高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考第一次模擬考試卷（上海A卷）數(shù)學一、填空題1．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則____________．〖答案〗5〖解析〗因為，所以，故.故〖答案〗為：.2．若集合，，則________〖答案〗或〖解析〗或，或，或.故〖答案〗為：或.3．函數(shù)的定義域為___．〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，則，解得，所以，所以函數(shù)的定義域為．故〖答案〗為：．4．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件為“4個人去的景點不完全相同”，事件為“小趙獨自去一個景點”，則______.〖答案〗〖解析〗小趙獨自去一個景點,則有4個景點可選,其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇,可能性為種，所以小趙獨自去一個景點的可能性為種,因為4個人去的景點不完全相同的可能性為種,所以.故〖答案〗為：.5．代數(shù)式的展開式的常數(shù)項是__________(用數(shù)字作答)〖答案〗3〖解析〗，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由，可得，因此，的展開式的常數(shù)項為.故〖答案〗為：.6．若等差數(shù)列滿足，，則當n＝____時，的前n項和最大．〖答案〗8〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可得＞0，∴＞0，又＜0，∴＜0，∴等差數(shù)列的前8項為正數(shù)，從第9項開始為負數(shù)，∴等差數(shù)列的前8項和最大，故〖答案〗為：8．7．已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗，而若在上無零點，則，，而時，，有，，則或或，解得或，故〖答案〗為：8．已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗.〖解析〗，，故只需在上恒成立，則在上恒成立，其中在上恒成立，故，所以，故〖答案〗為：.9．已知雙曲線的實軸為，對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，則雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值為___________；〖答案〗〖解析〗對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，當點位于原點時，則要，才能滿足要求，所以，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，因為，則雙曲線的兩條漸近線夾角為，故〖答案〗為：10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù),在是增函數(shù),由得,所以,解方程得,令,則,所以是方程的兩根,由韋達定理得,解得,則不等式即,設(shè)，，，故，所以單調(diào)遞增，且，故解集為.故〖答案〗為：.11．如圖，在長方體中，分別為的中點.點在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長度的最小值是______?〖答案〗〖解析〗如圖，連結(jié)，∵分別為的中點，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴點在直線上，在中，，∴當時，線段的長度最小，最小值為＝.故〖答案〗為：.12．在空間直角坐標系中，三元二次方程所對應的曲面統(tǒng)稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應用廣泛．已知點是二次曲面上的任意一點，且，，，則當取得最小值時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，帶入可得：，而，，利用基本不等式，當，即取得等號，此時，即，綜上可知，當取得最小值時，，帶入第二個式子可得，，即，于是，設(shè)，，故當時，遞增，時，遞減，；于是原不等式轉(zhuǎn)化為時，恒成立，即在時恒成立，設(shè)，于是，故在時單調(diào)遞增，，故，即可.故〖答案〗為：二、單選題13．設(shè)隨機變量，，其中，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因為隨機變量，所以此正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因為，所根據(jù)對稱性可得，所以B正確；由，，所以與不一定相等，所以A錯誤；由，所以C錯誤；由或，所以D錯誤．故選：B．14．下列命題正確的是（

）A．若，則B．若函數(shù)不是偶函數(shù)，則對其定義域內(nèi)每個實數(shù)，都有C．函數(shù)，的最小值為D．若，則是等比數(shù)列〖答案〗A〖解析〗對于A選項，，則，，A選項正確；對于B選項，取，當時，，，此時，該函數(shù)不是偶函數(shù)，但，B選項錯誤；對于C選項，當時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，但，故等號不成立，所以，函數(shù)，的最小值不是，C選項錯誤；對于D選項，對任意的，，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，D選項錯誤.故選：A.15．已知正方形的邊長為4，點、分別在邊、上，且，，若點在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖，建立平面直角坐標系，則，，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，則，，知，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即.綜上可得，，故選：C.16．雙曲線繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個命題，其中真命題的個數(shù)為（

）①f（x）是奇函數(shù)；②f（x）的圖象過點或；③f（x）的值域是；④函數(shù)y＝f（x）－x有兩個零點．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個〖答案〗C〖解析〗雙曲線關(guān)于坐標原點對稱，可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故①正確；雙曲線的頂點為，漸近線方程為，可得的圖象漸近線為和，圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象過點或，由圖象的對稱性可得，逆時針旋轉(zhuǎn)60度，位于一、三象限，按順時針旋轉(zhuǎn)60度，位于二、四象限；故②正確；逆時針旋轉(zhuǎn)60度，位于一、三象限，由圖象可得頂點為或，不是極值點，則的值域不是，順時針旋轉(zhuǎn)60度，位于二、四象限，由圖象的對稱性知的值域不是，故③錯誤；當?shù)膱D象位于一、三象限時，的圖象與直線有2個交點，函數(shù)有兩個零點，當?shù)膱D象位于二、四象限時，的圖象與直線沒有交點，函數(shù)沒有零點，故④錯誤，故選；C.三、解答題17．如圖，三棱臺ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.（1）求證：AB⊥CF；（2）求直線BD與平面ABC所成角的正弦值.（1）證明：延長AD、BE、CF交于點P，∵四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.（2）解：由AC＝2AB＝2DF，可知D為PA的中點，設(shè)AB＝DF＝a，則，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，過點P作PM⊥BC于點M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D為PA的中點，∴D到平面ABC的距離，∴直線BD與平面ABC所成角的正弦值為.18．中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足．（1）當A為何值時，函數(shù)取到最大值，最大值是多少？（2）若等于邊AC上的高h，求的值．解：（1）由得：，因為，所以，，因為，所以，所以當，即時，取得最大值，最大值為2；（2）由（1）知：，由三角形面積公式得：，從而，由正弦定理得：，因為，所以，由和差化積得：，因為，所以，故，解得：或，因為，所以.19．疫情防控期間，某小微企業(yè)計劃采用線下與線上相結(jié)合的銷售模式進行產(chǎn)品銷售運作．經(jīng)過測算，若線下銷售投入資金x（萬元），則可獲得純利潤（萬元）；若線上銷售投入資金x（萬元），則獲得純利潤（萬元）．（1）當投入線下和線上的資金相同時，為使線上銷售比線下銷售獲得的純利潤高，求投入線下銷售的資金x（萬元）的取值范圍；（2）若該企業(yè)籌集了用于促進銷售的資金共30萬元，如果全部用于投入線下與線上銷售，問：該企業(yè)如何分配線下銷售與線上銷售的投入資金，可以使銷售獲得的純利潤最大？并出求最大的純利潤．解：（1）當時，由得或，所以

當時，由得，所以

綜上所述，投入線下的資金x（萬元）的取值范圍為（2）設(shè)投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），所以

當即時，總利潤易得在區(qū)間上嚴格遞減，在區(qū)間上嚴格遞增又

所以當時，當即時，總利潤緣上所運，投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資金為20萬元時，純利潤最大，最大值為62.5萬元．20．已知中心在原點，左焦點為的橢圓的左頂點為，上頂點為，到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線，使其交橢圓于、兩點，交直線于點.問：是否存在這樣的直線，使是、的等比中項？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；（3）若橢圓方程為，橢圓方程為：，則稱橢圓是橢圓的倍相似橢圓.已知是橢圓的倍相似橢圓，若直線與兩橢圓、交于四點（依次為、、、），且，試研究動點的軌跡方程.（1）解：設(shè)橢圓方程為，所以直線方程為，即，所以，點到直線距離為，又，解得：，，故橢圓方程為.（2）解：當直線與軸重合時，，而，所以，不合乎題意；若存在直線，使是、的等比中項，則可設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，所以，，解得，記、、，由韋達定理可得，在直線的方程中，令，可得，即，因為，即，則，所以，，解得，滿足，故存在直線，使是、的等比中項，其方程為，即.（3）解：橢圓的倍相似橢圓的方程為，設(shè)、、、各點坐標依次為、、、，聯(lián)立可得，則，此時，，所以，，聯(lián)立可得，，所以，，，所以，，因為，可得線段、的中點相同，所以，由，所以，可得，∴，滿足，，故動點的軌跡方程為.21．已知函數(shù)且為常數(shù)）.（1）當，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有2個極值點，求的取值范圍；（3）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值；（2）函數(shù)的定義域為，，設(shè)，，由，得，列表如下：減極小值增當時，，當時，，做出函數(shù)與的圖像，如下圖，當時，直線與的圖像有2個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標分別為，且，有圖可知，當或時，，當時，，此時函數(shù)有2個極值點，所以的取值范圍是；（3）不等式對任意的恒成立，等價于對任意的

恒成立，所以對任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則，對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，，故存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因為，則，因為，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，所以，故.2023年高考第一次模擬考試卷（上海A卷）數(shù)學一、填空題1．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則____________．〖答案〗5〖解析〗因為，所以，故.故〖答案〗為：.2．若集合，，則________〖答案〗或〖解析〗或，或，或.故〖答案〗為：或.3．函數(shù)的定義域為___．〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義，則，解得，所以，所以函數(shù)的定義域為．故〖答案〗為：．4．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件為“4個人去的景點不完全相同”，事件為“小趙獨自去一個景點”，則______.〖答案〗〖解析〗小趙獨自去一個景點,則有4個景點可選,其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇,可能性為種，所以小趙獨自去一個景點的可能性為種,因為4個人去的景點不完全相同的可能性為種,所以.故〖答案〗為：.5．代數(shù)式的展開式的常數(shù)項是__________(用數(shù)字作答)〖答案〗3〖解析〗，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由，可得，因此，的展開式的常數(shù)項為.故〖答案〗為：.6．若等差數(shù)列滿足，，則當n＝____時，的前n項和最大．〖答案〗8〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可得＞0，∴＞0，又＜0，∴＜0，∴等差數(shù)列的前8項為正數(shù)，從第9項開始為負數(shù)，∴等差數(shù)列的前8項和最大，故〖答案〗為：8．7．已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗，而若在上無零點，則，，而時，，有，，則或或，解得或，故〖答案〗為：8．已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗.〖解析〗，，故只需在上恒成立，則在上恒成立，其中在上恒成立，故，所以，故〖答案〗為：.9．已知雙曲線的實軸為，對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，則雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值為___________；〖答案〗〖解析〗對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，當點位于原點時，則要，才能滿足要求，所以，設(shè)漸近線與x軸的夾角為，則，因為，則雙曲線的兩條漸近線夾角為，故〖答案〗為：10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù),在是增函數(shù),由得,所以,解方程得,令,則,所以是方程的兩根,由韋達定理得,解得,則不等式即,設(shè)，，，故，所以單調(diào)遞增，且，故解集為.故〖答案〗為：.11．如圖，在長方體中，分別為的中點.點在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長度的最小值是______?〖答案〗〖解析〗如圖，連結(jié)，∵分別為的中點，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴點在直線上，在中，，∴當時，線段的長度最小，最小值為＝.故〖答案〗為：.12．在空間直角坐標系中，三元二次方程所對應的曲面統(tǒng)稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應用廣泛．已知點是二次曲面上的任意一點，且，，，則當取得最小值時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，帶入可得：，而，，利用基本不等式，當，即取得等號，此時，即，綜上可知，當取得最小值時，，帶入第二個式子可得，，即，于是，設(shè)，，故當時，遞增，時，遞減，；于是原不等式轉(zhuǎn)化為時，恒成立，即在時恒成立，設(shè)，于是，故在時單調(diào)遞增，，故，即可.故〖答案〗為：二、單選題13．設(shè)隨機變量，，其中，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因為隨機變量，所以此正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因為，所根據(jù)對稱性可得，所以B正確；由，，所以與不一定相等，所以A錯誤；由，所以C錯誤；由或，所以D錯誤．故選：B．14．下列命題正確的是（

）A．若，則B．若函數(shù)不是偶函數(shù)，則對其定義域內(nèi)每個實數(shù)，都有C．函數(shù)，的最小值為D．若，則是等比數(shù)列〖答案〗A〖解析〗對于A選項，，則，，A選項正確；對于B選項，取，當時，，，此時，該函數(shù)不是偶函數(shù)，但，B選項錯誤；對于C選項，當時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，但，故等號不成立，所以，函數(shù)，的最小值不是，C選項錯誤；對于D選項，對任意的，，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，D選項錯誤.故選：A.15．已知正方形的邊長為4，點、分別在邊、上，且，，若點在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖，建立平面直角坐標系，則，，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，則，，知，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即，當在上時，設(shè)，，，當時，，當時，，即.綜上可得，，故選：C.16．雙曲線繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個命題，其中真命題的個數(shù)為（

）①f（x）是奇函數(shù)；②f（x）的圖象過點或；③f（x）的值域是；④函數(shù)y＝f（x）－x有兩個零點．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個〖答案〗C〖解析〗雙曲線關(guān)于坐標原點對稱，可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故①正確；雙曲線的頂點為，漸近線方程為，可得的圖象漸近線為和，圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象過點或，由圖象的對稱性可得，逆時針旋轉(zhuǎn)60度，位于一、三象限，按順時針旋轉(zhuǎn)60度，位于二、四象限；故②正確；逆時針旋轉(zhuǎn)60度，位于一、三象限，由圖象可得頂點為或，不是極值點，則的值域不是，順時針旋轉(zhuǎn)60度，位于二、四象限，由圖象的對稱性知的值域不是，故③錯誤；當?shù)膱D象位于一、三象限時，的圖象與直線有2個交點，函數(shù)有兩個零點，當?shù)膱D象位于二、四象限時，的圖象與直線沒有交點，函數(shù)沒有零點，故④錯誤，故選；C.三、解答題17．如圖，三棱臺ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.（1）求證：AB⊥CF；（2）求直線BD與平面ABC所成角的正弦值.（1）證明：延長AD、BE、CF交于點P，∵四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.（2）解：由AC＝2AB＝2DF，可知D為PA的中點，設(shè)AB＝DF＝a，則，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，過點P作PM⊥BC于點M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D為PA的中點，∴D到平面ABC的距離，∴直線BD與平面ABC所成角的正弦值為.18．中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足．（1）當A為何值時，函數(shù)取到最大值，最大值是多少？（2）若等于邊AC上的高h，求的值．解：（1）由得：，因為，所以，，因為，所以，所以當，即時，取得最大值，最大值為2；（2）由（1）知：，由三角形面積公式得：，從而，由正弦定理得：，因為，所以，由和差化積得：，因為，所以，故，解得：或，因為，所以.19．疫情防控期間，某小微企業(yè)計劃采用線下與線上相結(jié)合的銷售模式進行產(chǎn)品銷售運作．經(jīng)過測算，若線下銷售投入資金x（萬元），則可獲得純利潤（萬元）；若線上銷售投入資金x（萬元），則獲得純利潤（萬元）．（1）當投入線下和線上的資金相同時，為使線上銷售比線下銷售獲得的純利潤高，求投入線下銷售的資金x（萬元）的取值范圍；（2）若該企業(yè)籌集了用于促進銷售的資金共30萬元，如果全部用于投入線下與線上銷售，問：該企業(yè)如何分配線下銷售與線上銷售的投入資金，可以使銷售獲得的純利潤最大？并出求最大的純利潤．解：（1）當時，由得或，所以

當時，由得，所以

綜上所述，投入線下的資金x（萬元）的取值范圍為（2）設(shè)投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），所以

當即時，總利潤易得在區(qū)間上嚴格遞減，在區(qū)間上嚴格遞增又

所以當時，當即時，總利潤緣上所運，投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資