課題：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一、平面1.平面的表示：為了表示平面，我們常把希臘字母、、等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面、平面、平面等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)；也可用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱，如平面、平面或者平面等；2.用符號(hào)語言來表達(dá)下列圖形的位置關(guān)系：圖①中,點(diǎn)在直線上,記作；點(diǎn)不在直線上,記作

圖②中,點(diǎn)在平面內(nèi),記作；點(diǎn)不在平面內(nèi),記作

圖③中,直線在平面內(nèi),記作

圖④中,直線不在平面內(nèi),記作；直線不在平面內(nèi),記作

3.平面的基本公理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語言：。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。三個(gè)推論：①經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面②經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面③經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（兩個(gè)平面的交線）符號(hào)語言：知識(shí)點(diǎn)二、空間中直線、平面的位置關(guān)系1.概念：異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍）2.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形）3.位置關(guān)系：公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語言：直線與平面的位置關(guān)系有三種：5.平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：【典型例題】【例1】已知下列命題：①若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則；②若直線在平面外，則；③若直線，則；④若直線，那么直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A試題分析：①當(dāng)直線時(shí)，直線也可以平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，故①是假命題；②直線與平面的位置關(guān)系有三種，故②也是假命題；③直線則或故③也是假命題；由③知，直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，所以=4\*GB3④是真命題．故選A．【例2】已知是兩相異平面，是兩相異直線，則下列錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】在A中，若，則由直線與平面垂直的判定定理得，所以是正確的；在B中，若，則由平面與平面平行的判定定理得，所以直正確的；在C中，若，則由平面與平面垂直的判定定理得，所以是正確的；在D中，若，則與平行或異面，故是錯(cuò)誤的，故選D.【例3】已知，表示兩條不同的直線，，，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①，，，則；②，，，則；③，，，則；④，，，則其中正確命題的序號(hào)為（）A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】C【解析】①，，，則可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正確；②，則與相交、平行或異面，故②不正確；③若，則，③正確；④，，可知與共線的向量分別是與的法向量，所以與所成二面角的平面為直角，，故④正確，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).【例4】設(shè),是兩條不同的直線，,是兩個(gè)不同的平面.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】由是兩條不同的直線，,是兩個(gè)不同的平面，知：在中，若，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，若，則，所以，故正確；在中，若，則與相交,平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，則與相交,平行或,故錯(cuò)誤。故答案選【舉一反三】1.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）．【答案】③④解：∵A、M、C、C1四點(diǎn)不共面∴直線AM與CC1是異面直線，故①錯(cuò)誤；同理，直線AM與BN也是異面直線，故②錯(cuò)誤．同理，直線BN與MB1是異面直線，故③正確；同理，直線AM與DD1是異面直線，故④正確；故答案為：③④2．已知表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是A.若∥，，則∥B.若，，則∥C.若，，則∥D.若，∥，則【答案】D【解析】對(duì)于，當(dāng)中，不成立，對(duì)于，當(dāng)中，不成立，對(duì)于，當(dāng)中，不成立，故答案選3．設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題：①若m⊥n,m⊥α，則n//α；②若α//β,m⊥α，則m⊥β；③m⊥β,α⊥β，則m//α；④若m//α,n//α，則m//n.其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】①存在反例n?α，所以錯(cuò)誤；②正確；③存在反例m?α，所以錯(cuò)誤；④直線m,n可能相交或異面，所以錯(cuò)誤。所以正確的是②，個(gè)數(shù)為1，故選B。點(diǎn)睛：空間的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷題型，可以通過現(xiàn)實(shí)中的動(dòng)手操作來尋找是否存在反例情況來判斷。比如①中，直線n可以在滿足m⊥n的情況下上下移動(dòng)，得到反例情況n?α，所以錯(cuò)誤。4．已知是互不垂直的異面直線，平面分別經(jīng)過直線，則下列關(guān)系中不可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若m⊥β，則m垂直于面β內(nèi)的任意一條直線，則m⊥n，與已知條件矛盾

故選C5．在空間中，下列命題正確的是（）．A.如果直線平面，直線直線，那么直線平面B.如果平面平面，那么平面內(nèi)的任一直線平面C.如果平面與平面的交線為，平面內(nèi)的直線直線，那么直線平面D.如果平面內(nèi)的兩條直線都平行于平面，那么平面平面【答案】B【解析】項(xiàng)錯(cuò)誤，可能平行于平面，項(xiàng)錯(cuò)誤，可能僅與平面相交，項(xiàng)錯(cuò)誤，平面內(nèi)兩條相交直線都平行于，則有兩平面平行，項(xiàng)正確，故選．6．對(duì)于平面α和異面直線m，n，下列命題中真命題是（）．A.存在平面α，使m⊥α，n⊥αB.存在平面α，使m?α，n?αC.存在平面α，滿足m⊥α，n∥αD.存在平面α，滿足m∥α，n∥α【答案】D【解析】A選項(xiàng)，如果存在平面α，使m⊥α，n⊥α，則m∥n，與m，n是異面直線矛盾，故A不成立；B選項(xiàng)，如果存在平面α，使m?α，則m，n共面，與m，n是異面直線矛盾，故B不成立；C選項(xiàng)，存在平面α，滿足m⊥α，n∥α，則m⊥n，因?yàn)閙，n是任意兩條異面直線，不一定滿足m⊥n，故C不成立；D選項(xiàng)，存在平面α，使m∥α，n∥α，故D成立．綜上所述，故選D．【課堂鞏固】1．若、是兩個(gè)不重合的平面，①如果平面內(nèi)有兩條直線、都與平面平行，那么//；②如果平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面平行，那么//；③如果直線與平面和平面都平行，那么//；④如果平面內(nèi)所有直線都與平面平行，那么//，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B試題分析：若，則平面內(nèi)所有平行于的直線都與平面，故①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；若，且，則與平面，平面都平行，故，③錯(cuò)誤；若平面內(nèi)所有直線都與平面平行，則平面內(nèi)存在兩條相交直線都與平行，于是，故④正確．故選：B．2．平面α、β和直線m，給出條件，為使應(yīng)選擇下面四個(gè)選項(xiàng)中的條件（）A、①⑤B、①④C、②⑤D、③⑤【答案】B試題分析：∵m?α，α∥β，∴m∥β．故①④?m∥β．故選B3．以下命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）①若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線；②若直線在平面外，則；③若直線，，則；④若直線，，則平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.A．1個(gè)B．2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)【答案】A試題分析：①③直線有可能含于；②直線可能和平面相交；④是正確的，故選A.4．已知立方體，分別是棱中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面平行的有（）條A．0B．2C．4D．6【答案】D【解析】試題分析：連接，∵，且，∴四點(diǎn)共面．由，，，，可得平面與平面平行，所以平面內(nèi)的每條直線都符合條件，選D．5．不同直線和不同平面，給出下列命題：①；②；③；④，寫出所有假命題的序號(hào)為．【答案】①②③④試題分析:由題設(shè)①中的直線可能異面；②中的直線會(huì)在平面中；③中的兩直線可以共面；④中的兩直線可以相交和異面．故應(yīng)填答案①②③④．6．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中，正確的命題是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】對(duì)于A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知，對(duì)；對(duì)于B：則或或故B錯(cuò)；對(duì)于C：則或或異面故C錯(cuò)；對(duì)于D：或異面故D錯(cuò)故選A7．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則或【答案】C【解析】對(duì)于A：若，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，A對(duì)；對(duì)于B：若，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，B對(duì)；對(duì)于C：若，則或與異面，故C錯(cuò)；對(duì)于D：若，則或，D對(duì)；故選C8．已知平面平面，直線，直線，且與相交，則和的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.上述三種都有可能【答案】C【解析】若與平行，因?yàn)樗耘c與相交矛盾所以A錯(cuò)；若和相交，因?yàn)橹本€直線，平面平面，則和都和相交且在同一點(diǎn)處，這與矛盾，所以B錯(cuò)；因?yàn)閮蓷l直線的位置關(guān)系有平行，相交，異面這三種情況，故和只能異面故選C9．若、n是互不相同的空間直線，α、β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若則D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，由可得∥或與異面，故A不正確；對(duì)于B，由可得與的位置關(guān)系有相交、平行、在內(nèi)三種，故B不正確；對(duì)于C，由可得與的位置關(guān)系不確定，故C不正確；對(duì)于D，由，設(shè)經(jīng)過的平面與相交于直線，則∥，又因?yàn)?，故，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選D.10．已知m,n是不重合的直線，α,β是不重合的平面，有下列命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若m∥③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β；；④若其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】①若m?α，n∥α，則m與n平行或異面，故不正確；②若m∥α，m∥β，則α與β可能相交或平行，故不正確；③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β，m也可能在平面內(nèi)，故不正確；④若m⊥α，m⊥β，則α∥β，垂直與同一直線的兩平面平行，故正確故選：B【課后練習(xí)】正確率：_____________1．如圖是正方體的平面展開圖．在這個(gè)正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A．①②③④B．②④C．②③④D．②③【答案】A顯然①②正確；③CN與BM成60°角，即∠ANC=60°,正確；④DM⊥平面BCN，所以④正確；故選A．2．已知直線l,m，平面，下列命題正確的是（）A．l//,l//B．l//,m//,l,m//C．l//m,l,m//D．l//,m//,l,m,lm=M//【答案】D試題分析：由題意得，對(duì)于A中，與可能相交，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于B中，，如果，可能相交，故是錯(cuò)誤的；對(duì)于C中，與可能相交，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于D中，滿足面面平行的判定定理，所以，是正確的，故選D．3．下列結(jié)論正確的是（）A．若直線平面，直線平面，則B．若直線平面，直線平面，則C．若兩直線與平面所成的角相等，則D．若直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則【答案】A試題分析：A中，垂直于同一直線的兩平面互相平行，所以直線直線平面，直線平面，則，正確；B中，若直線平面，直線平面，則兩平面可能相交或平行，故B錯(cuò)；C中，若兩直線與平面所成的角相等，則可能相交、平行或異面，故C錯(cuò)；D中，若直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面可能相交或者平行，故D錯(cuò)，故選A．4．以下命題（其中表示直線，表示平面）：①若，，則；②若，，則；③若，，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】A試題分析：若，，則或，故①不正確；若，，則或異面，故②不正確；若，，則或相交，故③不正確．故選A．5．E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，則AC與平面EFGH的位置關(guān)系是【答案】平行【解析】解：利用三角形的中位線平行于底邊，我們可以得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結(jié)論。6．若平面//平面，平面平面=直線m，平面平面=直線n，則m與n的位置關(guān)系是【答案】平行【解析】解：如果第三個(gè)平面都與兩個(gè)平行平面相交，則交線平行，這是面面平行的性質(zhì)定理。7．已知、是兩條不重合的直線，、、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若；②若，則③若；④若；其中正確的命題是________【答案】③④【解析】試題分析：①若，則可能平行或異面，②若，則可能或或，可見①②是錯(cuò)誤的，③若正確，④若正確.8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱C1D1，C1C的中點(diǎn)．給出以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與直線C1C相交；②直線AM與直線DD1異面；③直線AM與直線BN平行；④直線BN與直線MB1異面．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（填入所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】②④【解析】試題分析：由異面直線判定定理知：①直線AM與直線C1C異面；②直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面，因?yàn)橹本€BN與直線AE平行,（E為DD1中點(diǎn)），所以③直線AM與直線BN異面．9．在下列命題中，正確的是（）A.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行B.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行C.平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行D.平行于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行【答案】B【解析】對(duì)于：垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交，可能平行，故不正確；對(duì)于：由線面垂直的性質(zhì)定理可得垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行，故正確；：平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故不正確；：平行于同一條直線的兩個(gè)平面互