.79/156D,-79/156

30.函數(shù)y=log3(x+l)的反函數(shù)為()

A.A.y=3x-1

B.y=3x+1

C.y=3x-1

D.y=3x+1

二、填空題(20題)

31(18)向量明b互相垂直，且SI=1,則-(Q+b)=_

32.可量a=(4,3)與。=(3-12)互相垂直，則X=.

33設力'+&成等比數(shù)列，則。=________.

34.

函數(shù)y=3「+4的反函數(shù)是

35.，

36.過點M(2,-1)且與向量a=(-3,2)垂直的直線方程是

37.從-個正方體中截去四個三棱錐，得-正三棱錐ABCD,正三棱錐的體

積是正方體體積的.

38.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人

送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有種.

39.

已知隨機變量f的分布列為

-----Z~I：-----------T

￡0---------1234

一|~0?15250?300.200.10

則改工______________________.

40化簡呵+QP+MN-MP=.

41.?tan(arctanw+arctan3)的值等于.

42.已知雙曲線的離心率是2,則兩條漸近線的夾角是

已知隨機變fitg的分布列是

-1012

￡

P

3464

則EA__________

44.設離散型隨機變量X的分布列為X-1012Pc2c3c4c則c=

45：，1+丁+『X1-i）的.

46.方程

從12+人/+加+￡3+尸=0（八羊0）滿足條件（函），（2A）A

它的圖像是

47.從標有1?9九個數(shù)字的九張卡片中任取2張，那么卡片上兩數(shù)之積

為偶數(shù)的概率P等于

48.設a是直線Y=-x+2的傾斜角，則a=

49.已知球的球面積為16n,則此球的體積為.

50.已知A（2,1）,B（3,-9）,直線l:5x+y-7=0與直線AB交于P點，點

P分所成的比為.

三、簡答題（10題）

51.

(本小題滿分12分)

在(a%+l)7的展開式中,％3的系數(shù)是為2的系數(shù)與Z4的系數(shù)的等差中項，

若實數(shù)a>l,求a的值.

52.

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=J-3/+股在［-2,2］上有最大值5.試確定常數(shù)m,并求這個函數(shù)

在該閉區(qū)間上的最小值.

53.(本小題滿分13分)

從地面上A點處測山頂?shù)难鼋菫閍,沿A至山底直線前行a米到B點

處，又測得山頂?shù)难鼋菫锽,求山高.

54.

(本小題滿分13分)

已知圈的方程為一+/+ax+2y+/=0,一定點為4(1,2).要使其過會點4(1,2)

作圓的切線有兩條.求a的取值范圍.

55.(本小題滿分12分)

巳知點y)在曲線y=工臺上

(1)求與的值；

(2)求該曲線在點,4處的切線方程.

56.（本小題滿分12分）

設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線x=l對稱，其中一個函數(shù)的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達式

57.（本小題滿分12分）

在△A8C中,A8=8=45°,C=60。.求,C,8c.

58.

（本題滿分13分）

求以曲線2?+/-4x-10=0和/=2H-2的交點與原點的連線為漸近線,且實

軸在x軸匕實軸長為12的雙曲線的方程.

59.

（22）（本小題滿分12分）

面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數(shù)列.公差為d.

（I）求d的值；

（H）在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數(shù)列中，102為第幾項?

60.

（本小題滿分12分）

已知參數(shù)方程

=—(e,?e")co祝

y二—(e1-e*1)sind.

(1)若，為不等于零的常量，方程表示什么曲線？

(2)若外e?*y,*GN.)為常量.方程表示什么曲線?

(3)求證上述兩個方程所表示的曲線有相同的焦點?

四、解答題(10題)

61.

有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個鼓與第四個數(shù)的

和是16,藁二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).

62.

直線廣工+m和桶畤+爐=1相交于A.B兩點.當m變化時.

(I)求1八所的殿大值：

(【I)求ZXAOB面積的最大值(。是原點).

巳知數(shù)列I?！怪袉?2,a.“=，a..

(I)求數(shù)列l(wèi)a.I的通項公式；

(n)若數(shù)列I。」的前n項的和S.=3,求n的值.

63.16

64.

設一次函數(shù)/(*)滿足條件織1)+M2)=3且加-1)-/(0)=-1,求〃工)的解

析式.

65.

巳如數(shù)列=1.點P(?..2x1..,)(???,)在直蛭*?1?0上.

(1)求數(shù)列｛。.網(wǎng)通鵬公式；

(2)函數(shù)/(1>)■'1?—*—?——?…+-("eN?.且nN2),家函數(shù)/(<?)

*'"***■,'KI*。］II?嗎1!*。|H?。.

的■小值一

66.建一個容積為5400m3,深6m的長方體蓄水池，池壁每平方米的造價

為15元，池底每平方米的造價為30元.

(I)寫出總造價y(元)為水池的長x(m)的函數(shù)解析式；

(II)問蓄水池的長與寬分別為多少時總造價最低.

67.

從地面上A點處測山頂?shù)难鼋菫閍,沿4至山底直線前行a米到8點處，又測得山頂

的仰角為仇求山高.

68.設函數(shù)f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求f(x)的極值.

69設函數(shù)八幻由叫等要尹

(I)求f(x)的定義域；

(II)求使f(x)>0的所有x的值

70.雙曲線的中心在原點0,焦點在x軸上，且過點(3,2),過左焦點且

斜率為的直線交兩條準線于M,N,OMXON,求雙曲線方程.

五、單選題(2題)

71.

第9題正三棱錐的高為2,底面一邊的長為12,則它的側(cè)面積為()

A.144B.72C.48D.36

72.i為虛數(shù)單位，則l+i2+i3的值為()

A.A.lB,-lC.iD.-i

六、單選題(1題)

73.已知空間中兩條直線m,n,且m在平面a內(nèi)，n在平面口內(nèi)，設

甲：m//p,n//a；乙：平面a〃平面氏貝()

A.A.甲為乙的必要但非充分條件

B.甲為乙的充分但非必要條件

C甲非乙的充分也非必要條件

D.甲為乙的充分必要條件

參考答案

1.D

2.C

3.B被3整除的兩位數(shù)有：12,15,18,...,99.等差數(shù)列d=3,n=99/3-

9/3=33-9/3=30,S=((12+99)x30)/2

4.C

5.B

6.A

7.D

巳知某項試驗每次成功的概率為試贊每次不成功的悔率為I-弓

由于每次試驗是相互獨立的.所以根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的微率計算公式有在2次

獨立重復鼠驗中,都不成功的概率為

?=5'孑二卷.(答案為D)

8.B

/(一工)=一工lg-Jrlg(1-xlg

，/"(?r)為偶函數(shù),(售案為B)

9.A

10.D

ll.C

C^W=(4).GrN=(0,l).{4)0<0,1}-0(答。為C)

12.C

-----------c_Vm+4

由題知，a2=m,b2=4,一心:+爐?而7,其離心率f'，故

13.D

14.B

15.D

16.A

17.D

18.C

19.C

20.B

21.A該小題主要考查的知識點為不等式的解集.【考試指導】|2X-3|<1=>-

1S2X-3S1=>2W2XW4=>1WXS2,故原不等式的解集為{X|1SXS2}.

22.C

23.C

二項式展開式的通項為

二產(chǎn)c：（十「?：工”工

當心為』項時,r=3,此時

7“產(chǎn)7;=C：S=2O「

當r,.i為常數(shù)項時.，=2,此時

T,“=C：=I5.

故選（C）.

【解題指要）本題主要考者二項式（a+6）*屣開式的通項公式：7..產(chǎn)C：a”H,注意這是展

開式的第r+1項.在學習中還饕注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

24.C

該小題主要考查的知識點為三角形的正弦定理.【考試指導】

由正弦定理可得：券=里即

sinCsinA

3BC

T=萬一比=372.

T2

,?"（，）=]+■/I+.#,令人=,,則r=—,

*X/

25D函數(shù)與用哪個英文字母無關,只與對應法則、定義域有關.

26.D

D【解析】因為aW(0.寧),所以sina=

-/l-(a?a):=J1-(管)'=4-.sin2a=

2sinacosa=基

27.C

28.D

考查函數(shù)的奇偶性，利用奇偶函數(shù)的定義就可以討論。

VA,f(一工)=一-f(jr)為奇函數(shù)?

B,/(-X)=<-X)J-2|-x\-l=x*-2|x|-

1=/(工)為偶函數(shù).

C,/(—工)=2'~"=2,=八])為偶函數(shù).

DJ(一工)=2=#一八1)#/(工)為非奇非偶

函數(shù).

29.C

30.C

由y=lo&(x+l).得即工=3，-1.

函數(shù)y=loR>(z+l)的反函數(shù)為y=3*-l.(O為C)

31,(18)1

32.9

33.±1

34.

1*

由y=3，+4,得(§).,一4?即上fog[(y-4).

即函數(shù)y-3*+4的反函數(shù)處y—\oai(x--4)(x>4).(*<為>=log^(x—4)(x>4))

35.

△ABV為等也：用杉.八’8W：成的用為60.余弦值為).(答案為福)

4if

36.

設PCr，y)為所求直建上任一點，則MP=(H-2,y+D酣RMPLi.

則M3?o=(i-2,y+l)?(-3.2)=-3(x-2)4-2(>4-1)=0.

即所求直線的方程為3/一2丫—8-0.(整案為3/-2k8=0)

37.1/3截去的四個三棱錐的體積相等，其中任-個三棱雉都是底面為直角

三角形，且直角邊長與這個三棱錐的高相等，都等于正方體的棱長.設正

方體的棱長為a,則截去的-個三棱錐的體積為l/3xl/2axaxa=l/6a3,故儂-

4xl/6a3)/a3=l/3

38.

39.E]=0x0,15+1x0.25+2x0.30+3x0.20+4x0.10=1.85.(答

案為1.85)

40.

41.

42.

120°［解析］漸近線方程)=士2工=士Ttana,

離心率—2.

日nc，一—從/.,/b

即—------=%/】+(-J=20

故土6

則tana=6,a=60°,所以兩條新近線夾角

為120*.

43.

1

3

44.

3［解析］c+2c+3c+4c=10。=1，；“岳

45.

46.

【答案】點（一聶,一聶）

AM+”+D_r+Ey+F=0.①

將①的左邊配方.得

（“十豹十（武點）

二（爰）*（蕓）

：（我）+（曷）Y=。，

D

工=一通

方程①只有實數(shù)解《.

E

I，2A

即它的圖像是以（一畀.—條）為B）心，r=o

的圜.

所以表示一個點（一3?一4）,也稱為點園

47.

13

48.

3

4^

49.

由$=4W=?.得^=2.丫=丸肥=弓*乂2，=孰.(答案為豹

50.4由直線方程的兩點式可得，過A(2,1),B(3,-9)的方程為

,H—2_1y-1./10x+y—21=0Jx=^

八：3-2一一9一1，則(5工+y—7=0］)

1尸一7

_xi+Axj_2+A?34142+3A、

工--iTF—，即可=幣=入=4.

由于(a：+1)7=(1+/u)7.

可見.履開式中」,/.一的系數(shù)分別為C,‘，C/'，Cja'.

由巳知,2C；<?=C；f+C；a’.

,^7x6x57x67x6x5j_j,,

X?a>1.H則II2*i?a=,+y?n,5a-10a+3=0n.

5］；,,''

52.

f(x)=3x2-6x=3JT(X-2)

令/(x)=0,得駐點陽=0,町=2

當x<0時/(x)>0；

當。<x<2時1f(x)<0

.,.x=Q是，#)的極大值點,極大值〃°)="?

.?.〃0)=E也是最大值

m=5,又f{-2)=m-20

，2)=m-4

../(-2)=-I5JX2)=1

二函數(shù)〃工)在［-2,2］上的最小位為〃-2)--15.

53.解

設山高則中.AZ)=%coia.

RtABDC中.BD=xcdfl.

的為=4〃-80,所以a=xcota-xco^所以m=---------

cola-8.

答仙離為嬴鼻米

54.

方程/+/+ax+2y+a1=0發(fā)示［ffl的充要條件是:/+4-V>0.

即1<■!■.所以-"I"與<aV全序

4(1,2)在91外,應滿足：1+22+a+4+?:>0

即J+a+9>0.所以aeR

僚上,a的取值范圍是(一學,早).

55.

(1)因為；=—匚，所以工0=1.

⑵八一小，二V

曲線y=-11在其上一點(1.；)處的切線方程為

X412

y-y=-yC*-1).

即x+4y-3=0.

56.

由巳知,可設所求函數(shù)的表達式為y=(*-m)'+n.

而尸丁+2工-1可化為y=(x+l)'-2.

又如它們圖像的頂點關于直線*=1對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達式為『(-3)'-2.即尸』-6x+Z

57.

由巳知可得4=75。?

5^^750^^1>(45°+30°)=sin45°c<M30ocx?45o?in30o=---?......4分

在△ABC中，由正弦定理得

小NW.

工￡_=&.=至疸……8分

sisiksin60”

所以4c=16.的=86+8.……12分

58.

本題主要考查雙曲線方程及綜合解題能力

1

根據(jù)期意.先解方程組f2x，‘+/y-、4x-10—0

[/=2x-2

得兩曲線交點為

\y=2,ly=-2

先分別把這兩點和原點連接,得到兩條直線,=±jx

這兩個方程也可以寫成《-4=0

所以以這兩條直線為漸近線的雙曲線方程為&-E=。

944k

由于已知雙曲線的實軸長為12,于是有

M=6'

所以*=4

所求雙曲線方程為《-￡=1

59.

(22)解：(I)由已知條件可設直線三角形的三邊長分別為

a-dtQ,Q+d,其中a>0,d>0,

則(a+d)2=a2+(a-d)2.

a=4d,

三邊長分別為3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三邊長分別為3,4,5,

公差J=1.

(11)以3為首項,1為公差的等差數(shù)列通項為

4=3+(n-1),

3+(-1)=102,

n=100,

故第100項為102.

60.

(1)因為"0.所以e'+e-^O.e'-eVO.因此原方程可化為

',產(chǎn)；=C08ff,①

e+e

下生7=sine.②

>e-c

這里e為參數(shù).①1+②1,消去叁數(shù)。,得

(eU尸,(e,-<*)1=1'即(e'+e-亍+尸

44

所以方程表示的曲線是橢圓.

（2）由“竽MeN.知co*，-。，曲”。,而，為參數(shù),原方程可化為

ue得

是-絳="'+「尸-（…一尸.

cos0sin3

因為2e'e-=2e0=2,所以方程化簡為

施一而=L

因此方程所表示的曲線是雙曲線.

（3）證由（I）知，在橢圓方程中記/=運亨］.〃=立三

44

則CJJ-y=1,C=1,所以焦點坐標為（±1.0）.

由（2）知.在雙曲線方程中記a'=88%.肥=$1nb

一則jn『+b'=l,C=1.所以焦點坐標為（±1,0）.

因此（。與（2）中的兩方程所表示的曲線有相同的焦點.

61.

設前三個敷依次為。-d?%"+d?明第四個“為

-16

依■■育.。

■+Gi+dH

■方程綱楞{:;::［二］

所以網(wǎng)外收液次為0.4.8.16或15.9.3.1,

解法二設四個敷依次為工.’“2y.!6-x.

x+(12->)?2jr

依?意可用

了<16—工)=(12-“

m

jrt-0jxt15

解此方程利yi"*4|力?9

HqmiAflbbL*49rl1U1641<Q二1

62.

戶工十冊，①

依題意?得

（d+4，=4.

把①代人②中第5/+8mx+4(m:1)-0.

設點A(4i電手"

則?ABI=淄1與-工/=/21（114工＞—4xi1口=/^。＞-々含*=［

二/々?y/5—n?.

設原點到直線的距離為兒

則人=修L所以S"1nH}|AB【§/浦6二不.

《I）當m=0時，|側(cè)一=高餐

（n＞SA??—y（E'S—m*）H-j-k+5加二Ym.

當.即“士爭時,面積最大，最大面積為

解:（I）由已知得4k0,寧4，

所以I。」是以2為首項，/為公比的寫比數(shù)列,

所以4=2信），即4=揖才

63.

(0)由已知可啥牛單I所以田?=(*,

I——

2.一5

解得"=6.

'f'.■JT?**-.

解設/(”)的解析式為/U)=3+b.

。

依題意R得(Q+二6)+…3(2…+6)，解方程組，z得u一4寸.=下1

64.??/⑴等4

65.

*⑴：（?.,4.,：6口蝴*-，“，。匕

.*??.-?.?1,VU?.周■事力1,公用/JIK9**R.

????.-?I?<??-1）Ml??.

（2—）

>/（?［）>,*">A2）=g，入臉的品小值處;工

66.

<I)設水池的長為蟲m),寬為鬻(m〉?

池壁的面積為2X6Cr+警)(m，3

ox

池壁造價為15X2X6GH?警M元).

DX

池底的面積為爭=900(m‘).

池底造價為30X900=27000(元).

所以總造價函數(shù)為

y=15X2X6(x+~6)工+27OOO

162000

=180x+X+27000(x>0X

(D)y=l8O-?22.

令y'=0.解得T=±30(取正舍負).

當(XJ<30時.y'VO：

當工>30時，y'>0.

z-30是惟一極小值點，

即是鍛小值點.

所以當蓄水池的長與寬分別3O(m)時.水池的總造價鍛低.

解設山高CD^x則RtAADC中,=

RtAFDC中，8。二比09，

因為48:40-3。,所以"二父cola-“co9所以彳=---------

cola-cotp

"答:山高為米

67.cota-co\fl

68.

(1)函數(shù)的定義域為(-8.+8)?

f*(x)=(e*-z-1)'-e*T,

令/(