專題9函數(shù)的概念

題型一對(duì)函數(shù)概念的理解

i.下列圖形中，不可能是函數(shù)圖象的是()

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)自變量工對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值，

表現(xiàn)在圖像上，用一條垂直于x軸的直線交函數(shù)圖像，至多有一個(gè)交點(diǎn).

所以D不是函數(shù)圖像.

故選：D

2.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.與g(s)=s2-2s-l

B./(x)=與g(x)=x，^

C.=：與g(x)=%

D.1(x)=gg(x)=G

【答案】AC

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：/(司=犬-2了-1的定義域?yàn)槌?，g(s)=--2”1的定義域?yàn)镽,定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相

同，是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)B：==的定義域?yàn)閧x|x<0},g(x)=xQ的定義域?yàn)閧x|xWO},定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系

不同，不是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)C：〃九)=4=1的定義域?yàn)閧x|%w。},g(x)=F=l的定義域{%|xw。},定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，

XX

是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)D：〃x)=x的定義域?yàn)镽,g(x)=J3=國(guó)的定義域?yàn)镽,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù).

故選：AC

3.有對(duì)應(yīng)法則力

Y

(1)A={0,2},8={0,1},XT,；

(2)A={—2,0,2},8={4},%一42；

(3)A=R,5={y|y>0},1一［；

x

(4)A=R,5=R,%—2x+l；

(5)A={(x,y)\x9y￡R},B=R,(x,y)—^x+y.

其中能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的有________(填序號(hào)).

【答案】⑴(4)

【解析】(1)由函數(shù)的定義知，正確;

(2)當(dāng)尤=0時(shí)，8中不存在數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤;

(3)當(dāng)x=0時(shí)，8中不存在數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤;

(4)由函數(shù)的定義知，正確；

(5)因?yàn)榧螦不是數(shù)集，故錯(cuò)誤；

故答案為：⑴(4)

4.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是.

Y

①/(x)=l,g(x)=_;

②-Jx+1,g(x)=J尤2_］；

③/(%)=冗,g(尤)=J?；

④y=EI,y=(?y；

⑤…凡g⑺仁篙.

【答案】⑤

X

【解析】對(duì)于選項(xiàng)①，：產(chǎn)1的定義域?yàn)镽,g(x)=—的定義域?yàn)?-8，0)U(0,+oo),定義域不同，不是同一函數(shù)；

X

對(duì)于選項(xiàng)②，/(x)=Jx-1?Jx+1的定義域?yàn)椋?,+co),g(x)=J1-1的定義域?yàn)?-00,-1］U［1,+00)..,.兩個(gè)函數(shù)不

是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)③，表達(dá)式不一樣，不是同一函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)④，：y=|x|的定義域?yàn)镽,>=(。)2的定義域?yàn)椋?,+<?).，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)

對(duì)于選項(xiàng)⑤，兩個(gè)函數(shù)的解析式一致，定義域是同一個(gè)集合，是同一個(gè)函數(shù)

故答案為：⑤.

題型二求解函數(shù)值

3

1.若函數(shù)了⑺滿足關(guān)系式/(尤)+2/(1-幻=-一，則/'⑵的值為()

X

335_

A.——B.—C.--D.

2222

【答案】D

3

【解析】令x=2,貝i］/(2)+2/(-l)

5,

令x=T,貝iJ/(-l)+2/(2)=3,

聯(lián)立方程可解得了(2)=1

故選：D.

2.已知〃幻=三，貝1］7(1)+/(2)+/［；］+/(3)+/［；］+/(4)+/(；)=

【答案】彳7

【解析】因?yàn)?(工”后

2

1

X)1x2+]

所以/")+/1+x2+----1----=----=1

(121+X2X2+1X2+1

1+

X

2

22

貝廳(2)+/------T+■7=1,

1+22

1+(I

32T=l，"J.

/(3)+/2+1口

1+3

1+

所以/⑴+/(2)+/+/0)+/+/(4)+/-+1+1+1=-

I22

7

故答案為：—.

3.已知/(%)=一二(元￡凡J#-2),g(x)=N+l(x￡R).

x+2

⑴求人2),g⑵的值;

(2)求人g(3))的值；

(3)作出#x),g(x)的圖象，并求函數(shù)的值域.

【答案】(1)；,5；(2)、；(3)圖見解析，"r)的值域?yàn)?-8,0)U(0,

，gCr)的值域?yàn)椤埃?(?).

【解析】(1求2)=4^=；，g(2尸22+1=5；

(2)g(3)=32+l=10,八g(3))=/(10)=而匕=:；

函數(shù)g(x)的圖象如圖:

Vi

O\X

觀察圖象得於）的值域?yàn)椋ā?O）u（o,+8）,g（x）的值域?yàn)椋?,+00）.

1

4.已知函數(shù)〃無）=+----

x+2

(1)求函數(shù)的定義域;

2

(2)求/(—3),f

(3)當(dāng)4＞一1時(shí)，求〃。），

2=半+小⑶仆）=赤++,

【答案】(1)&3,-2)(-2,y)；(2)/(-3)=-1；f

f(a-l)=Ja+2H——--.

Q+1

【解析】（1）要使函數(shù)有意義，需滿足

x+3>0

x+2/。'解得盜-3且…，

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?3,-21（-2,+0））；

(2)f(—3)=V-3+3H---------=—1,

—3+2

1底3

+=--=---1-

2+238；

3

(3)/(Q)=Ja+3H-------,

f(a-l)=Ja+2H——--.

Q+1

5.已知函數(shù)八力=/^.

(1)求〃2)+f的值;

(2)求證：/（x）+y1是定值;

+〃3)+佃11

(3)求2〃1)+〃2)+/+……+1(2017)+/+/(2018)+/的值.

120172018

【答案】（1）1;（2）證明見解析；（3）2018.

44

【解析】（1）因?yàn)椤ㄓ龋?，所以/（2）+/=--+=1.

1+X21+4

1+4

1

1+x2

1+x2

所以+口是定值.

(3)因?yàn)?=

所以7(1)+〃1)=〃2)+42=〃3)+/出=……="2018)+(/)=1

2〃1)+〃2)+犬卜〃3)+巾+……+”2017)+1部卜”2018)+1/

=2018x1=2018.

題型三函數(shù)定義域的求解

1.函數(shù)〃x)="'定義域?yàn)?)

Jx-2

A.[2,+oo)B.(2,+oo)

C.(2,3)U(3,+oo)D.[2,3)U(3,+oo)

【答案】C

(r-3)0

【解析】要使函數(shù)/(x)=3=去有意義，

y/x-2

(x-3^0,,

則<c<\,解得尤>2且xH3,

[x-2>0

所以了⑴的定義域?yàn)?2,3)u(3,E).

故選：C.

2.(1)已知>=/(無)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)/=/(/+1)的定義域；

(2)己知y=f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1],求y=/(x)的定義域；

(3)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇0,2],求函數(shù)9。)=等2的定義域.

2x-l

【答案】(1){0}；(2)[-1,1]；(3)[0,1)u(1,l].

【解析】(1)：y=/(苫2+1)中的/+1的范圍與y=/。)中的x的取值范圍相同.

■'.O<X2+1<1,

x-0,

即丫=〃爐+1)的定義域?yàn)閧0}.

(2)由題意知y=f(2x-l)中的尤

二-1<2X-1<1.

又y=f(2x-1)中2x-1的取值范圍與>=/(%)中的x的取值范圍相同，

.?.y=/(x)的定義域?yàn)閇-ML

(3)???函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇0,2],

由2xw[0,2],<0<x<l,

???y=f(2x)的定義域?yàn)椋跲H.

又2彳一1片0,即xw；,

二函數(shù)y=g(無)的定義域?yàn)椋?,1)u(1,i］.

3.從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵片的四個(gè)角各裁去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，要求長(zhǎng)方體

的高度x與底面正方形邊長(zhǎng)的比不超過正常數(shù)二試把鐵盒的容積V表示為無的函數(shù)，并求出其定義域.

【答案】V=4^-Sax2+4a2x,

【解析】解：依題意知，長(zhǎng)方體鐵盒高為x,底面正方形的邊長(zhǎng)為2a-2x,則

V=(2a-2x)2x=4x(。-x)2=4x3—Sax2+4a2x,

0<x<a0<x<a

2at,

0<x<

、2Q-2X1+2/

2ata2at

a一>0,.*.0<x<

l+2t1+2,1+2,

故鐵盒的容積”獷―，定義域?yàn)?OK備

4.函數(shù)/(x)=J(1一M)，+3(1-a)x+6,

⑴若〃x)的定義域?yàn)椋?2』，求實(shí)數(shù)”的值；

⑵若Ax)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=2或。=—5；(2)G=1

1-?2<0

【解析】(1)由題意得：<4(1一一6(1-a)+6=0,解得：。=2或°=一5；

l-a2+3(l-a)+6=0

(2)由題意得：

①當(dāng)"=1時(shí),〃x)=6,此時(shí)符合題意；

②當(dāng)l-/〉。時(shí)，A=9(l-a)2-24(l-a2)4o,解得一

③當(dāng)a=-1時(shí)，〃x)=j6x+6,此時(shí)函數(shù)的定義域不是R,不符合題意,

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

題型四函數(shù)值域的求解

1.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)家奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”設(shè)xeR,

用國(guó)表示不超過尤的最大整數(shù)，則>=國(guó)稱為高斯函數(shù)，例如：[-2』=-3,[3』=3,已知函數(shù)〃x)=v，

xe[O,l],則函數(shù)y=[/(x)]的值域是()

A.{1,2}B.(1,2)C.(0,1)D.{2}

【答案】A

【解析】/(x)=W=l+」7c「,21，

當(dāng)/(x)eI，2)時(shí)，y=[/(%)]=1；當(dāng)/(x)=2時(shí)，y=[/?]=2.

；?函數(shù)y=[/(切的值域是{L2}.

故選A

2—2光

2.已知函數(shù)/(%)=--,(x>l),則它的值域?yàn)?)

x+1

A.(O,+oo)B.(-?,0)C.(-1,0)D.(-2,0)

【答案】D

【解析】由題意，函數(shù)〃x)二"mj2(x+l)+4__2+」_,(x>i)

X+1X+1X+1

4

設(shè)/=犬+1,貝！U>2,可得76(0,2)

故〃x)=-2+W(x>l)的值域?yàn)?—2,0).

故選：D.

17

3.函數(shù)〃0=[目的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中，其值域與“X)的值域相同的函

數(shù)為

A.>=了，xe{-1,0,1,2,3}

D.y=x2-1,xe{o,l,在后2}

【答案】ABD

【解析】由題意，可得當(dāng)xe-(,0卜寸，〃x)=T，當(dāng)xe[0,l)時(shí)，f(x)=0,

「7]

當(dāng)xe[l,2)時(shí)，f(x)=l,當(dāng)xe[2,3)時(shí)，/(x)=2,當(dāng)xe3,-時(shí)，f(x)=3,

~17-1

所以當(dāng)時(shí)XC時(shí)，函數(shù)“X)的值域?yàn)閧-1,0,123}.

對(duì)于A選項(xiàng)，y=x,xe{-1,0,1,2,3},該函數(shù)的值域?yàn)閧-1,0,1,2,3}；

對(duì)于B選項(xiàng)，y=2x,