3.9弧長及扇形的面積導學案學習目標1.經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程；2.了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會應用公式解決問題．學習策略1.經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養(yǎng)學生的探索能力．2.了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓練學生的數(shù)學運用能力．學習過程 一.復習回顧：1．圓的周長公式是。2．圓的面積公式是。3．什么叫弧長？二.新課學習：1.探索弧長公式如圖,某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm.（1）轉動輪轉一周,傳送帶上的物品A被傳送多少厘米?（2）轉動輪轉1°,傳送帶上的物品A被傳送多少厘米?（3）轉動輪轉n°,傳送帶上的物品A被傳送多少厘米?2.探索扇形面積公式（1）觀察與思考：怎樣的圖形是扇形？（2）扇形面積的大小到底和哪些因素有關呢？（3）討論如何求扇形的面積？①圓心角是1°的扇形面積是圓面積的多少？②圓心角為n°的扇形面積是圓面積的多少？3.比較扇形面積與弧長公式，你能用弧長表示扇形面積嗎？4.例題分析例1制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即弧AB的長(結果精確到0．1mm)．（1）要求管道的展直長度首先需要解決什么問題？（2）求管道的展直長度即求哪一段弧長？（3）你能利用已知條件和弧長公式求解嗎？例2扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的長(結果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1cm2)（1）題目中給出了哪些已知條件？（2）這些條件能直接應用于公式嗎？（3）你能利用已知條件和扇形面積公式求解嗎？三.嘗試應用：1.(云南中考)已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為()A.eq\f(3π,4)B．2πC．3πD．12π2.(河北中考)如圖，將長為8cm的鐵絲首尾相接圍成半徑為2cm的扇形，則S扇形＝____________cm2.3.一段圓弧形公路彎道，圓弧的半徑為2km，彎道所對圓心角為10°，一輛汽車從此彎道上駛過，用時20s，彎道有一塊限速警示牌，限速為40km/h，問這輛汽車經過彎道時有沒有超速？(π取3)四.自主總結：（1）n°的圓心角所對的弧長公式l=.（2）n°的圓心角所對的扇形面積公式S=.（3）半徑為R，弧長為l的扇形面積S=.五.達標測試一、選擇題1．如圖，⊙O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，∠BAC=36°，則劣弧BC的長是（）A． B． C． D．2．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）A． B． C．4 D．2+3．如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB、AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分BD長為20cm，貼紙部分的面積為（）cm2．A． B． C．800π D．500π二、填空題4．如圖，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若將此扇形繞點B順時針旋轉，得一新扇形A′O′B，其中A點在O′B上，則點O的運動路徑長為cm．（結果保留π）5．如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點E，且AC=2，AE=，CE=1．則弧BD的長是．6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=3，以點B為圓心，BC為半徑作弧，交AB于點D，則的長為．三、解答題7．如圖，在⊙O中，C﹑D為⊙O上兩點，AB是⊙O的直徑，已知∠AOC=130°，AB=2．求：（1）的長；（2）∠D的度數(shù)．8．如圖，已知扇形的圓心角為120°，面積為300π．（1）求扇形的弧長；（2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的高為多少？9．如圖，半徑為12的圓中，兩圓心角∠AOB=60°、∠COD=120°，連接AB、CD，求圖中陰影部分的面積．10．如圖，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=6cm．（1）求圓的半徑；（2）求陰影部分的面積．3.9弧長及扇形的面積達標測試答案一、選擇題1．【解析】連接OB，OC，依據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，即可求得劣弧BC的圓心角的度數(shù)，然后利用弧長計算公式求解即可．【解答】解：連接OB，OC．∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，則劣弧BC的長是：=π．故選B．【點評】本題考查了弧長的計算公式以及圓周角定理，正確理解圓周角定理是關鍵．2．【解析】根據(jù)題目的條件和圖形可以判斷點B分別以C和A為圓心CB和AB為半徑旋轉120°，并且所走過的兩路徑相等，求出一個乘以2即可得到．【解答】解：如圖：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B點從開始至結束所走過的路徑長度為2×弧BB′=2×=，故選B．【點評】本題考查了弧長的計算方法，求弧長時首先要確定弧所對的圓心角和半徑，利用公式求得即可．3．【解析】貼紙部分的面積等于扇形ABC減去小扇形的面積，已知圓心角的度數(shù)為120°，扇形的半徑為30cm，可根據(jù)扇形的面積公式求出貼紙部分的面積．【解答】解：設AB=R，AD=r，則有S貼紙=πR2﹣πr2=π（R2﹣r2）=π（R+r）（R﹣r）=（30+10）×（30﹣10）π=π（cm2）．故選A．【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟悉扇形的面積公式是解題的關鍵．二、填空題4．【解析】根據(jù)弧長公式，此題主要是得到∠OBO′的度數(shù)．根據(jù)等腰三角形的性質即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，知OA=OB．又∠AOB=36°，∴∠OBA=72°．∴點O旋轉至O′點所經過的軌跡長度==4πcm．故答案是：4π．【點評】本題考查了弧長的計算、旋轉的性質．解答該題的關鍵是弄清楚點O的運動軌跡是弧形，然后根據(jù)弧長的計算公式求解．5.【解析】連接OC，先根據(jù)勾股定理判斷出△ACE的形狀，再由垂徑定理得出CE=DE，故=，由銳角三角函數(shù)的定義求出∠A的度數(shù)，故可得出∠BOC的度數(shù)，求出OC的長，再根據(jù)弧長公式即可得出結論．【解答】解：連接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故答案是：．【點評】本題考查的是垂徑定理，涉及到直角三角形的性質、弧長公式等知識，難度適中．6．【解析】半徑為3，要求的長，只需求∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=50°，∴∠B=40°．∵BC=3，∴的長為=．故答案為．【點評】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余、圓弧長公式等知識，其中圓弧長公式為l=．三、解答題7．【解析】（1）直接利用弧長公式求出即可；（2）利用鄰補角的定義以及圓周角定理得出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，∴===；（2）由∠AOC=130°，得∠BOC=50°，又∵∠D=∠BOC，∴∠D=×50°=25°．【點評】此題主要考查了弧長公式以及圓周角定理，熟練記憶弧長公式是解題關鍵．8.【解析】（1）利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進而利用扇形的弧長公式可得扇形的弧長；（2）利用圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長可得圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出這個圓錐的高．【解答】解：（1）設扇形的半徑為R，根據(jù)題意，得，∴R2=900，∵R＞0，∴R=30．∴扇形的弧長=．（2）設圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得2πr=20π，∴r=10．h==20．答：這個圓錐的高是20．【點評】考查圓錐的計算；用到的知識點為：圓錐的弧長=；圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長．9．【解析】先用扇形OAB面積﹣三角形OAB面積求出上面空白部分面積，再用扇形OCD面積﹣三角形OCD面積﹣上面空白部分面積，即可求出陰影部分的面積．【解答】解：S扇形AOB==24π，S△AOB==36，則S弓形AB=24π﹣36，S扇形COD==48π，作OE⊥CD于點E．則OE=OD=6，CD=2DE=2×6=12，S△COD=OE?CD=×6×12=36，則S弓形CD=48π﹣36，則S陰影=S弓形CD﹣S弓形AB=48π﹣36﹣（24π﹣36）=24π．【點評】考查了組合圖形的面積，本題關鍵是明白陰影部分的面積=扇形OCD面積﹣三角形OCD面積﹣上面空白部分面積．10.【解析】（1）首先判定三角形為等邊三角形，即可得出圓的半徑；（2）利用扇形面積公式以及三角形面積求法計算得出即可．【解答】解：