2023-2024學年廣東省深圳市南山實驗教育集團麒麟中學九年級

（上）月考數(shù)學試卷（10月份）

一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

1.（3分）下列各組圖形，一定相似的是（）

A.兩個等腰梯形B.兩個菱形

C.兩個正方形D.兩個矩形

2.（3分）下列四條線段中，不能成比例的是（）

A.〃=2,b=3,c=4,d=6B.a=l,b=V2>c=V3>d=V6

C.〃=4,b=5,c=6,d=10D.a=l,b=2,c=V^，d=2遙

3.（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個

點A,B,C都在橫線上.若線段AC4，則線段48的長是（）

22

4.（3分）如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，則在下列四個條件中：①/

AED=ZB；?DE//BC-,③坦@AD'BC=DE'AC,能滿足的條

ACAB

件有（）

C.3個D.4個

5.（3分）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點尸是線段

A3上一點（AP>BP）,若滿足型工L,則稱點尸是AB的黃金分割點.世界上最有名

APAB

的建筑物中幾乎都包含“黃金分割”，如圖，A2為339米，P為塔AB的黃金分割點（AP

>BP）,設”=尤，則尤滿足的方程是（）

APB

A.（339-x）2=339元B.（339-x）2=339,

C.339（339-x）=/D.以上都不對

6.（3分）在平面直角坐標系中，若直線y=-3x+b不經(jīng)過第一象限，則關于x的方程

尤+2023=0的實數(shù)根的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.1或2個

7.（3分）某放射性元素經(jīng)2天后，質(zhì)量衰變?yōu)樵瓉淼摹?若設這種放射性元素質(zhì)量的日平

2

均減少率為無，則可列出方程為（）

A.1-lx——B.2(1-x)=1

22

C.(1-x)2——D.—(1-x)2—1

22

8.（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示,

圖1圖2

A.3cmB.3.75cmC.4cmD.4.25cm

9.（3分）在△ABC中，ZABC=90°,用直尺和圓規(guī)在AC上確定點。，使

如下四個尺規(guī)作圖，正確的是（）

A

'D

B.（作線段的垂直平分線）BC

D.（作等腰三角形）BC

10.（3分）如圖，正方形ABC。中，E為中點，連接AE,。尸，AE于點R連接CE

FG_LCF交于點G,下列結(jié)論：①CF=CD；②G為中點；③ADCFSAAGF；

④空=2,其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

EF3

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（共5小題，每題3分，共15分）

11.（3分）已知線段。=9,6=4,則線段。和6的比例中項為.

12.（3分）如圖，在平行四邊形ABC。中，點￡在BC邊上，且CE：BC=2：3,AC與

DE相交于點F,若△AFD周長為6,則叢EFC周長為.

13.（3分）如圖，在△ABC中，AB=lQcm,BC=20on,點P從點A開始沿AB邊向點8

以2cmis的速度移動，點。從點B開始沿8C邊向點C以4cm/s的速度移動如果點P、Q

分別從點A、B同時出發(fā)問經(jīng)過秒時，△PB。與△ABC相似.

A

14.（3分）如圖，△A3。的頂點坐標是A（2,6）,B（3,1）,0（0,0）,平面內(nèi)點P使

得△ABP與△AB。相似，則不與點0重合的點P有個.

15.（3分）正方形紙片ABC。中，E,F分別是46、CB上的點，且AE=CF,CE交AF于

若E為AB中點，則％=；若/。//=60°,則史=.

EMEM

三.解答題（共7小題）

16.（8分）解方程：

（1）2/-14=/+2x+10；

(2)(x-1)(2x+3)=-1.

17.（5分）已知線段AB,試用尺規(guī)作圖畫出線段A8的黃金分割點C,使得AOBC,保

留作圖痕跡，不寫作法.

kB

18.（8分）已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求

畫格點三角形:

圖1圖2

（1）在圖1中畫△481C1,使得△AIBIQS^ABC,且相似比為2：1.

（2）在圖2中畫△〃可「，使得LMNPs^DEF,且面積比為2：1.

19.（6分）在△ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足為。.求證：AB1=BD-BC.

20.（8分）黨的二十大報告提出要“全面推進鄉(xiāng)村振興”，這是對黨的十九大報告所提出的

“實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的進一步發(fā)展，彰顯出新時代新征程在工農(nóng)城鄉(xiāng)關系布局上的深

遠謀劃，為不斷推進鄉(xiāng)村振興、加快農(nóng)村現(xiàn)代化進程指明了方向某市為了加快城鄉(xiāng)發(fā)展，

保障市民出行方便，在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小

明和小穎想通過自己所學的數(shù)學知識計算該橋的長.如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們

在河的對岸選定一個目標作為點A,再在河岸的這一邊選出點8和點C,分別在AB、AC

的延長線上取點。、E,使得DE〃BC.經(jīng)測量，BC=120米，?！?210米，且點E到河

岸2C的距離為60米.已知APLBC于點R請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AE

的長度.

21.（10分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,點。從點C開始沿

CA邊運動，速度為1cMs,與此同時，點E從點8開始沿BC邊運動，速度為2CH/S,當

點E到達點C時，點。同時停止運動，連接AE,設運動時間為rs,△AOE的面積為S.

（1）是否存在某一時刻K使。若存在，請求出此時刻/的值，若不存在，請說

明理由.

（2）點。運動至何處時，S=-1SAABC?

22.（10分）小曼和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題:

“已知正方形ABC。，點E、F、G、H分別在邊A&BC、CD、DA±,EG±FH,則

EG=FH.”為了解決這個問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：

方案一：過點A作交BC于點M,過點B作BN〃EG交CD于點N；

方案二：過點A作AM〃即交8C于點過點A作AN〃EG交CD于點N.

（1）對小曼遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個加以證明（如圖（1））.

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2,BC=3（如圖（2））,試

探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.

參考答案與解析

一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

1.（3分）下列各組圖形，一定相似的是（）

A.兩個等腰梯形B.兩個菱形

C.兩個正方形D.兩個矩形

【解答】解：A、兩個等腰梯形不一定相似，故本選項不合題意；

8、兩個菱形，形狀不一定相同，故本選項不合題意；

C、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似形定義，故本選項符合題意；

D,兩個矩形四個角相等，但是各邊不■定對應成比例，所以不一定相似，故本選項不合

題意.

故選：C.

2.（3分）下列四條線段中，不能成比例的是（）

A.a—2,b—3,c—4,d—6B.a—1,b二泥，c=M，d=V6

C.a=4,b=5,c=6,d=10D.a=l,b=2,c=d=2y[S

.??包=￡

*'b-『

，四條線段〃、b、C、d是成比例線段，

故A不符合題意；

???—a—--1---—---V--2-,—c—-V---3--—------,

bV22dV62

.??包=q

*T不

?,?四條線段〃、b、°、d是成比例線段，

故8不符合題意；

?.?包=生c=6=3

b5d105

.?.包

bd

?,?四條線段。、b、c、d不是成比例線段,

故。符合題意；

??a=1c=V5=1

,%TG2V5~2

.,.旦=￡

"b.

.??四條線段。、b、c、d是成比例線段，

故。不符合題意，

故選：C.

3.（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個

點A,B,C都在橫線上.若線段AC喏，則線段的長是（）

22

【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點2所在的平行橫線于D交點C所在平行

橫線于E,

???A-B=--A-D,

ACAE

???五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的,

???A-D=--2,

AE3

.AB2

,,至摩

解得A2=5,

故選：D.

4.（3分）如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，則在下列四個條件中：①/

AED=NB；?DE//BC-,③旭@AD'BC^DE-AC,能滿足△AZ）EsZXACB的條

ACAB

件有（）

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①NB=NAED,ZA^ZA,則可判斷故①符合題意；

②DE//BC,則△AOES/XABC,故②不符合題意，

③坦口，且夾角NA=/A,能確定△AOES/XACB,故③符合題意；

ACAB

④由AZ>BC=OE?AC可得包■=]?■,此時不確定故不能確定△ADEs

ACBC

△ACB,故④不符合題意，

故選：B.

5.（3分）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點尸是線段

上一點（A尸>BP）,若滿足里望，則稱點尸是48的黃金分割點.世界上最有名

APAB

的建筑物中幾乎都包含“黃金分割”，如圖，A2為339米，P為塔AB的黃金分割點（AP

>BP）,設則x滿足的方程是（）

APB

A.（339-x）2=339尤B.（339-x）2=339/

C.339（339-x）=/D.以上都不對

【解答】解：因為滿足及望，則稱點尸是A8的黃金分割點，AP=x.

APAB

所以339（339-x）=/.

故選：C.

6.（3分）在平面直角坐標系中，若直線y=-3x+b不經(jīng)過第一象限，則關于x的方程

Zz?+x+2023=0的實數(shù)根的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.1或2個

【解答】解：???直線y=-3x+6不經(jīng)過第一象限,

；.bWO,

當b=0時，方程法2+x+2023=0是一次方程，有一個根,

當b<Q時，

:關于x的方程bx2+x+2023=0,

/.A=l2-4/7X2023>0,

關于x的方程bx2+x+2023^0有兩個不相等的實數(shù)根,

故選：D.

7.（3分）某放射性元素經(jīng)2天后，質(zhì)量衰變?yōu)樵瓉淼墓?若設這種放射性元素質(zhì)量的日平

2

均減少率為X,則可列出方程為（）

A.1-2x=—B.2(1-x)

22

C.（1-尤）2——D.A(1-x)2—l

22

【解答】解：依題意得（1-X）2=1.

2

故選：C.

8.（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示,

圖1圖2

A.3cmB.3.75cmC.4cmD.4.25cm

【解答】解：如圖：過。作OM_LCD,垂足為過。作OW_LA8,垂足為N,

U：CD//AB,

：./\CDO^ABO',即相似比為型,

AB

.CD=_OM_

"ABO'N'

\"OM=15-7=8(cm),O'N=12-7=5(cm),

?且=6,

」而丁

AAB=3.75,

9.（3分）在△ABC中，ZABC=90°,用直尺和圓規(guī)在AC上確定點。，使

如下四個尺規(guī)作圖，正確的是（）

B.（作線段的垂直平分線）BC

C.（作高）

D.（作等腰三角形）B

【解答】解：當5。是AC的垂線時，XABDsXBCD,

VBZ)±AC,

AZADB=ZCDB=90°,

VZABC=90°,

ZA+ZABD^ZABD+ZCBD^90°,

ZA=ZCBD,

：.叢ABDs叢BCD,

根據(jù)作圖痕跡可知：

A、BD是/ABC的角平分線，不與AC垂直，故不符合題意；

B、BD是AC的中線，不與AC垂直，故不符合題意；

C、8。是AC的垂線，故符合題意；

D、AB=AD,8D不與AC垂直，故不符合題意.

故選：C.

10.（3分）如圖，正方形ABC。中，E為BC中點，連接AE,于點尸，連接CR

FGLCP交4。于點G,下列結(jié)論：①CF=CD；②G為4。中點；③△DBS/WGF；

④空=2,其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

EF3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：如圖，作CM_L。/于

：.AB^BC=CD=ADf：.ZDAB=ZB=ZADC=90°,

VZADF+ZCDF=90°,ZCDF+ZDCM=90°,

JNADF=/DCM,

VZ)F±AE,CM1DF,

：.ZAFD=ZCMD=90°,

???ADAF^ACDM,

:?CM=DF,DM^AFf

VZADF+ZDAE=90°,NZME+N8AE=90°,

；?NBAE=NADF,

?：BE=CE,

：.AB=2BE,

tanNBAE=tan/ADF=,

AB2

?AF=_1,

**DF~2

:?DM=MF,VCM±DF,

：.CD=CF,故①正確，

；?/CDF=/CFD,

*：ZCDG=ZCFG=90°,

：.ZGFD=ZGDF,

:?GF=GD,

VZGZ）F+ZDAF=90°,ZGFD+ZAFG=90°,

：.ZGAF=ZGFA.

：.GF=GA,

:?GD=GA,

???G是AD中點，故②正確，

,?ZAFD=ZGFC,

：.ZAFG=ZCFD,/GAF=/CDF,

:?△DCFs^AGF,故③正確，

設AF=q,貝!J￡）_F=2〃，AB=y[^a,BE=^^-a,

2

.\AE=^-a,EF=^-a,

22

??.￡L=2,故④正確，

EF3

故選：D.

二、填空題（共5小題，每題3分，共15分）

11.（3分）已知線段〃=9,6=4,則線段〃和匕的比例中項為6

【解答】解：設線段〃和6的比例中項為C,

?：a=9,b=4,

.?旦=q

cb

.\c2=ab=4X9=36,

解得：c=±6,

又??,線段不能是負數(shù)，

-6舍去，

??。=6,

故答案為：6.

12.（3分）如圖，在平行四邊形A5CD中，點E在邊上，且CE：BC=2：3,AC與

DE相交于點R若尸。周長為6,則尸C周長為4.

【解答】解：?.?四邊形A5CD為平行四邊形，

J.AD//BC,BC=AD,

?：CE：BC=2：3,

:?CE：A0=2：3,

■:AD//BC,

：.AADF^ACEF,

.-CEF的周長=CE=2

?'△ADF的周長ADT

?/△AFD周長為6,

.?.△￡戶（7的周長=96=4，

故答案為：4.

13.（3分）如圖，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,點P從點A開始沿A8邊向點8

以2cm/s的速度移動，點。從點B開始沿8C邊向點C以4cmis的速度移動如果點P、。

分別從點A、8同時出發(fā)問經(jīng)過1或2.5秒時,△P8。與△ABC相似.

A

【解答】解：設經(jīng)過/秒后，ZiPB。與△ABC相似，則有AP=2f,BQ=4t,BP=10-2t,

當△PBQs/\A8C時，有BP：AB=BQ：BC,

即(10-2r)：10=4f：20,

解得t=2.5(s)

當△QBPS/VIBC時，有8。：AB=BP：BC,即4f：10=(10-2f)：20,

解得t=1.

所以，經(jīng)過2.5s或Is時，△P3。與△ABC相似.

解法二：設fs后，APB。與△ABC相似，則有，AP=2t,BQ=4f,BP=10-2t

分兩種情況：

(1)當BP與A8對應時，有更?，即I。12t解得/=2.5s

ABBC1020

(2)當BP與對應時,有現(xiàn)典，即空L=10-2t,解得f=is

ABBC1020

所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、。三點為頂點的三角形與△ABC相似，

故答案為：1或2.5

14.(3分)如圖，△AB。的頂點坐標是A(2,6),B(3,1),O(0,0),平面內(nèi)點尸使

得AABP與△AB。相似，則不與點O重合的點P有7個.

【解答】解：如圖所示，當時，LABPsAAOB；

如圖所示，當時，AABP^AOAB；

如圖所示，當/P=NAOB,NAB尸=/8AO時，AABO^/\BAP；

如圖所示，當/尸=NAOB,NA8P=/BA0時，AABOSABAP；

如圖所示，當NBAP=/AOB,/A3P=NBA。時，

y

如圖所示，當NP=NA05,ZABP==NA40時，AABOS^BAP；

I

如圖所示，當N84O=N5AP,/A08=NP時，AABO^AABP.

7A

綜上所述，符合題意的點尸的位置有7個.

，故答案為：7.

15.（3分）正方形紙片A3CQ中，E,尸分別是A3、C8上的點,SLAE=CF,CE交AF于

M.若E為中點，則生=2；若/CMF=60°,則01=2+73.

EMEJI——

DpC

」【解答】解：（i）連接班），如圖1,

:四邊形ABC。是正方形,

：.AB//CD,AAB=CD,

：.ZMEB=ZMCD,ZMBE=ZMDC,

：.AMCDs^MEB,

???-C-M--C-D,

EMBE

?；E為AB中點，

???C--M=9;0

EM

(2)過點C作CN±AF,交AF的延長線于點N,如圖2,

在RtzXCMN中，/CMF=60°,

Vsin60°cos60°

CMCM

?CN_V3典」，

,?怎丁’cfV

即CM=2MN,

,JAE^CF,BA=BC,

：.BA-AE=BC-CF,

即BE=BF,

/.RtAABF^RtACBE(SAS),

：.ZFAB=ZECB,

VZAME^ZCMF,AE=CF,

.MAME%4CMF(AAS),

:.EM=FM,

'：ZAFB=ZCFN,ZB=/N=90°

：.ZFAB=ZFCN,

：.ZMCF=ZNCF,

過點尸作尸G_LCE于點G,

：.FG=FN,ZFMG=ZMCN,

：.cosZFMG=cosZMCN=^-=^-,

CMMF

.?CN_V3

?怎丁’

?.CM_=2MN=2(MF+FN)

'EF^EFEM-

MF=EM,

?CM=2(EM+FN)

"EMEM-

=2EM+2FN

EM

=2+2x2^

2

=2+如.

圖2

三.解答題（共7小題）

16.(8分)解方程:

(1)2/-14=/+2x+10；

(2)(x-1)(2x+3)=-1.

【解答】解：(1)方程可化為X2-2X-24=0,

(x-6)(x+4)=0,

解得：X1=6,X2=-4；

(2)方程可化為2/+x-2=0,

解得.二-1+112_4X2X(-2)=,二-1HJ_4X2X(-2)=

'xl~2X24~，X2~2X2

17.(5分)已知線段試用尺規(guī)作圖畫出線段A8的黃金分割點C,使得AOBC,保

留作圖痕跡，不寫作法.

AB

18.(8分)已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求

畫格點三角形:

圖1圖2

(1)在圖1中畫△A181C1,使得△AIBICISZ\ABC,且相似比為2：1.

(2)在圖2中畫使得AMNPsADEF,且面積比為2：1.

【解答】解：(1)如圖1所示：△ALBICI,即為所求;

(2)如圖2所示：4MNP,即為所求;

圖1圖2

19.（6分）在△ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足為。.求證：AB1=BD'BC.

：.ZADB=ZBAC=90°,

,:/B=NB,

/.RtAABD^RtAACB,

：.AB：BC=BD：AB,

：.AB2=BD'BC.

20.（8分）黨的二十大報告提出要“全面推進鄉(xiāng)村振興”，這是對黨的十九大報告所提出的

“實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的進一步發(fā)展，彰顯出新時代新征程在工農(nóng)城鄉(xiāng)關系布局上的深

遠謀劃，為不斷推進鄉(xiāng)村振興、加快農(nóng)村現(xiàn)代化進程指明了方向某市為了加快城鄉(xiāng)發(fā)展，

保障市民出行方便，在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小

明和小穎想通過自己所學的數(shù)學知識計算該橋AF的長.如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們

在河的對岸選定一個目標作為點4再在河岸的這一邊選出點2和點C,分別在A3、AC

的延長線上取點。、E,使得DE〃BC.經(jīng)測量，BC=120米，。石=210米，且點E到河

岸BC的距離為60米.已知AFLBC于點兒請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF

的長度.

A

【解答】解：如圖所示，過E作EGLBC于G,

：DE//BC,

\△ABCs^ADE,

??A~C-----4_-B--C-，

AE7DE

?AC4

.而而，

：AF±BC,EGLBC,

,.AF//EG,

\AACF^AECG,

?AFACanAF4

?=-------，P'P--------=-----，

EGEC603

解得AF=8O,

...橋A歹的長度為80米.

21.（10分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=Scm,點。從點C開始沿

CA邊運動，速度為Iczn/s,與此同時，點E從點8開始沿8c邊運動，速度為2aMs,當

點E到達點C時，點。同時停止運動，連接AE,設運動時間為fs,△AOE的面積為S.

（1）是否存在某一時刻3使DE//AB?若存在，請求出此時刻f的值，若不存在，請說

明理由.

（2）點。運動至何處時，S=[SzvWC?

假設存在某一時刻3使

.CD=CE

,*CACB"

VAC=6,8c=8,CD=t,CE=8-2t,

?t=8-2t

'"68

.?，=K,符合題意(f最大為8+2=4秒)，

5

存在某一時亥卜=衛(wèi)秒，使