1《建筑力學(xué)》

——4平面圖形的幾何性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容4.1

形心坐標(biāo)和靜矩的計(jì)算4.2慣性矩、極慣性矩、慣性積的計(jì)算在建筑力學(xué)和建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，經(jīng)常要用到與截面有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓桿的橫截面面積A,圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的抗扭截面系數(shù)Ip等都與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度有關(guān)。在桿件彎曲等其他問題的計(jì)算中，還將遇到平面圖形的另外一些幾何量，如形心、靜矩、慣性矩和抗彎截面系數(shù)等。4.1.1平面圖形的形心⒈形心的概念工程中桿件的截面是平面圖形，平面圖形的幾何中心，稱為形心。⒉桿件橫截面的類型及形心的位置⑴具有兩個(gè)以上對(duì)稱軸的平面圖形對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心4.1

形心坐標(biāo)和靜矩的計(jì)算⑵具有兩個(gè)對(duì)稱軸的平面圖形⑴具有兩個(gè)以上對(duì)稱軸的平面圖形對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心軸的交點(diǎn),形心軸的交點(diǎn),形心軸的交點(diǎn),形心⑵具有兩個(gè)對(duì)稱軸的平面圖形軸的交點(diǎn),形心軸的交點(diǎn),形心軸的交點(diǎn),形心⑶只有一個(gè)對(duì)稱軸的平面圖形形心在對(duì)稱軸上形心在對(duì)稱軸上4.1.2平面圖形形心坐標(biāo)和靜矩的計(jì)算⒈靜矩的概念任意平面圖形上所有微面積dA,與其坐標(biāo)y(或z)乘積的總和,稱為該平面圖形對(duì)z軸(或y軸)的靜矩(又稱為面積矩)。靜矩的幾何意義：衡量圖形的形心相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。⒉簡(jiǎn)單圖形靜矩的計(jì)算⑴圓形根據(jù)靜矩的定義,通過積分計(jì)算可求得：上式表明,圓形的面積A與其形心坐標(biāo)yC(或zC)的乘積,即是圓形對(duì)z軸(或y軸)的靜矩。⑵矩形根據(jù)靜矩的定義,通過積分計(jì)算可求得：同理:即矩形的面積A與其形心坐標(biāo)yC(或zC)的乘積,就是矩形對(duì)z軸(或y軸)的靜矩。⒉簡(jiǎn)單圖形靜矩的計(jì)算綜上所述，簡(jiǎn)單圖形的面積A與其形心坐標(biāo)yC(或zC)的乘積,稱為簡(jiǎn)單圖形對(duì)z軸(或y軸)的靜矩,即當(dāng)坐標(biāo)軸通過截面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，若截面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則說明該軸一定通過截面圖形的形心。⒉簡(jiǎn)單圖形靜矩的計(jì)算⒊組合圖形形心坐標(biāo)和靜矩的計(jì)算組合圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成的圖形，根據(jù)靜矩的定義可知，組合圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的靜矩等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸靜矩的代數(shù)和。假設(shè)組合圖形的面積為A,形心坐標(biāo)為yC、zC,則根據(jù)簡(jiǎn)單圖形靜矩的結(jié)論,可得:組合圖形的形心坐標(biāo)：【例4-1】求圖示T形截面的形心坐標(biāo)以及截面對(duì)z軸和y軸的靜矩(圖中尺寸單位為mm)。解：將截面分為兩個(gè)矩形。計(jì)算組合圖形形心坐標(biāo)：【例4-1】求圖示T形截面的形心坐標(biāo)以及截面對(duì)z軸和y軸的靜矩(圖中尺寸單位為mm)。解：將截面分為兩個(gè)矩形。計(jì)算組合圖形形心坐標(biāo)：求T形截面對(duì)z軸和y軸的靜矩：4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒈慣性矩的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)z(或y)平方乘積的總和,稱為該平面圖形對(duì)z軸(或y軸)的慣性矩:慣性矩恒為正值,常用單位為m4或mm4。慣性矩的幾何意義：衡量圖形面積相對(duì)于指定坐標(biāo)軸間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒉極慣性矩的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離ρ平方乘積的總和,稱為該平面圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩:極慣性矩恒為正值,常用單位為m4或mm4。極慣性矩的幾何意義：衡量圖形面積相對(duì)于指定坐標(biāo)原點(diǎn)之間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒊慣性積的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)z、y乘積的總和,稱為該平面圖形對(duì)z、y兩軸的慣性積:慣性積為代數(shù)值,可為正、可為負(fù)、也可為零。在兩坐標(biāo)軸中，只要其中一個(gè)是平面圖形的對(duì)稱軸，則該平面圖形對(duì)該兩軸的慣性積一定等于零。常用單位為m4或mm4。慣性積的幾何意義：衡量圖形面積相對(duì)于指定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒋慣性半徑的定義在工程中為了計(jì)算方便，將平面圖形的慣性矩表示為圖形面積與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即式中,iz、iy分別稱為平面圖形對(duì)z、y軸的慣性半徑。4.2.2簡(jiǎn)單圖形對(duì)形心軸的慣性矩、極慣性矩、慣性積的計(jì)算圓形4.2.2簡(jiǎn)單圖形對(duì)形心軸的慣性矩、極