2024屆上海市上海中學東校區(qū)高二上數(shù)學期末考試試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若工<工<0,則下列不等式①a+b<ab；②|。|>同；③a<b；④2+4〉2中，正確的不等式有（）

abab

A.O個B.l個

C.2個D.3個

2.已知根則下列說法中一定正確的是（）

A.m2>n2B.—<—

mn

C.mn>4D.y/—m<G

3.已知4—4=ln3,hc

人一3=ln—,c-2=ln-,其中aw4,b豐3,cw2,貝！I()

432

\.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

4.在（4-2）5的展開式中，的系數(shù)為（）

A.-5B.5

C.-10D.10

5.設S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知S“="（〃eN*）,則數(shù)列｛4｝（）

A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

6.已知函數(shù)Ax）在x=x0處的導數(shù)為廣（飛），則處①+曾一""=（）

42廣（飛）B.-27（不）

C.；/'（x（））D.一；廣（%）

7.甲烷是一種有機化合物，分子式為CH-其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分.如圖所示的為甲

烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個氫原子之間的距離盤不（H-H鍵長）相等，碳原子到四個氫原子的距離4-H（C-H

鍵長）均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為-g,即cosZHCH=-g,若盤刃=。，

則以這四個氫原子為頂點的四面體的體積為（）

,8^/3ci8A/3^

A.--------B.-------

279

「80n8缶

-----------

279

8.加斯帕爾?蒙日（圖1）是18?19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂

22

直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）.則橢圓。：上+匕=1的

54

蒙日圓的半徑為（）

9.某校初一有500名學生，為了培養(yǎng)學生良好的閱讀習慣，學校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選

《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學

生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為（）

C.12D.15

22

10.已知"，N為橢圓L+匕=1上關于短軸對稱的兩點，A、8分別為橢圓的上、下頂點，設，k［、心分別為

43

直線M4,7VB的斜率，則——+的最小值為（）

4勺k2

A.正B.在

32

11.已知命題P：3x0>0,/。-3%+1W0,則命題P的否定為（）

A.Vx<0,e'—3x+l>0B.Vx>0,ex-3x+l>0

C.Vx>0,靖一3x+lWOD.3%>0,ex-3x+l>Q

12.中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的辱影長的記錄中，冬至和夏至

的辱影長是實測得到的，其它節(jié)氣的號影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.二十四節(jié)氣中，從冬至到夏至的十三

個節(jié)氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至?已知《周髀算

經(jīng)》中記錄某年的冬至的辱影長為13尺，夏至的辱影長是1.48尺，按照上述規(guī)律，那么《周髀算經(jīng)》中所記錄的立

夏的辱影長應為（）

A.3.4尺B.4.36尺

C.5.32尺D.21.64尺

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一村莊正西方向120km處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為26km/h,距臺風中心100km

以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有小時會受到臺風的影響.（參

考數(shù)據(jù)：近“2.6）

14.在平面直角坐標系xOy中，若拋物線=4》上的點尸到該拋物線焦點的距離為5,則點尸的縱坐標為

15.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“="2+2n,則該數(shù)列的通項公式an=.

22

16.已知點尸是橢圓二+與=1（?！?〉0）上的一點，耳,耳分別為橢圓的左、右焦點，已知/與尸鳥=120°,且

a~b"

\PFt\=3\PF2\,則橢圓的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓C：工+亡1(?>。〉0）的一個焦點坐標為（1,0）,離心率受

/b22

（1）求橢圓。的方程；

（2）設。為坐標原點，橢圓。與直線丫=依+1相交于兩個不同的點A、B,線段A5的中點為M.若直線0M的斜率

為-1,求線段A5的長；

（3）如圖，設橢圓上一點R的橫坐標為1（R在第一象限），過尺作兩條不重合直線分別與橢圓。交于P、。兩點、

若直線PR與QR的傾斜角互補，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.

18.（12分）已知橢圓C:「+y=1（。＞1）的焦點與雙曲線。：=1（/〉0）的焦點相同，且D的離心率為乎.

（1）求C與。的方程；

（2）若P（0,l）,直線/：y=—x+m與C交于A,B兩點,且直線BL,的斜率都存在.

①求m的取值范圍.

②試問這直線”1,尸3的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

19.（12分）已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，55=20,且%，生，％o成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列｛4｝通項公式；

（2）設仇=4+2",求數(shù)列也｝的前〃項和S.

20.（12分）如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面為等邊三角形，ABC^90，AB=BC=2,平面5AB，平

面ABC,。為AC的中點.

(1)求證：AB±SD；

(2)若P(j=2SP，求二面角S—A3—尸的大小.

21.(12分)如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面A3CZ>是邊長為1的菱形，且NB4D=60。，側(cè)棱Q4=2,

ZB4D=ZB4B=45°,M是PC的中點，設筋="，AD=b，AP=c

(1)試用q,b>c表示向量3M;

(2)求3M的長

22.(10分)已知ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且8,A,C成等差數(shù)列.

(1)求A的大??；

(2)若a=J7,且一ABC的面積為38,求一ABC的周長.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】由條件工<工<0,可得利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的

ab

正誤，得出答案.

【題目詳解】因為工(工<0,所以6<a<0.

ab

因此a+b<0,aZ?>0,且網(wǎng)〉同，且②、③不正確.

所以a+b<0<ab,所以①正確，

由6<。<0得自、區(qū)均為正數(shù)，所以2+q〉2/2.q=2,(由條件占<。<0,所以等號不成立)，所以④正確.

abab\ab

故選：C

2、B

【解題分析】AD選項，舉出反例即可；BC選項，利用不等式的基本性質(zhì)進行判斷.

【題目詳解】當機=一1,〃=2時，滿足加<0<〃，此時/</,故A錯誤；因m<0<n,所以,<0,->0,

mn

—,B正確；因為根<0<〃，所以根〃<0,加之>o,故rrm<n^,C錯誤；當m=—2,〃=1時，滿足

mn

y/—m=A/29yfri=19所以>\[n，D錯誤.

故選：B

3、C

【解題分析】先令函數(shù)〃x)=x-Inx,求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)/(%)的圖像，由函數(shù)/(%)的單

調(diào)性判斷f(c)>f(b)>f(a)9再由對稱性可得a<b<c.

【題目詳解】由a-4=lnS,貝!)Q-lnQ=4-ln4,同理/?-lnb=3-ln3,c-lnc=2-ln2,

4

1Y—1

令〃x)=x—Inx,則/(力=1——=-—,當八x)<0,0<x<l；當/'(x)>0,尤>1,.?./(x)在(0,1)上單調(diào)

XX

遞減，(1,內(nèi))單調(diào)遞增，所以〃4)>〃3)>/(2),即可得〃a)>/0)>/(c),又"4,b手3,c/2

由圖的對稱性可知，a<b〈c.

故選：c

4、C

【解題分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定/的系數(shù)即可.

【題目詳解】(?—2『展開式的通項公式為：=

5—r1

令丁=2可得：r=l,則爐的系數(shù)為：(―2)=(—2)x5=—10.

故選：C.

【題目點撥】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通

項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中”和r的隱含條件，即"，r均為非負整數(shù)，且也r,如常數(shù)

項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項

5、B

【解題分析】根據(jù)4與S”的關系求出通項，然后可知答案.

22

【題目詳解】當”=1時，％=，=1,當時，an=Sn-Sn_,=n-(n-1)=2n-1,

綜上，｛。,｝的通項公式為?！?2〃-1,

冊一%7二2〃-1—[2(n—1)—1]=2

二數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列.

故選：B

6、C

【解題分析】利用導數(shù)的定義即可求出

【題目詳解】ilimf(xo+M-/(xo)1

7

■f。2Ax2、-。(x0+Ax)-x02'

故選：C

7、A

【解題分析】利用余弦定理求得程一H，計算出正四面體的高，從而計算出正四面體的體積.

【題目詳解】設d3H=x，則由余弦定理知：/=/+/_2/解得％=受￡,

故該正四面體的棱長均為其電

3

由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑廠=

故選：A

8、A

【解題分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.

22

【題目詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓C:土+乙=1的兩條切線X=6,y=2的交點

54

在圓上，

所以R=J5+4=3,

故選：A

9、B

【解題分析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.

125

【題目詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學生抽取的人數(shù)為40x=二=10

500

故選：B.

10、A

【解題分析】設出點“，N的坐標，并表示出兩個斜率左1、左2,把代數(shù)式3+3轉(zhuǎn)化成與點河的坐標相關的代

4klk2

數(shù)式，再與橢圓有公共點解決即可.

22

【題目詳解】橢圓亍+餐=1中：40,6），3（0,-百）

設知"則…辦則『春‘-生I,

11m—m(5A/3-3n)m_5y/3-3n

——十一

〃-百)4(n-V3)(n+73)-3m

4%k24(n+6

令k=5道—3n,則3〃成+3〃_5百=o它對應直線3履+3y—5出=0

3m

3kx+3y-5y/3=0

由(爐,2整理得(9+12/)/_40百履+64=0

[43

22

由判別式A=(―4。6上『—4x64(9+12Zr2)20解得陶2§百

即5牛3n則上+；的最小值為2月

3m34匕左23

故選：A

11、B

【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果

【題目詳解】命題P：3x0>0,1―3%+lWO,

則命題，的否定為Vx?0,ex-3x+l>0

故選：B

12、B

【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列定義求得公差，再求解立夏的辱影長在數(shù)列中所對應的項即可

【題目詳解】設從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為等差數(shù)列｛4｝的前13項，則q=13,。埼=148

所以公差為d=后片義(L48—13)=—0.96,

則立夏的辱影長應為q0=4+(10—l)d=13—9x0.96=4.36(尺)

故選:B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解題分析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.

【題目詳解】如圖，設村莊為4,開始臺風中心的位置為8,臺風路徑為直線/,

因為點A到直線I的距離為60^/2<100，

村莊所在地受到臺風影響的時間約為：2敢100)2—(60后)2=40心4(小時).

2626

本卷包括必考題和選考題兩部分.第17題?第21題為必考題，每個試題考生都必須作答

第22題?第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答

14、4

【解題分析】根據(jù)拋物線的定義，列出方程，即可得答案.

【題目詳解】由題意：拋物線d=4y的準線為y=-l,設點尸的縱坐標為先，

由拋物線定義可得%+勺為+1=5,解得％=4,

所以點P的縱坐標為4.

故答案為：4

15、2n+l

【解題分析】由4=S“-Si(n>2)計算，再計算可可得結(jié)論

2

【題目詳解】由題意時，an=Sn-Sn_x=rr+2n-(n-X)-2(n-V)=2n+l,

又。i=S]=3適合上式，

所以a,=2〃+l

故答案為：2"+1

【題目點撥】本題考查由S.求通項公式，解題根據(jù)是a〃=S〃-S,T522),但要注意此式不含%,4=，

V13

l1fbi>---

4

【解題分析】設歸周=可。胤=3尤,2。=4%,由余弦定理知(2c)?=13/,所以工=半，故填乎.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2

17、(1)—+y2=1；

2

【解題分析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計算得解.

⑵將y=履+1代入橢圓C的方程，再結(jié)合給定條件求出左值即可計算出AB的長.

(3)設出直線尸R的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立求出點尸坐標，同理可得點。坐標，計算尸。的斜率即可作答.

【小問1詳解】

依題意，橢圓。的半焦距c=l,而2=e=徨,解得q=則廿=/一°2=1,

a2

尤2

所以橢圓。的方程是：—+y2=l.

2

【小問2詳解】

y=Ax+1°。4k

由j3+2y2_2消去y并整理得：(2左+l)x+4履=0,解得再=0,々=一道打，

于是得線段A5的中點M(-直線OM斜率為-：=-1,解得人=

乙K十±乙K十￡乙K/

,1

_____I；-4x-2六

因此，IAB|=，］+左2\x2—x1|=J1+(7)2X----—=—-—,

V22x0)2+13

所以線段A8的長為

3

【小問3詳解】

由(1)知，點依題意，設直線尸R的斜率為直線尸R方程為：y-^=t(x-l)，

,0、

由…i-丁消去y并整理得，(2/+1)/_49—曰)》+2產(chǎn)—2M—1=0,

x2+2y2=2

設點尸(xp,?),則有馬=恐第二1,顯然直線。尺的斜率為V,設點。(％,為)，同理有q=竺妥善1

2產(chǎn)一2萬-12產(chǎn)+2萬一1

心廠1)+?”1)J(—2入]+2入]—'—4?A/2

于是得直線PQ的斜率kPQ=匕迎

Xp—XQ2廠一2\[^t一12廠+2\[^t—1-4萬一2

2產(chǎn)+12入1

所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合

【題目點撥】方法點睛：求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定片,〃的值，結(jié)合焦點

位置可寫出橢圓方程

②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a,b-,

若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.

22

18、(1)C：?+12=］；￡>:—>2=1；(2)①—<根<"7^且加。±1；

②見解析.

【解題分析】(1)根據(jù)。的離心率為母，求出/從而求出雙曲線。：5-。=1?〉0)的焦點，再由橢圓

222

C：.+y2=l(a〉l)的焦點與雙曲線。：］_—,=1?！?)的焦點相同，即可求出片,即可求出。與。的方程;

(2)①根據(jù)題意容易得出mw±l,然后聯(lián)立方程，消元，利用A>0即可求出m的取值范圍；

②設4(%,%),5(9,%)，由①得：%+為=警，%%=%心，計算出左PA^PB，判斷其是否為定值即可.

【題目詳解】解：(1)因為。的離心率為直，即=如，

2V22

解得：t=l,

2

2

所以。的方程為：y-y=l；焦點坐標為(±6,0),

又因橢圓。：二十/=1(〃>1)的焦點與雙曲線°=1"〉0)的焦點相同,

a

所以4―1=3,所以片=4,

2

所以C的方程為：—+y=l；

4-

（2）①如圖:

因為直線/：y=-X+m與C交于A,B兩點,且直線B4,尸5的斜率都存在,

所以7九W±1,

(X2_

聯(lián)立1丁+了2，消X化簡得：5y2—2小y+H?—4=0,

y=—x+m

所以A=47%2—20(77?—4)＞。，解得—若＜m＜y/5,

所以-石＜m＜y/5且/九w±1;

②設A（jq,y1）,B（x2,y2）,

r+G組蘇一4

由1①得：%+%=2m7，%%=--—

訴］”,=(%-1)(，2-1)=++1=-T

所以總PB-石々一(f+7〃)㈠2+加廠4?+l)'

故直線協(xié)，P3的斜率之積不是是定值.

【題目點撥】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關系及橢圓中跟定直有關的問題，難度較大.

19、(1)an=3n-5

37

(2)S=2n+i+-n2——n-2

22

【解題分析】(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依題意得到方程組，解得生、d,即可求出數(shù)列的通項公式；

(2)由(1)可得d=(3"-5)+2",再利用分組求和法求和即可；

【小問1詳解】

解：設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

%+%+/+〃4+=5〃1+10J=20

由題意，得＜/、/、/、2，

(%+2d)(q+9d)=(q+4d)

?=4CL——2

解得?八或二o,

a=0[d=3

因為dwO,所以4=-2+3(〃-1)=3"-5

【小問2詳解】

解：當q=3”—5時，d=(3〃—5)+2",

2

GKi｝i?,,7—2+3〃—52(1—2)]37.

所以S=b、+b、++b=-------------n-\——--------=2+—n~n—2

n12n21-222

20、(1)證明見解析

⑵-

6

【解題分析】(1)取AB中點E,由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得SELA5,結(jié)合由線面垂直判定可

證得平面SDE,由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)以上為坐標原點可建立空間直角坐標系，由向量數(shù)乘運算可求得P點坐標，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

取AB中點E,連接SE,OE,

為等邊三角形，E為A3中點，.,.SELA3,

平面平面ABC,平面必31平面ABC=AB,SEu平面ABC,

平面ABC,又ABi平面ABC,.?.SELAB；

。,￡分別為4045中點，，￡)￡〃48,又/ABC=90，：.AB±DE，

￡>E,SEu平面SDE,DESE=E,.?.AB，平面SDE,

又SZ)u平面SDE,，AB_LS￡).

【小問2詳解】

以E為坐標原點，EB,ED,ES為蒼Xz軸可建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（-1,0,0）,5（1,0,0）,S（0,0,aC（l,2,0）,AB=（2,0,0）,

設P（x,y,z）,則尸C=（l一x,2—y,—z）,SP=x,y,z-

1

x=—

1-x=2x3

(122退、

2'即小區(qū)亍

由PC=2SP得：＜2-y=2y,解得:y=—

3

-z=2（z-6）7

273