小題壓軸題專練28—數(shù)列3一．單選題1．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則A．1009 B． C． D．10102．已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列選項(xiàng)中正確的是A． B． C． D．4．已知函數(shù)在，上的最小值是，，設(shè)的前項(xiàng)和為，若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．，， D．，5．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．8．若數(shù)列滿足，為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值為A． B．2 C． D．4二．多選題9．已知，且，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．10．設(shè)數(shù)列，，，，若存在公比為的等比數(shù)列，，，，使得，其中，2，，，則稱數(shù)列為數(shù)列的“等比分割數(shù)列”．則下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)列，4，8，16，32是數(shù)列，7，12，24的一個(gè)“等比分割數(shù)列” B．若數(shù)列存在“等比分割數(shù)列”，則數(shù)列和數(shù)列均為單調(diào)遞增數(shù)列 C．?dāng)?shù)列，，2存在“等比分割數(shù)列” D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，2，，，若“等比分割數(shù)列”的首項(xiàng)為1，則11．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例．作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后在正方形里面畫(huà)一個(gè)90度的扇形，連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線．它來(lái)源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列．現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為，則A． B． C． D．12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 C．時(shí)，的最大值為11 D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)三．填空題13．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前項(xiàng)和為，且且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，14．在數(shù)列中，，，，且．記，，則．15．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1，2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；；第次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1，，，，，2．記，其中，，則數(shù)列的通項(xiàng)．16．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的的值為．

小題壓軸題專練28—數(shù)列3答案1．解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，所以：，，，，故數(shù)列的周期為3；所以，所以．故選：．2．解：由題意，可知，，，，，各項(xiàng)相加，可得，，則．故選：．3．解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為，下面證明：（1）當(dāng)時(shí)，，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，因?yàn)?，即，則，因?yàn)?，解得，故?dāng)時(shí)，命題也成立，由（1）（2）可知，命題對(duì)于都成立，所以，則，故選項(xiàng)，錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)正確．故選：．4．解：由題意知：，由，解得，由，解得，由，解得，即在處取得極小值，即最小值，故，所以，則，由于恒成立，故，解得．故選：．5．解：有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，對(duì)于，故正確；對(duì)于：根據(jù)該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，所以，故正確；對(duì)于：根據(jù)該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，整理得，故正確．故選：．6．解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以．所以，整理得．又因?yàn)?，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以．所以．故選：．7．解：設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減．可得函數(shù)在處取得極小值，且為最小值0，則，所以，即，所以，又，則，又，得，所以．即．故選：．8．解：由題設(shè)知：，為常數(shù)），是等差數(shù)列，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“等號(hào)“，（不等號(hào)兩邊同時(shí)加上，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“等號(hào)“，的最大值為4．故選：．9．解：由，得，又，得；；，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．猜想，證明：當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)等式也成立，所以選項(xiàng)正確．由題意知，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，所以選項(xiàng)正確．故選：．10．解：對(duì)于，數(shù)列，4，8，16，32，數(shù)列，7，12，24，因?yàn)?，所以是的一個(gè)等比分割數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)閿?shù)列存在“等比分割數(shù)列”，所以，，2，，，則，所以，故，，所以數(shù)列和數(shù)列均為單調(diào)遞增數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，假設(shè)存在是，，2的等比分割數(shù)列，所以，因?yàn)?，，故，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，的通項(xiàng)公式為，2，，，的首項(xiàng)為1，公比為，所以，，2，，11，因?yàn)?，?，，10，則，，2，，10，故，，，10，因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞減，所以，即，故選項(xiàng)正確．故選：．11．解：由遞推公式，可得，，所以，故選項(xiàng)正確；由遞推公式可得，，，，類似的有，迭加可得，，故錯(cuò)誤，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題意可知，扇形面積為，故，則錯(cuò)誤，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可得，，，，迭加可得，，又，所以，故選項(xiàng)正確．故選：．12．解：，，又，對(duì)；由的分析可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，錯(cuò)；，又，對(duì)；，時(shí)，，時(shí)，，，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，、且遞減、為正數(shù)且遞減，最?。畬?duì)．故選：．13．解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則，即，所以數(shù)列從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列，又，，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以．故答案為：2021．14．解：因?yàn)?，，所以?/p>