實數(shù)全章復習與鞏固

金目標導航

課程標準

1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.

2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會

用計算器求平方根和立方根.

3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)

的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.

4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.

取知識精講

知識點01平方根和立方根

算術平方根平方根立方根

3

若正數(shù)X,正數(shù)X叫做若數(shù)X,數(shù)X叫做若數(shù)X,X=a,數(shù)X叫

定義

a的算術平方根,x=4aoa的平方根,x=±4a做a的立方根,x=y[ao

a的范圍a>0a>0a是任意數(shù)

表示@（根號a）士G（正負根號a）弘（三次根號a）

正數(shù)有一個算術平方根,是正數(shù)正數(shù)有兩個平方根，它們互正數(shù)有二個立方根，是正

為相反數(shù)數(shù)

0的算術平方根是。0的平方根是Q0的立方根是Q

負數(shù)有二個立方根，是負

負數(shù)沒有算術平方根負數(shù)沒有平方根

數(shù)

fa>0

性質(zhì)I""~°雙重非負性=-y[a

=同-a_

(G)=a(a>0)(弘)=a_

被開方數(shù)的小數(shù)點向右(左)每被開方數(shù)小數(shù)點向右(左)

移動兩位，算術平方根的小數(shù)點每移動三位，立方根的小

向右(左)移動1位。數(shù)點向右(左)移動一位。

知識點02實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

按定義分：

’有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

按與0的大小關系分:

'正有理數(shù)

正數(shù)

正無理數(shù)

實數(shù)＜0

'負有理數(shù)

負數(shù)

負無理數(shù)

注意：

(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)

稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：

①開方開不盡的數(shù),如君，蚯等；

②有特殊意義的數(shù)，如h

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.

(4)實數(shù)和數(shù)軸上點是---對應的.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點--對應.

數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.

3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個實數(shù)。的絕對值是非負數(shù)，即

(2)任何一個實數(shù)。的平方是非負數(shù)，即

(3)任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即(tz>0).

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負數(shù)有最小值零；

(2)有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

(3)幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等于0.

4.實數(shù)的運算：

數(shù)。的相反數(shù)是一a；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值

是0.

有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

(二能力拓展

考法01平方根與算數(shù)平方根的定義

【典例1】下列說法錯誤的是()

A.5是25的算術平方根B.1的立方根是±1

C.T沒有平方根D.0的平方根與算術平方根都是0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)算術平方根和平方根及立方根的定義逐一求解可得.

【詳解】

解：A.5是25的算術平方根，此選項說法正確；

B.1的立方根是1,此選項說法錯誤；

C.-1沒有平方根，此選項說法正確；

D.0的平方根與算術平方根都是0,此選項說法正確；

故選B.

【點睛】

本題主要考查立方根、平方根與算術平方根，解題的關鍵是熟練掌握算術平方根和平方根及立方根的定義.

【即學即練】16的平方根是,算術平方根是.

【答案】±44

【解析】

【詳解】

V42=16,(-4)2=16,

A16的平方根為±4；

算術平方根為4.

故答案為±4,4.

【即學即練】若近的平方根是±4,貝1]。=—.

【答案】256

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根與算術平方根的定義即可求解.

【詳解】

解：：近的平方根是±4,

y[a=16,

a=256,

故答案為：256.

【點睛】

此題主要考查實數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知平方根與算術平方根的定義：如果(士。)2=6020)，那么土。

就叫做6的平方根，如果對于兩個正數(shù)有6=6,則a是6的算術平方根.

【即學即練】(1)5?的平方根是；

(2)(-5＞的平方根是,算術平方根是;

(3)/的平方根是,算術平方根是;

(4)(尤+2＞的平方根是,算術平方根是.

【答案1±5±55±x|x|±(x+2)\x+2\

【解析】

【分析】

分別利用平方根、算術平方根的定義計算即可.

平方根的定義：一個數(shù)x的平方等于。，這個數(shù)x叫。的平方根；

算術平方根的定義：一個非負數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術平方根.

【詳解】

(1)52的平方根是±5；

(2)(-5)2的平方根是—±5—,算術平方根是—5―；

(3)X?的平方根是—±x—,算術平方根是_國—；

(4)(x+2)2的平方根是—±(x+2)_,算術平方根是」x+2|_.

故答案為：(1)±5；(2)±5,5(3)±x,國；(4)±(x+2),|x+2|

【點睛】

本題主要考查了平方根、算術平方根的定義，解題注意：一個正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，正值為

算術平方根.

【即學即練】填空：

(1)一個數(shù)的平方等于它本身，這個數(shù)是;一個數(shù)的平方根等于它本身，這個數(shù)是;一

個數(shù)的算術平方根等于它本身，這個數(shù)是.

(2)一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是；一個數(shù)的立方根等于它本身，這個數(shù)是.

【答案】0或100或1?；颉?0或±1

【解析】

【分析】

平方表示兩個相同因數(shù)的相乘；平方根，又叫二次方根，一個正數(shù)有兩個實數(shù)平方根，它們互為相反數(shù)，

負數(shù)沒有平方根；正數(shù)的平方根有兩個，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中非負的平方根，就是這個數(shù)的算術平方根；

立方表示指數(shù)為3的乘方運算即表示三個相同數(shù)的乘積；如果一個數(shù)的立方等于°,那么這個數(shù)叫a的立方

根，也稱為三次方根.也就是說，如果r=a,那么x叫做。的立方根.

根據(jù)特殊數(shù)的平方、平方根、算術平方根、立方、立方根，對各空填寫即可.

【詳解】

解：(1)一個數(shù)的平方等于它本身，這個數(shù)是?；?;

一個數(shù)的平方根等于它本身，這個數(shù)是0；

一個數(shù)的算術平方根等于它本身，這個數(shù)是0或1；

(2)一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是。或±1；

一個數(shù)的立方根等于它本身，這個數(shù)是0或土1.

故答案為：0,1:0；0或1；0或±1；0或±1.

【點睛】

本題是對平方，平方根，算術平方根，立方根的考查，熟記一些特殊數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

考法02平方根的性質(zhì)

【典例2】已知一個正數(shù)的平方根是3x—2和-5x+6,則這個數(shù)是—

【答案】16

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的概念可得3x-2+(-5x+6)=0,然后求解即可.

【詳解】

解：：一個正數(shù)的平方根是3x-2和-5x+6,

3x—2+(-5x+6)=0,

解得：x=2,

???這個數(shù)是(3x2-2)2=16；

故答案為16.

【點睛】

本題主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟練掌握平方根及一元一次方程的解法是解題的關鍵.

［即學即練】若2a+l和。-7是數(shù)加的平方根，則m的值為一.

【答案】25或225

【解析】

【分析】

由題意易知2a+l+a-7=0,然后求解。的值，進而問題可求解.

【詳解】

解：；20+1和。-7是數(shù)加的平方根,

2a+l+a-7=0或2a+l=a-7,

解得：a=2或0=-8,

加=(2x2+11=25或m=225；

故答案為25或225.

【點睛】

本題主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟練掌握平方根及一元一次方程的解法是解題的關鍵.

【即學即練】若4a+］的平方根是±5,則/的算術平方根是.

【答案】6

【解析】

【詳解】略

考法03算數(shù)平方根的性質(zhì)

【典例3］|x+2|+Vz-l+(2y-8)2=0,貝!Jx+y+z=.

【答案】3

【解析】

【分析】

由絕對值與算術平方根、平方的非負性解得x=-2,z=l,產(chǎn)4,即可計算x+y+z的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意得，

x+2=O,z—1=0,2y-8=0

解得x=-2,z-1,y-4,

所以x+y+z=-2+4+l=3

故答案為：3.

【點睛】

本題考查實數(shù)的混合運算，涉及絕對值與算術平方根、平方的非負性，是重要考點，掌握相關知識是解題

關鍵.

【典例4］被開方數(shù)每擴大100倍，其算術平方根就擴大倍.

【答案】10

【解析】

略

考法04解方程

【典例5】解方程：x2-169=0

【答案】占=13,%=-13

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義解方程即可.

【詳解】

x2-169=0

x2=169

/.xx=13,x2=—13

【點睛】

本題考查了根據(jù)平方根解方程，掌握平方根的定義是解題的關鍵.平方根：如果一個數(shù)的平方等于。，那么

這個數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術平方根.

【即學即練】求方程中x的值(x-1)2-16=0

【答案】尤=5或工=-3

【解析】

【分析】

根據(jù)平方根的定義解方程即可，平方根：如果N=a,則x叫做。的平方根，記作“士右”(。稱為被開方數(shù))

【詳解】

解：(x-1)2-16=0

x-l=±V16

x-1=4或x-1=-4

解得x=5或％=-3

【點睛】

本題考查了根據(jù)平方根的定義解方程，掌握平方根的定義是解題的關鍵.

【即學即練】求下列式子中的x值：4(1+X)2=49.

【答案】x5或x=—9.

22

【解析】

【分析】

利用平方根解方程即可得.

【詳解】

解：4(1+無＞=49,

(1+4=1,

7、7

1+%=—或1+%=——，

22

5f9

x—或x=

22

【點睛】

本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根是解題關鍵.

考法05立方根

【典例6】(1)一般地，如果,那么這個數(shù)叫做a的立方根或；數(shù)a的立方根記為

：在"\[a"中，a是,3是；

(2)正數(shù)的立方根是；負數(shù)的立方根是;0的立方根是.

都有立方根.

【答案】(1)一個數(shù)的立方等于a,三次方根，布，被開方數(shù)，根指數(shù)；(2)

正數(shù)，負數(shù)，0；任何一個數(shù)

【解析】

【分析】

根據(jù)立方根的概念可得答案.

【詳解】

⑴一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根；數(shù)a的立方根記為媯：在她

中，。是被開方數(shù)，3是根指數(shù)；

⑵正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0.任何一個數(shù)都有立方根.

故答案為：①一個數(shù)的立方等于a,②三次方根，③媯，④被開方數(shù)，⑤根指數(shù)；⑥正數(shù)，⑦負數(shù),

⑧0,⑨任何一個數(shù).

【點睛】

本題考察了立方根的概念，牢記概念填空即可.

【即學即練】計算：VZ125=.

【答案】-5

【解析】

【分析】

由題意直接根據(jù)立方根的性質(zhì)即可進行分析求值.

【詳解】

解：=^/（-5）3=-5.

故答案為：-5.

【點睛】

本題考查立方根求值，熟練掌握立方根的性質(zhì)V7=a是解題的關鍵.

【即學即練】計算：（1）^27=；（2）；（3）-3^1=；（4）

']+哉=;（5）34x45x25=;（6）+心=；（7）

.

【答案】3Yf30-2.52.3

425

【解析】

【分析】

（1）直接利用立方根的定義即可求解；

（2）直接利用立方根的定義即可求解；

（3）直接利用立方根的定義即可求解；

（4）直接利用立方根的定義即可求解；

（5）直接利用立方根的定義即可求解；

（6）利用算術平方根和立方根的定義即可求解；

（7）利用算術平方根和立方根的定義即可求解.

【詳解】

解：(1)：33=27,

AV27=3;

(5)W24x45x25=27000,

,/303=27000，

二127000=30;

(6)V025+^^27=0.5+(-3)=-2.5：

(7)7^09-^=0.3-(-2)=0.3+2=2.3.

故答案為：3,,30,—2.5,2.3.

425

【點睛】

本題考查立方根和算術平方根.熟練掌握立方根和算術平方根的定義是解題關鍵.

【典例7】已知打禿=1.558,方=-15.58,貝匕=.

【答案】-3780

【解析】

【分析】

由題意依據(jù)當被開方數(shù)的小數(shù)點每移動3位，則開方的結(jié)果小數(shù)點向相同方向移動一位，因為15.58是1.558

的小數(shù)點向右移動了1位，由此求出y.

【詳解】

解：VVT78=1.558,#7=-15.58,

；.y=-3780.

故答案為：-3780.

【點睛】

本題主要考查立方根中小數(shù)點的移動數(shù)位與被開方數(shù)之間的關系.注意掌握開立方時，被開方數(shù)的小數(shù)點

每移動3位，則開方的結(jié)果小數(shù)點移動一位.

【即學即練】10.002。0。260;V0^02?0.2714；^02-0.5848;^2~1.260;^20?2.714;^200-

#2000x.

【答案】5.848,12.60

【解析】

【分析】

根據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點向右每移3位，立方根的小數(shù)點向右移1位，據(jù)此可得答案.

【詳解】

解：：唬'內(nèi)0.5848,

二版麗。5.848;

:蚯“260,

42000/2.60,

故答案為:5.848,12.60.

【點睛】

本題主要考查立方根，解題的關鍵是掌握被開方數(shù)小數(shù)點向右每移3位，立方根的小數(shù)點向右移1位.

【典例8】求下列各式中x的值：

27￡=64;

【答案】x=14*

【解析】

【分析】

把原方程化為d=匚，再利用立方根的含義解方程即可；

【詳解】

解：27J?=64

「竺

27

解得：x=g4

【點睛】

本題考查的是利用立方根的含義與平方根的含義解方程，掌握"立方根與平方根的含義"是解本題的關鍵.

【即學即練】求下列各式中的X的值(x-0.7)3=0.027.

【答案】尤=1

【解析】

【分析】

根據(jù)立方根解方程即可.

(X-0.7)3=0.027

%—0.7=0.3

:.x=l

【點睛】

本題考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵.平方根：如果一個數(shù)

的平方等于那么這個數(shù)就叫。的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術平方根.立方根：如果一

個數(shù)的立方等于那么這個數(shù)叫做。的立方根.

【即學即練】求下列各式中的尤，

27+(1-2X)3=0

【答案】x=2

【解析】

【分析】

方程變形后，利用立方根定義開立方即可求出x的值.

解：方程變形得：(1-2x)3=-27,

開立方得：L2x=-3,

解得：x=2.

【點睛】

此題考查了平方根和立方根的定義，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵.

【即學即練】求下列各式中的X：2(X+1)3=-16

【答案】x=-3.

【解析】

【分析】

先求得(X+1)3的值，然后依據(jù)立方根的定義列方程求解即可.

解：V2(x+1)3=-16,

(x+1)3=-8.

.*.x+l=-2,

解得x=-3.

【點睛】

本題主要考查的是立方根、平方根，熟記立方根及平方根的定義是解題的關鍵.

【即學即練】已知2。-1的算術平方根是3,3a+6-4的立方根是2,求3al的值.

【答案】18

【解析】

【分析】

利用平方根，立方根定義求出。與6的值，即可求出所求.

【詳解】

解：：2a-1的算術平方根是3,3a+6-4的立方根是2,

2a-l=9,3。+6-4=8,

解得：。=5,b=-3,

3a-b=lS.

【點睛】

此題考查了立方根，以及算術平方根，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關鍵.

【即學即練】若我口與喬方互為相反數(shù)，且立0,尸0,求一的值.

【答案-】43

2

【解析】

【分析】

根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，可得方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)變形.

【詳解】

由題意可得：N3y-1+)1-2x=0,即3y—1+1—2x=0,

/.3y=2x,