1.3分式

一、分式的化簡及求值

1.(2023安徽中考第15題)先化簡，再求值：立竿，其中乂=/-1.

2.(2015安徽中考第15題)先化簡，再求值：(工—白)」，其中a=—"

va-1a-lya2

二、與分式有關(guān)的規(guī)律探究

3.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：|x(l+|)=2-|

第2個(gè)等式：|x(l+|)=2-|

第3個(gè)等式：|x(l+|)=2-|

第4個(gè)等式：：x(l+9=2—；

第5個(gè)等式：x(1+|)=2-1

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式；

(2)寫出你猜想的第九個(gè)等式：(用含n的等式表示)，并證明.

4.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式［=；+

111

第2個(gè)等式:|=：+g

D26

第3個(gè)等式:|=#2，

第4個(gè)等式六1+點(diǎn),

第5個(gè)等式怖=打卷，

……按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第九個(gè)等式：(用含”的等式表示)，并證明.

5.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：［+9+彳義；1，

第2個(gè)等式：|+i+|xi=l,

第3個(gè)等式:1+；+|x^=l,

第4個(gè)等式：：+：+：x|=1，

4545

第5個(gè)等式：；+：+打：=1,

5656

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含”的等式表示)，并證明.

參考答案與解析

一、分式的化簡及求值

1.(2023安徽中考第15題)先化簡，再求值：-+2x+i,其中尤=迎—1.

X+1

【答案】x+1；V2

【詳解】

當(dāng)x=V2—1時(shí)，原式=&-1+1=V2.

2.(2015安徽中考第15題)先化簡，再求值：(工—--)-i,其中。=一

va-1a-Ya2

【答案】原式==小，把。=一;代入得，原式=—1.

a2

【詳解】

(u+l)(u—1)1_a+1

a-1aa

當(dāng)a=-N時(shí)，—

2a

2

二、與分式有關(guān)的規(guī)律探究

3.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式:

第1個(gè)等式：jx(l+|)=2-i

第2個(gè)等式：^x(l+|)=2-|

第3個(gè)等式：|x(1+|)=2-|

第4個(gè)等式：-xfl+-)=2--

第5個(gè)等式：^x(l+|)=2-|

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式；

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：_(用含n的等式表示)，并證明.

【答案】⑴]x(1+：)=2-3⑵生-x(1+?)=2-工，證明見解析.

8'6，6n+2vnyn

【詳解】(1)由前五個(gè)式子可推出第6個(gè)等式為：^x(l+f)=2-i；

OOO

/c、2.TL—1,2、r1

(2)-----x(1+-)=2

n+2'九/n

、-r□口2TI—1—,2、2TI-1TI+22TI—11

證明：?左邊==Xa+OnQXknpnZn—『右邊,

，等式成立.

4.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：1=[+:,

第2個(gè)等式:|=J+g

5z6

第3個(gè)等式:|="專，

第4個(gè)等式：；/弟

第5個(gè)等式V+專，

……按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含w的等式表示)，并證明.

【答案】⑴三二《+/；⑵7^7=~+1?見解析

116662n-lnn(2n-l)

【詳解】解：⑴第6個(gè)等式：《=升白

11OOO

(2)-^-=-+—^―

2n-lnn(2n-l)

證明：?.?右邊=2+一~二=產(chǎn)3=三=左邊.

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

.?.等式成立.

5.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：9+T+21,

第2個(gè)等式:i+|+|x|=l,

第3個(gè)等式:1+i+|x|=l,

3434

第4個(gè)等式:l+f+ix1=l,

4545

第5個(gè)等式:f+|+|xi=l,

5656

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第w個(gè)等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】(1)~+-+-x-=l；(2)—+--+—,--=1,證明見解析.

6767nn+1nn+1

【詳解】(1)觀察可知第6個(gè)等式為：i+|+ix|=1,

故答案為：^+|+^x|=1;

1,n-1,1n-1

(2)猜想:-H---------1--X——=1,

nn+1nn+1

I.s_L1tl-11Xn-l_n+H-n(n-l)+n-l_n(n+l)_

證明:左