專題25帶電粒子在有界勻強磁場中的運動目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一帶電粒子在有界勻強磁場中的運動 1類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運動 3類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運動 5類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動 8類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場 10題型二帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題 13類型1帶電粒子在磁場中運動的臨界問題 13類型2帶電粒子在磁場中運動的極值問題 17題型三帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題 22題型一帶電粒子在有界勻強磁場中的運動一、粒子軌跡圓心的確定，半徑、運動時間的計算方法1．圓心的確定方法(1)若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，分別確定兩點處洛倫茲力F的方向，其交點即為圓心，如圖甲．(2)若已知粒子運動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點即為圓心，如圖乙．(3)若已知粒子軌跡上某點速度方向，又能根據(jù)r＝eq\f(mv,qB)計算出軌跡半徑r，則在該點沿洛倫茲力方向距離為r的位置為圓心，如圖丙．2．半徑的計算方法方法一由R＝eq\f(mv,qB)求得方法二連半徑構(gòu)出三角形，由數(shù)學方法解三角形或勾股定理求得例如：如圖甲，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得常用到的幾何關(guān)系①粒子的偏轉(zhuǎn)角等于半徑掃過的圓心角，如圖乙，φ＝α②弦切角等于弦所對應(yīng)圓心角一半，θ＝eq\f(1,2)α.3．時間的計算方法方法一利用圓心角、周期求得t＝eq\f(θ,2π)T方法二利用弧長、線速度求得t＝eq\f(l,v)二、帶電粒子在有界磁場中的運動1．直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)2．平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)3．圓形邊界(進出磁場具有對稱性)(1)沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示．(2)不沿徑向射入時，如圖乙所示．射入時粒子速度方向與半徑的夾角為θ，射出磁場時速度方向與半徑的夾角也為θ.類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運動【例1】(2022·四川省儀隴宏德中學高三模擬)如圖所示，直線MN上方有垂直紙面向里的勻強磁場，電子1從磁場邊界上的a點垂直MN和磁場方向射入磁場，經(jīng)t1時間從b點離開磁場．之后電子2也由a點沿圖示方向以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時間從a、b連線的中點c離開磁場，則eq\f(t1,t2)為()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)【例2】(多選)如圖，虛線上方空間分布著垂直紙面向里的勻強磁場，在紙面內(nèi)沿不同的方向從粒子源O先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子和α粒子，質(zhì)子和α粒子同時到達P點．已知OP＝l，α粒子沿與PO成30°角的方向入射，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，則下列說法正確的是()A．質(zhì)子在磁場中運動的半徑為eq\f(l,2)B．α粒子在磁場中運動的半徑為eq\f(\r(3),2)lC．質(zhì)子在磁場中運動的時間為eq\f(πl(wèi),2v)D．質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時間間隔為eq\f(7πl(wèi),6v)【例3】.如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，在xOy平面內(nèi)，從原點O處沿與x軸正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v發(fā)射一個帶正電的粒子(重力不計)．則下列說法正確的是()A．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的時間越短B．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的角速度越大C．若v一定，θ越大，則粒子在磁場中運動的時間越短D．若v一定，θ越大，則粒子在離開磁場的位置距O點越遠類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運動【例1】如圖所示，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率對準圓心入射的正電子或負電子的運動徑跡，a、b、d三個出射點和圓心的連線分別與豎直方向成90°、60°、45°的夾角，則下列判斷正確的是()A．沿徑跡Oc運動的粒子在磁場中運動時間最短B．沿徑跡Oc、Od運動的粒子均為正電子C．沿徑跡Oa、Ob運動的粒子速率之比為eq\f(\r(3),3)D．沿徑跡Ob、Od運動的時間之比為9∶8【例2】.如圖所示，ACD為一半圓形區(qū)域，其中O為圓心，AD為直徑，∠AOC＝90°，半圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直該平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.一帶電粒子(不計重力)從圓弧的P點以速度v沿平行于直徑AD方向射入磁場，運動一段時間從C點離開磁場時，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，設(shè)P點到AD的距離為d.下列說法中正確的是()A．該粒子帶正電B．該粒子的比荷為eq\f(v,Bd)C．該粒子在磁場中運動時間為eq\f(πd,3v)D．直徑AD長度為4d【例3】.(2022·北京市豐臺區(qū)模擬)如圖所示，勻強磁場限定在一個圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強度大小為B，一個質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度大小為v的帶電粒子沿磁場區(qū)域的直徑方向從P點射入磁場，從Q點沿半徑方向射出磁場，粒子射出磁場時的速度方向與射入磁場時相比偏轉(zhuǎn)了θ角，忽略重力及粒子間的相互作用力，下列說法錯誤的是()A．粒子帶正電B．粒子在磁場中運動的軌跡長度為eq\f(mvθ,qB)C．粒子在磁場中運動的時間為eq\f(mθ,qB)D．圓形磁場區(qū)域的半徑為eq\f(mv,qB)tanθ【例4】.(多選)如圖，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面向里的勻強磁場，某質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子從圓上P點沿半徑方向以速度v0射入勻強磁場，粒子從Q點飛出，速度偏轉(zhuǎn)角為60°.現(xiàn)將該粒子從P點以另一速度沿半徑方向射入勻強磁場，粒子離開磁場時，速度偏轉(zhuǎn)角為120°，不計粒子重力．則()A．該粒子帶正電B．勻強磁場的磁感應(yīng)強度為eq\f(\r(3)mv0,3qR)C．該粒子第二次射入磁場的速度為eq\f(v0,2)D．該粒子第二次在磁場中運動的時間為eq\f(2\r(3)πR,3v0)類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動【例1】(2020·全國Ⅲ卷，18)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)【例2】(2022·江蘇省第二次適應(yīng)性模擬)科學儀器常常利用磁場將帶電粒子“約束”在一定區(qū)域內(nèi)，使其不能射出。如圖所示的磁場區(qū)域：勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里，其邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心，A為磁場內(nèi)在圓弧上的一點，P為OA的中點。若有一粒子源向紙面內(nèi)的各個方向發(fā)射出比荷為eq\f(q,m)的帶負電粒子，粒子速度連續(xù)分布，且無相互作用。不計粒子的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)粒子源在A點時，被磁場約束的粒子速度的最大值vAm；(2)粒子源在O點時，被磁場約束的粒子每次經(jīng)過磁場時間的最大值tm；(3)粒子源在P點時，被磁場約束的粒子速度的最大值vPm。類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場【例1】(2019·全國卷Ⅱ·17)如圖，邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外．a(chǎn)b邊中點有一電子發(fā)射源O，可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子．已知電子的比荷為k.則從a、d兩點射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【例2】如圖所示，平行邊界區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，比荷相同的帶電粒子a和b依次從O點垂直于磁場的左邊界射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從右邊界射出，帶電粒子a和b射出磁場時與磁場右邊界的夾角分別為30°和60°，不計粒子的重力，下列判斷正確的是()A．粒子a帶負電，粒子b帶正電B．粒子a和b在磁場中運動的半徑之比為1∶eq\r(3)C．粒子a和b在磁場中運動的速率之比為eq\r(3)∶1D．粒子a和b在磁場中運動的時間之比為1∶2【例3】．(多選)如圖所示的虛線框為一正方形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強磁場，一帶電粒子從a點沿與ab邊成30°角方向射入磁場，恰好從b點飛出磁場；另一帶電粒子以相同的速率從a點沿ad方向射入磁場后，從c點飛出磁場，不計重力，則兩帶電粒子的比荷之比及在磁場中的運動時間之比分別為()A.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝1∶1B.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝2∶1C．t1∶t2＝2∶3D．t1∶t2＝1∶3題型二帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解．1．臨界條件帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過切點的半徑(直徑)垂直．2．幾種常見的求極值情況(速度一定時)(1)最長時間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切．圓形邊界：公共弦為小圓直徑時，出現(xiàn)極值，即：當運動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，以磁場直徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運動時間最長．(2)最短時間：弧長最短(弦長最短)，入射點確定，入射點和出射點連線與邊界垂直．如圖，P為入射點，M為出射點．此時在磁場中運動時最短．類型1帶電粒子在磁場中運動的臨界問題【例1】(多選)如圖所示，在坐標系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，磁場的寬度為d，磁場方向垂直于xOy平面向里．一個質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點O射入磁場，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從y軸上的某點離開磁場．忽略粒子重力．關(guān)于該粒子在磁場中的運動情況，下列說法正確的是()A．它的軌道半徑為eq\f(2,3)dB．它進入磁場時的速度為eq\f(2qBd,3m)C．它在磁場中運動的時間為eq\f(2πm,3qB)D．它的運動軌跡與y軸交點的縱坐標為eq\r(3)d【例2】（2022屆云南省高三（下）第一次統(tǒng)測物理試題）如圖所示，直角三角形AOC，，AO右側(cè)某區(qū)域存在垂直于AOC平面的勻強磁場（圖中未畫出），其磁感應(yīng)強度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速度v從C點垂直于AC進入磁場，該粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后平行于CO射到AC邊上的D點（圖中未畫出），粒子重力不計。下列說法正確的是（）A.粒子從C點射入磁場，在到達D點前始終未離開磁場B.磁場方向垂直AOC平面向里C.CD間的距離為D.粒子從C點到D點時間為【例3】(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點．一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0后剛好從c點射出磁場．現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說法中正確的是()A．所有從cd邊射出磁場的該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間都是eq\f(5,3)t0B．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(2,3)t0，則它一定從ad邊射出磁場C．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(5,4)t0，則它一定從bc邊射出磁場D．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(1,3)t0<t<eq\f(5,6)t0，則它一定從ab邊射出磁場類型2帶電粒子在磁場中運動的極值問題【例1】(多選)(2022·山東濟南市模擬)如圖所示，邊長為eq\r(3)L的正三角形abc區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發(fā)射相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時，恰好沒有粒子穿出磁場區(qū)域，不計粒子的重力。下列說法正確的是()A．磁感應(yīng)強度大小為eq\f(2mv,qL)B．磁感應(yīng)強度大小為eq\f(4mv,qL)C．若發(fā)射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為eq\f(πL,12v)D．若發(fā)射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為eq\f(πL,6v)【例2】(多選)如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.大量質(zhì)量為m、電荷量為＋q的同種粒子以相同的速度沿紙面垂直于ab邊射入場區(qū)，結(jié)果在bc邊僅有一半的區(qū)域內(nèi)有粒子射出．已知bc邊的長度為L，bc和ac的夾角為60°，不計粒子重力及粒子間的相互作用力．下列說法正確的是()A．粒子的入射速度為eq\f(BqL,4m)B．粒子的入射速度為eq\f(\r(3)BqL,6m)C．粒子在磁場中運動的最大軌跡長度為eq\f(πL,4)D．從bc邊射出的粒子在磁場內(nèi)運動的最長時間為eq\f(πm,2Bq)【例3】．(多選)如圖所示，ab為有界磁場的邊界，ab上的O點為粒子源，粒子以速率v0均勻?qū)ΨQ地射入磁場，粒子速度方向分布在與ab夾角為30°至150°之間所有方向．已知磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里，粒子電荷量為－q(q>0)，質(zhì)量為m，不計粒子重力及粒子間的相互作用力．下列說法正確的是()A．粒子離開ab時，射出點距O點的最大距離x＝eq\f(mv0,Bq)B．粒子在磁場中運動，距ab的最遠距離y＝(1＋eq\f(\r(3),2))eq\f(mv0,Bq)C．粒子在磁場中運動，時間最短的粒子用時t1＝eq\f(πm,3Bq)D．粒子在磁場中運動，時間最長的粒子用時t2＝eq\f(5πm,6Bq)【例4】如圖所示，正方形PNMQ的邊長為L，圓心在M，半徑也為L的eq\f(1,4)圓形區(qū)域MQN內(nèi)有垂直于平面向里、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，G是QM邊的中點．一群質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，以相同的速度v＝eq\f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁場的方向從QM邊射入磁場，下列說法正確的是()A．沒有粒子到達P點B．粒子在磁場中運動的最長時間為eq\f(πm,3qB)C．從G、M之間射入的粒子皆可到達PN邊D．所有粒子將從磁場邊界上同一點射出磁場【例5】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，一帶負電的粒子(不計重力)沿水平方向以速度v正對圓心射入磁場，通過磁場區(qū)域后速度方向偏轉(zhuǎn)了60°.(1)求粒子的比荷eq\f(q,m)及粒子在磁場中的運動時間t；(2)如果想使粒子通過磁場區(qū)域后速度方向的偏轉(zhuǎn)角度最大，在保持原入射速度的基礎(chǔ)上，需將粒子的入射點沿圓弧向上平移的距離d為多少？題型三帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運動的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題．(1)找出多解的原因．(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．類型分析圖例帶電粒子電性不確定帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負電荷，初速度相同時，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解如帶正電，其軌跡為a；如帶負電，其軌跡為b磁場方向不確定只知道磁感應(yīng)強度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強度方向，由于磁感應(yīng)強度方向不確定而形成多解若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子飛越有界磁場時，可能穿過磁場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面一側(cè)反向飛出，于是形成多解運動具有周期性帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運動時，運動往往具有周期性，因而形成多解【例1】(多選)如圖所示，A點的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負離子，離子的重力忽略不計．為把這束負離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強磁場．已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為eq\f(q,m)，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小和方向可能是()A．B>eq\f(mv,3qs)，垂直紙面向里B．B>eq\f(mv,qs)，垂直紙面向里C．B>eq\f(mv,qs)，垂直紙面向外D．B>eq\f(3mv,qs)，垂直紙面向外【例2】(多選)如圖所示，邊長為L的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外．三角形頂點A處有一質(zhì)子源，能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計、質(zhì)子間的相互作用可忽略)，所有質(zhì)子恰能通過D點，已知質(zhì)子的比荷eq\f(q,m)＝k，則質(zhì)子的速度可能為()A.eq\f(BkL,2) B．BkLC.eq\f(3BkL,2) D.eq\f(BkL,8)【例3】如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強度隨時間的變化如圖乙所示，規(guī)定垂直于紙面向里的方向為正方向。有一群正離子在t＝0時垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應(yīng)強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力。求：(1)磁感應(yīng)強度的大小B0；(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值。

專題25帶電粒子在有界勻強磁場中的運動目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一帶電粒子在有界勻強磁場中的運動 1類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運動 3類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運動 5類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動 8類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場 10題型二帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題 13類型1帶電粒子在磁場中運動的臨界問題 13類型2帶電粒子在磁場中運動的極值問題 17題型三帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題 22題型一帶電粒子在有界勻強磁場中的運動一、粒子軌跡圓心的確定，半徑、運動時間的計算方法1．圓心的確定方法(1)若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，分別確定兩點處洛倫茲力F的方向，其交點即為圓心，如圖甲．(2)若已知粒子運動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點即為圓心，如圖乙．(3)若已知粒子軌跡上某點速度方向，又能根據(jù)r＝eq\f(mv,qB)計算出軌跡半徑r，則在該點沿洛倫茲力方向距離為r的位置為圓心，如圖丙．2．半徑的計算方法方法一由R＝eq\f(mv,qB)求得方法二連半徑構(gòu)出三角形，由數(shù)學方法解三角形或勾股定理求得例如：如圖甲，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得常用到的幾何關(guān)系①粒子的偏轉(zhuǎn)角等于半徑掃過的圓心角，如圖乙，φ＝α②弦切角等于弦所對應(yīng)圓心角一半，θ＝eq\f(1,2)α.3．時間的計算方法方法一利用圓心角、周期求得t＝eq\f(θ,2π)T方法二利用弧長、線速度求得t＝eq\f(l,v)二、帶電粒子在有界磁場中的運動1．直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)2．平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)3．圓形邊界(進出磁場具有對稱性)(1)沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示．(2)不沿徑向射入時，如圖乙所示．射入時粒子速度方向與半徑的夾角為θ，射出磁場時速度方向與半徑的夾角也為θ.類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運動【例1】(2022·四川省儀隴宏德中學高三模擬)如圖所示，直線MN上方有垂直紙面向里的勻強磁場，電子1從磁場邊界上的a點垂直MN和磁場方向射入磁場，經(jīng)t1時間從b點離開磁場．之后電子2也由a點沿圖示方向以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時間從a、b連線的中點c離開磁場，則eq\f(t1,t2)為()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)【答案】A【解析】電子1、2在磁場中都做勻速圓周運動，根據(jù)題意畫出兩電子的運動軌跡，如圖所示，電子1垂直邊界射進磁場，從b點離開，則運動了半個圓周，ab即為直徑，c點為圓心，電子2以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時間從a、b連線的中點c離開磁場，根據(jù)半徑r＝eq\f(mv,Bq)可知，電子1和2的半徑相等，根據(jù)幾何關(guān)系可知，△aOc為等邊三角形，則電子2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所以電子1運動的時間t1＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)，電子2運動的時間t2＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3Bq)，所以eq\f(t1,t2)＝3，故A正確，B、C、D錯誤．【例2】(多選)如圖，虛線上方空間分布著垂直紙面向里的勻強磁場，在紙面內(nèi)沿不同的方向從粒子源O先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子和α粒子，質(zhì)子和α粒子同時到達P點．已知OP＝l，α粒子沿與PO成30°角的方向入射，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，則下列說法正確的是()A．質(zhì)子在磁場中運動的半徑為eq\f(l,2)B．α粒子在磁場中運動的半徑為eq\f(\r(3),2)lC．質(zhì)子在磁場中運動的時間為eq\f(πl(wèi),2v)D．質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時間間隔為eq\f(7πl(wèi),6v)【答案】ACD【解析】根據(jù)題意作出α粒子運動軌跡如圖所示；由幾何知識可知，粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑r＝l，因為粒子做圓周運動的半徑為r＝eq\f(mv,qB)，質(zhì)子與α粒子的荷質(zhì)比為2∶1，所以其運動的半徑之比為1∶2，質(zhì)子運動的半徑為eq\f(l,2).故A正確，B錯誤；粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πl(wèi),v)，由幾何知識可知，α粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角θ1＝300°，α粒子在磁場中的運動時間t1＝eq\f(θ1,360°)T＝eq\f(5πl(wèi),3v)，質(zhì)子從O射入P點射出，又質(zhì)子運動的半徑為eq\f(l,2)，可知O點射入的速度方向必與OP邊界垂直，θ2＝180°，故t2＝eq\f(πl(wèi),2v).所以質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時間間隔為t1－t2＝eq\f(7πl(wèi),6v)，故C、D正確．【例3】.如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，在xOy平面內(nèi)，從原點O處沿與x軸正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v發(fā)射一個帶正電的粒子(重力不計)．則下列說法正確的是()A．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的時間越短B．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運動的角速度越大C．若v一定，θ越大，則粒子在磁場中運動的時間越短D．若v一定，θ越大，則粒子在離開磁場的位置距O點越遠【答案】C【解析】粒子運動周期T＝eq\f(2πm,Bq)，當θ一定時，粒子在磁場中運動時間：t＝eq\f(2π－2θ,2π)T＝eq\f(π－θ,π)T，ω＝eq\f(2π,T)，由于t、ω均與v無關(guān)，故A、B錯誤，C正確；當v一定時，由r＝eq\f(mv,Bq)知，r一定；當θ從0變至eq\f(π,2)的過程中，θ越大，粒子離開磁場的位置距O點越遠；當θ大于eq\f(π,2)時，θ越大，粒子離開磁場的位置距O點越近，故D錯誤．類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運動【例1】如圖所示，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強磁場，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率對準圓心入射的正電子或負電子的運動徑跡，a、b、d三個出射點和圓心的連線分別與豎直方向成90°、60°、45°的夾角，則下列判斷正確的是()A．沿徑跡Oc運動的粒子在磁場中運動時間最短B．沿徑跡Oc、Od運動的粒子均為正電子C．沿徑跡Oa、Ob運動的粒子速率之比為eq\f(\r(3),3)D．沿徑跡Ob、Od運動的時間之比為9∶8【答案】C【解析】由于正電子和負電子的電荷量q和質(zhì)量m均相等，粒子在磁場中做勻速圓周運動，則有qvB＝meq\f(v2,R)，T＝eq\f(2πR,v)，解得T＝eq\f(2πm,qB)，可知四種粒子在磁場中運動的周期相等，而沿徑跡Oc運動的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，圓心角也最大，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，由t＝eq\f(θ,2π)T，可知沿徑跡Oc運動的粒子在磁場中運動時間最長，A項錯誤；由左手定則可判斷沿徑跡Oc、Od運動的粒子均帶負電，B項錯誤；設(shè)圓形磁場半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得沿徑跡Oa、Ob運動的粒子軌道半徑分別為ra＝r，rb＝eq\r(3)r，根據(jù)qBv＝meq\f(v2,r)，可得eq\f(va,vb)＝eq\f(ra,rb)＝eq\f(\r(3),3)，C項正確；由上述分析可知，粒子在磁場中的運動時間之比等于偏轉(zhuǎn)角之比，所以eq\f(tb,td)＝eq\f(θb,θd)＝eq\f(60°,45°)＝eq\f(4,3)，D項錯誤．【例2】.如圖所示，ACD為一半圓形區(qū)域，其中O為圓心，AD為直徑，∠AOC＝90°，半圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直該平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.一帶電粒子(不計重力)從圓弧的P點以速度v沿平行于直徑AD方向射入磁場，運動一段時間從C點離開磁場時，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，設(shè)P點到AD的距離為d.下列說法中正確的是()A．該粒子帶正電B．該粒子的比荷為eq\f(v,Bd)C．該粒子在磁場中運動時間為eq\f(πd,3v)D．直徑AD長度為4d【答案】D【解析】帶電粒子在半圓形磁場中向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可判斷，粒子帶負電，A錯誤；過P點和C點做速度的垂線，交點即為軌跡圓圓心．如圖，由幾何關(guān)系可知，OCO′P為菱形∠COP＝∠CO′P＝60°，eq\x\to(OP)＝2d＝eq\x\to(PC)＝r洛倫茲力提供向心力qvB＝meq\f(v2,r)r＝eq\f(mv,qB)eq\f(q,m)＝eq\f(v,2dB)，B錯誤；粒子在磁場中運動時間為t＝eq\f(T,6)＝eq\f(1,6)×eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πm,3qB)＝eq\f(π,3B)×eq\f(2dB,v)＝eq\f(2dπ,3v)，C錯誤；直徑AD的長度等于磁場區(qū)域半徑的2倍，即4d，D正確．【例3】.(2022·北京市豐臺區(qū)模擬)如圖所示，勻強磁場限定在一個圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強度大小為B，一個質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度大小為v的帶電粒子沿磁場區(qū)域的直徑方向從P點射入磁場，從Q點沿半徑方向射出磁場，粒子射出磁場時的速度方向與射入磁場時相比偏轉(zhuǎn)了θ角，忽略重力及粒子間的相互作用力，下列說法錯誤的是()A．粒子帶正電B．粒子在磁場中運動的軌跡長度為eq\f(mvθ,qB)C．粒子在磁場中運動的時間為eq\f(mθ,qB)D．圓形磁場區(qū)域的半徑為eq\f(mv,qB)tanθ【答案】D【解析】根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)方向，由左手定則可以判斷出粒子帶正電，A不符合題意；由洛倫茲力提供向心力可得qvB＝meq\f(v2,r)，解得粒子在磁場中運動時，其軌跡的半徑為r＝eq\f(mv,qB)，由幾何關(guān)系可知其對應(yīng)的圓心角為θ，則粒子在磁場中運動的軌跡長度為s＝θr＝eq\f(mvθ,qB)，B不符合題意；粒子做勻速運動的周期為T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，則粒子在磁場中運動的時間為t＝eq\f(θ,2π)·T＝eq\f(mθ,qB)，C不符合題意；設(shè)圓形磁場區(qū)域的半徑為R，由taneq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，解得R＝rtaneq\f(θ,2)＝eq\f(mv,qB)·taneq\f(θ,2)，D符合題意。【例4】.(多選)如圖，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面向里的勻強磁場，某質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子從圓上P點沿半徑方向以速度v0射入勻強磁場，粒子從Q點飛出，速度偏轉(zhuǎn)角為60°.現(xiàn)將該粒子從P點以另一速度沿半徑方向射入勻強磁場，粒子離開磁場時，速度偏轉(zhuǎn)角為120°，不計粒子重力．則()A．該粒子帶正電B．勻強磁場的磁感應(yīng)強度為eq\f(\r(3)mv0,3qR)C．該粒子第二次射入磁場的速度為eq\f(v0,2)D．該粒子第二次在磁場中運動的時間為eq\f(2\r(3)πR,3v0)【答案】BD【解析】由左手定則可知該粒子帶負電，故A錯誤；由qBv＝meq\f(v2,r)，知r＝eq\f(mv,qB)，如圖，由幾何關(guān)系可得r1＝eq\f(R,tanθ)＝eq\r(3)R，B＝eq\f(\r(3)mv0,3qR)，故B正確；粒子第二次射入磁場，由幾何關(guān)系知r2＝eq\f(\r(3),3)R，qBv2＝meq\f(v22,r)，知v2＝eq\f(qBr2,m)，則進入磁場速度為v2＝eq\f(v0,3)，故C錯誤；粒子第二次在磁場中運動的時間t＝eq\f(1,3)T＝eq\f(2\r(3)πR,3v0)，故D正確．類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動【例1】(2020·全國Ⅲ卷，18)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)【答案】C【解析】為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進入勻強磁場中做勻速圓周運動軌跡的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場的磁感應(yīng)強度最小為B，由幾何關(guān)系有eq\r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq\f(4,3)a，電子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律有evB＝meq\f(v2,r)，解得B＝eq\f(3mv,4ae)，選項C正確?！纠?】(2022·江蘇省第二次適應(yīng)性模擬)科學儀器常常利用磁場將帶電粒子“約束”在一定區(qū)域內(nèi)，使其不能射出。如圖所示的磁場區(qū)域：勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里，其邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心，A為磁場內(nèi)在圓弧上的一點，P為OA的中點。若有一粒子源向紙面內(nèi)的各個方向發(fā)射出比荷為eq\f(q,m)的帶負電粒子，粒子速度連續(xù)分布，且無相互作用。不計粒子的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)粒子源在A點時，被磁場約束的粒子速度的最大值vAm；(2)粒子源在O點時，被磁場約束的粒子每次經(jīng)過磁場時間的最大值tm；(3)粒子源在P點時，被磁場約束的粒子速度的最大值vPm?！敬鸢浮?1)eq\f(3qBR,2m)(2)eq\f(127πm,90qB)(3)eq\f(qBR,m)【解析】(1)如圖甲所示，甲粒子源在A點時，粒子最大運動半徑為rmax＝eq\f(2R＋R,2)＝eq\f(3,2)R，由運動的半徑rmax＝eq\f(mvAm,qB)解得vAm＝eq\f(3qBR,2m)。(2)設(shè)粒子運動半徑為r0，粒子在磁場中的運動軌跡與磁場外邊界相切時，如圖乙所示，被磁場約束的粒子每次經(jīng)過磁場時間最長，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2乙則R2＋req\o\al(2,0)＝(2R－r0)2得r0＝eq\f(3,4)R，則∠ACO＝53°，∠ACD＝106°，軌跡圓心角為360°－106°＝254°解得tm＝eq\f(254°,360°)T＝eq\f(127πm,90qB)。(3)當粒子源在P點時，粒子在磁場中的運動軌跡與磁場外邊界相切時，如圖丙所示，被磁場約束的粒子半徑最大，速度為最大值，設(shè)粒子運動半徑為rP。丙在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，OG＝eq\f(\r(3),2)R，EG＝rP－eq\f(1,2)R，OE＝2R－rP得rP＝R由運動半徑r＝eq\f(mv,qB)，解得vPm＝eq\f(qBR,m)。類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場【例1】(2019·全國卷Ⅱ·17)如圖，邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外．a(chǎn)b邊中點有一電子發(fā)射源O，可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子．已知電子的比荷為k.則從a、d兩點射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【答案】B【解析】電子從a點射出時，其運動軌跡如圖線①，軌跡半徑為ra＝eq\f(l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evaB＝meq\f(va2,ra)，又eq\f(e,m)＝k，解得va＝eq\f(kBl,4)；電子從d點射出時，運動軌跡如圖線②，由幾何關(guān)系有rd2＝l2＋(rd－eq\f(l,2))2，解得：rd＝eq\f(5l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evdB＝meq\f(vd2,rd)，又eq\f(e,m)＝k，解得vd＝eq\f(5kBl,4)，選項B正確．【例2】如圖所示，平行邊界區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，比荷相同的帶電粒子a和b依次從O點垂直于磁場的左邊界射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從右邊界射出，帶電粒子a和b射出磁場時與磁場右邊界的夾角分別為30°和60°，不計粒子的重力，下列判斷正確的是()A．粒子a帶負電，粒子b帶正電B．粒子a和b在磁場中運動的半徑之比為1∶eq\r(3)C．粒子a和b在磁場中運動的速率之比為eq\r(3)∶1D．粒子a和b在磁場中運動的時間之比為1∶2【答案】B【解析】a粒子向上偏轉(zhuǎn)，由F＝qvB得，a粒子帶正電；b粒子向下偏轉(zhuǎn)，b粒子帶負電，故A錯誤；由幾何關(guān)系可知，磁場水平距離x＝Rasin60°＝Rbsin30°，Ra∶Rb＝1∶eq\r(3)，故B正確；由qvB＝meq\f(v2,R)得v＝eq\f(qBR,m)，比荷相同，磁場相同，則va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶eq\r(3)，故C錯誤；粒子運動周期T＝eq\f(2πm,qB)，Ta＝Tb，a運動時間ta＝eq\f(60°,360°)Ta＝eq\f(1,6)Ta＝eq\f(1,6)T，b運動時間tb＝eq\f(30°,360°)Tb＝eq\f(1,12)Tb＝eq\f(1,12)T，故ta∶tb＝2∶1，故D錯誤．【例3】．(多選)如圖所示的虛線框為一正方形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強磁場，一帶電粒子從a點沿與ab邊成30°角方向射入磁場，恰好從b點飛出磁場；另一帶電粒子以相同的速率從a點沿ad方向射入磁場后，從c點飛出磁場，不計重力，則兩帶電粒子的比荷之比及在磁場中的運動時間之比分別為()A.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝1∶1B.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝2∶1C．t1∶t2＝2∶3D．t1∶t2＝1∶3【答案】AC【解析】兩粒子的運動軌跡如圖；設(shè)正方形區(qū)域邊長為L，則從b點飛出的粒子的運動軌跡半徑為r1＝L；從c點飛出的粒子的運動軌跡半徑為r2＝L；根據(jù)qv0B＝meq\f(v02,r)，可得eq\f(q,m)＝eq\f(v0,Br)，則eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝1∶1，選項A正確，B錯誤；根據(jù)T＝eq\f(2πm,qB)可知，兩粒子在磁場中做圓周運動的周期相同，兩粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度分別為60°和90°，根據(jù)t＝eq\f(θ,2π)T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，選項C正確，D錯誤．題型二帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解．1．臨界條件帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過切點的半徑(直徑)垂直．2．幾種常見的求極值情況(速度一定時)(1)最長時間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切．圓形邊界：公共弦為小圓直徑時，出現(xiàn)極值，即：當運動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，以磁場直徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運動時間最長．(2)最短時間：弧長最短(弦長最短)，入射點確定，入射點和出射點連線與邊界垂直．如圖，P為入射點，M為出射點．此時在磁場中運動時最短．類型1帶電粒子在磁場中運動的臨界問題【例1】(多選)如圖所示，在坐標系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，磁場的寬度為d，磁場方向垂直于xOy平面向里．一個質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點O射入磁場，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從y軸上的某點離開磁場．忽略粒子重力．關(guān)于該粒子在磁場中的運動情況，下列說法正確的是()A．它的軌道半徑為eq\f(2,3)dB．它進入磁場時的速度為eq\f(2qBd,3m)C．它在磁場中運動的時間為eq\f(2πm,3qB)D．它的運動軌跡與y軸交點的縱坐標為eq\r(3)d【答案】AB【解析】粒子運動軌跡如圖所示，r＋rsin30°＝d，解得粒子運動軌道半徑為r＝eq\f(2,3)d，故A正確；由qvB＝meq\f(v2,r)，r＝eq\f(2,3)d，聯(lián)立解得粒子進入磁場時的速度為v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(2qBd,3m)，故B正確；由T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，如圖由幾何關(guān)系知t＝eq\f(2,3)T，解得粒子在磁場中運動的時間為t＝eq\f(4πm,3qB)，故C錯誤；粒子運動軌跡與y軸交點的縱坐標為y＝－2rcos30°＝－eq\f(2\r(3),3)d，故D錯誤．【例2】（2022屆云南省高三（下）第一次統(tǒng)測物理試題）如圖所示，直角三角形AOC，，AO右側(cè)某區(qū)域存在垂直于AOC平面的勻強磁場（圖中未畫出），其磁感應(yīng)強度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速度v從C點垂直于AC進入磁場，該粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后平行于CO射到AC邊上的D點（圖中未畫出），粒子重力不計。下列說法正確的是（）A.粒子從C點射入磁場，在到達D點前始終未離開磁場B.磁場方向垂直AOC平面向里C.CD間的距離為D.粒子從C點到D點時間為【答案】BD【解析】【詳解】A．若粒子從C點射入磁場，在到達D點前始終未離開磁場，到達D點時的速度一定與AC邊垂直，A錯誤；B．根據(jù)左手定則，磁場方向垂直AOC平面向里，B正確；C．根據(jù)題意，該粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角度為設(shè)軌道半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律得CD間的距離為解得C錯誤；D．粒子從C點到D點的時間為解得D正確。故選BD。【例3】(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點．一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0后剛好從c點射出磁場．現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說法中正確的是()A．所有從cd邊射出磁場的該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間都是eq\f(5,3)t0B．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(2,3)t0，則它一定從ad邊射出磁場C．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(5,4)t0，則它一定從bc邊射出磁場D．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq\f(1,3)t0<t<eq\f(5,6)t0，則它一定從ab邊射出磁場【答案】ACD【解析】如圖所示，作出帶電粒子以與Od成30°角的方向的速度射入正方形內(nèi)時，剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④.由從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期是2t0.由圖中幾何關(guān)系可知，從ad射出磁場經(jīng)歷的時間一定小于eq\f(1,3)t0；從ab邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于eq\f(1,3)t0，小于eq\f(5,6)t0；從bc邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于eq\f(5,6)t0，小于eq\f(4,3)t0；從cd邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定是eq\f(5,3)t0.故選A、C、D.【例4】如圖所示，比荷為k的帶電粒子(不計重力)，從坐標原點O1以速度v0沿x軸正方向射入垂直紙面向里的勻強磁場中；在坐標平面內(nèi)，半徑為R的圓形邊界(圓心在O2點)正好與y軸相切在O1，粒子從圓形邊界的c點射出，磁場的磁感應(yīng)強度大小為eq\f(v0,Rk)，下列說法正確的是()A．粒子做勻速圓周運動的半徑為Rk2B．c點的坐標為(R，R)C．粒子從O1到c的運動時間為eq\f(πR,4v0)D．若該粒子從圓形邊界上的a點或b點，以平行于x軸的速度v0射入磁場，則粒子必不從c點射出圓形邊界答案B解析設(shè)粒子做勻速圓周運動的半徑為r，磁感應(yīng)強度為B，由Bqv0＝meq\f(v\o\al(02),r)，得r＝eq\f(mv0,Bq)，代入B＝eq\f(v0,Rk)，eq\f(q,m)＝k，聯(lián)立可得r＝R，A錯誤；圓形邊界的半徑與軌跡圓的半徑相等，根據(jù)勻速圓周運動知識可知，軌跡圓的圓心O3在y軸上，如圖所示，O1O2cO3是邊長為R的正方形，則c點的坐標為(R，R)，B正確；粒子從O1到c運動時間t＝eq\f(2πR,4v0)＝eq\f(πR,2v0)，C錯誤；圓形邊界的半徑與軌跡圓的半徑相同，滿足磁聚焦原理，一組平行粒子垂直射入半徑為R的圓形勻強磁場區(qū)域，若軌跡半徑也為R，則粒子將匯聚于同一點，即入射速度相同的粒子從圓形磁場邊界上的O1、a、b點射入，必然從同一點c射出，D錯誤．類型2帶電粒子在磁場中運動的極值問題【例1】(多選)(2022·山東濟南市模擬)如圖所示，邊長為eq\r(3)L的正三角形abc區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發(fā)射相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時，恰好沒有粒子穿出磁場區(qū)域，不計粒子的重力。下列說法正確的是()A．磁感應(yīng)強度大小為eq\f(2mv,qL)B．磁感應(yīng)強度大小為eq\f(4mv,qL)C．若發(fā)射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為eq\f(πL,12v)D．若發(fā)射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為eq\f(πL,6v)【答案】BC【解析】磁場方向垂直紙面向外，粒子恰好沒有穿出磁場區(qū)域，因此帶電粒子的軌跡圓的直徑等于過O點垂直于cb的線段長度，設(shè)垂足為d，由幾何關(guān)系得Od＝eq\f(1,2)L，則粒子軌跡圓的半徑為r＝eq\f(1,4)L，由洛倫茲力提供向心力qvB＝meq\f(v2,r)，得B＝eq\f(4mv,qL)，A錯誤，B正確；當發(fā)射粒子速度為2v時，由2qvB＝meq\f(（2v）2,r)，得r′＝eq\f(2mv,qB)＝eq\f(L,2)，求最短時間，也就是求粒子在磁場中轉(zhuǎn)過最小的角度，當粒子從垂足d穿出時，時間最短，由幾何關(guān)系知，轉(zhuǎn)過的角度為θ＝60°，T＝eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πL,2v)，即最短時間t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(πL,12v)，C正確，D錯誤。【例2】(多選)如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.大量質(zhì)量為m、電荷量為＋q的同種粒子以相同的速度沿紙面垂直于ab邊射入場區(qū)，結(jié)果在bc邊僅有一半的區(qū)域內(nèi)有粒子射出．已知bc邊的長度為L，bc和ac的夾角為60°，不計粒子重力及粒子間的相互作用力．下列說法正確的是()A．粒子的入射速度為eq\f(BqL,4m)B．粒子的入射速度為eq\f(\r(3)BqL,6m)C．粒子在磁場中運動的最大軌跡長度為eq\f(πL,4)D．從bc邊射出的粒子在磁場內(nèi)運動的最長時間為eq\f(πm,2Bq)【答案】AC【解析】粒子進入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，r＝eq\f(mv,Bq)，因bc邊只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出，在bc邊中點射出的粒子軌跡如圖中實線所示，由幾何關(guān)系可得r＝eq\f(L,4)，則粒子的入射速度v＝eq\f(BqL,4m)，所以A項正確，B項錯誤；粒子在磁場中運動的最長軌跡為s＝πr＝eq\f(πL,4)，所以C項正確；與bc邊相切，恰從bc邊射出的粒子對應(yīng)的圓心角最大為eq\f(2π,3)，從bc邊射出的粒子在磁場內(nèi)運動的最長時間為t＝eq\f(2πm,3Bq)，所以D項錯誤．【例3】．(多選)如圖所示，ab為有界磁場的邊界，ab上的O點為粒子源，粒子以速率v0均勻?qū)ΨQ地射入磁場，粒子速度方向分布在與ab夾角為30°至150°之間所有方向．已知磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里，粒子電荷量為－q(q>0)，質(zhì)量為m，不計粒子重力及粒子間的相互作用力．下列說法正確的是()A．粒子離開ab時，射出點距O點的最大距離x＝eq\f(mv0,Bq)B．粒子在磁場中運動，距ab的最遠距離y＝(1＋eq\f(\r(3),2))eq\f(mv0,Bq)C．粒子在磁場中運動，時間最短的粒子用時t1＝eq\f(πm,3Bq)D．粒子在磁場中運動，時間最長的粒子用時t2＝eq\f(5πm,6Bq)【答案】BC【解析】粒子在磁場中運動的軌跡半徑r＝eq\f(mv0,Bq)，周期T＝eq\f(2πm,Bq)，粒子離開ab時，射出點距O點的最大距離為直徑，即x＝eq\f(2mv0,Bq)，A錯誤；粒子在磁場中運動時，距ab的最遠距離y＝r＋eq\f(\r(3),2)r＝(1＋eq\f(\r(3),2))eq\f(mv0,Bq)，B正確；當粒子沿著最右的方向射入時，偏轉(zhuǎn)角最小為60°，時間最短為eq\f(1,6)周期，即t1＝eq\f(πm,3Bq)，C正確；粒子沿著最左的方向射入時，偏轉(zhuǎn)角最大為300°，最長時間為eq\f(5,6)周期，即t2＝eq\f(5πm,3Bq)，選項D錯誤．【例4】如圖所示，正方形PNMQ的邊長為L，圓心在M，半徑也為L的eq\f(1,4)圓形區(qū)域MQN內(nèi)有垂直于平面向里、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，G是QM邊的中點．一群質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，以相同的速度v＝eq\f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁場的方向從QM邊射入磁場，下列說法正確的是()A．沒有粒子到達P點B．粒子在磁場中運動的最長時間為eq\f(πm,3qB)C．從G、M之間射入的粒子皆可到達PN邊D．所有粒子將從磁場邊界上同一點射出磁場【答案】B【解析】根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,R)解得R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(m\f(qBL,m),qB)＝L，若粒子在磁場中恰好經(jīng)過弧QN的中點K，如圖：則根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子的出射速度與水平方向成45°角，之后勻速直線運動正好到達P點，選項A錯誤；經(jīng)分析知從M點入射的粒子在磁場中運動的時間最長，如圖：由幾何關(guān)系可知粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，則在磁場中運動的時間t＝eq\f(60°,360°)×eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πm,3qB)，選項B正確；畫出粒子從G點射入的軌跡如圖：由圖知粒子從磁場中射出的點在K的下方，粒子不會打在PN邊上，所以從G、M之間射入的粒子不能全部到達PN邊，選項C錯誤；由以上分析可知粒子將從磁場邊界上不同的點射出磁場，選項D錯誤．【例5】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，一帶負電的粒子(不計重力)沿水平方向以速度v正對圓心射入磁場，通過磁場區(qū)域后速度方向偏轉(zhuǎn)了60°.(1)求粒子的比荷eq\f(q,m)及粒子在磁場中的運動時間t；(2)如果想使粒子通過磁場區(qū)域后速度方向的偏轉(zhuǎn)角度最大，在保持原入射速度的基礎(chǔ)上，需將粒子的入射點沿圓弧向