數(shù)學試卷一．選擇題（共8小題）1．搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運載火箭于2023年10月26日成功發(fā)射升空，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度．下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A．航天神舟 B．中國行星探測 C．中國火箭 D．中國探月解析：解：由題意可知，選項C的圖形能繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；選項A、B、C的圖形不是中心對稱圖形；故選：C．2．下列各式：，，，中，是分式的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：解：在，，，中，是分式的：，，共2個．故選：B．3．下列調查中，最適合采用普查的是（）A．了解全國中學生的睡眠時間 B．了解一批LED燈的使用壽命 C．了解某河流的水質情況 D．檢測“神舟十七號”載人飛船零件的質量解析：解：A、了解全國中學生的睡眠時間，適合采用抽樣調查，不符合題意；B、了解一批LED燈的使用壽命，適合采用抽樣調查，不符合題意；C、了解某河流的水質情況，適合采用抽樣調查，不符合題意；D、檢測“神舟十七號”載人飛船零件的質量，適合采用普查，符合題意；故選：D．4．下列事件中，是必然事件的是（）A．購買一張彩票中獎 B．射擊一千次，命中靶心 C．太陽每天從西方升起 D．任意畫一個三角形，其內角和是180°解析：解：購買一張彩票，可能中獎，也可能不中獎，因此選項A不正確；射擊運動員射擊一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此選項B不正確；太陽每天只從東方升起，不會從西方升起，因此選項C不正確；任意三角形的內角和都是180°，因此選項D正確；故選：D．5．一個不透明的盒子里有9個黃球和若干個紅球，紅球和黃球除顏色外其他完全相同，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在25%，那么估計盒子中紅球的個數(shù)為（）A．12 B．18 C．27 D．36解析：解：設盒子中紅球的個數(shù)為m個．根據(jù)題意得＝25%，解得：m＝27，經(jīng)檢驗，m＝27是分式方程的解，所以這個不透明的盒子中紅球的個數(shù)為27個．故選：C．6．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，則∠AOD的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．50°解析：解：由題意及旋轉變換的性質得：∠BOD＝50°，∵∠AOB＝20°，∴∠AOD＝50°﹣20°＝30°，故選：B．7．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．解析：解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故選：D．8．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正確；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB?AC，故②正確；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③錯誤；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正確；∵△ABE是等邊三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵CE＝AE，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，故⑤正確．故選：D．二．填空題（共10小題）9．已知一個樣本：6，9，11，8，7，11，12，10，9，10，12，10，9，8，13，15，10，11，12，13，10出現(xiàn)的頻數(shù)最多，6，7，15出現(xiàn)的頻數(shù)最少．解析：解：根據(jù)題意，知10出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的最多；6，7，15出現(xiàn)了1次，出現(xiàn)的最少．10．在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個紅球的概率為．解析：解：∵在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有5個黃球，4個藍球，隨機摸出一個藍球的概率是，設紅球有x個，∴＝，解得：x＝3∴隨機摸出一個紅球的概率是：＝．故答案為：．11．若分式有意義，則x的取值范圍是x≠．解析：解：要使分式有意義，必須4﹣3x≠0，解得：x≠．故答案為：x≠．12．如果把分式中的x和y都擴大5倍，那么分式的值為﹣2，則原分式的值為﹣2．解析：解：由題意可得，，∴，∴＝﹣2，即原分式的值為﹣2，故答案為：﹣2．13．在一個矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，若AB＝3，OD＝2，則BC的長為．解析：解：∵矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，OD＝2，∴AC＝2AO＝2OD＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，故答案為：．14．菱形ABCD的對角線AC＝12，S菱形ABCD＝48，則AB的長為．解析：解：如圖，，∵AC＝12，S菱形ABCD＝48，∴，∴BD＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，AC⊥BD，∴，故答案為：．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝18，E為AD上一動點，M，N分別為BE，CE的中點，則MN的長為9．解析：解：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AD＝18．∵M，N分別為BE，CE的中點，∴MN是△EBC的中位線，∴MN＝BC＝9．故答案為：9．16．如圖，如果要測量池塘兩端A、B的距離，可以在池塘外取一點C，連接AC，BC，點D、E分別是AC，BC的中點，測得DE的長為12米，則AB的長為24米．解析：解：∵D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線．∴AB＝2DE＝2×12＝24（米）．故答案為：24．17．如圖，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，點E為AB的中點，點F為BC上一點，連接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面積為，則DG的最小值為．解析：解：連接EC，過點E作EH⊥BC于H，過點G作GK⊥EF于K，如圖1所示：在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，點E為AB的中點，∴BC＝AB＝CD＝8，BE＝AB＝4，AB∥CD，在Rt△BEH中，∠B＝60°，BE＝4，∴sin∠B＝，cos∠B＝，∴EH＝BE?sin∠B＝4?sin60°＝2，BH＝BE?cos∠B＝4?cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝8﹣2＝6，在Rt△ECH中，EH＝2，CH＝6，∴tan∠BCE＝＝＝，∴銳角∠BCE＝30°，∴EC＝2EH＝4，∠CEH＝60°，∵∠B＝60°，∠BCE＝30°，∴∠BEC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ECD＝90°，在Rt△EGK中，∠GEF＝60°，∴sin∠GEF＝，∴GK＝EG?sin∠GEF＝EG?sin60°，∵S△GEF＝EF?GK＝3，∴?EF?EG?sin60°＝3，∴EF?EG＝12，設CE的中點為T，連接GT，如圖2所示：∴ET＝EC＝×4＝2，∴EH?ET＝2×2＝12，∴EF?EG＝EH?ET，即，又∵∠GEF＝∠CEH＝60°，∴∠GET+∠CEF＝∠CEF+∠HEF＝60°，∴∠GET＝∠HEF，∴△GET∽△HEF，∴∠EGT＝∠EHF＝90°，設ET的中點為O，連接OG，則OG＝OE＝ET＝×2＝，∴在點F的運動過程中，點G始終在以點O為圓心，以為半徑的圓上運動，連接OD，如圖3所示：根據(jù)“兩點之間線段最短”得：DG+OG≥OD，∴DG≥OD﹣OG，∴當點D，G，O在同一條直線上時，DG為最小，最小值為OD﹣OG，∵CE＝4，OE＝，∴OC＝CE﹣OE＝3，∴∠ECD＝90°，在Rt△OCD中，CD＝8，OC＝3由勾股定理得：OD＝＝，∴OD﹣OG＝，∴DG的最小值為．故答案為：．18．如圖，矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，∠CAE＝15°．下列結論：①△OCD是等邊三角形，②AC＝2DC，③S△AOE＝2S△COE，④∠COE＝45°．其中正確的有①②④（填序號）．解析：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AB∥CD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ACD＝∠BAC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∴△OCD是等邊三角形，故①正確；∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝2DC，故②正確；∴∵AO＝CO，∴S△AOE＝S△COE，故③錯誤；∵∠ABC＝90°，∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵OA＝OB，∠BAC＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，AB＝OB，∴∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故④正確；故答案為：①②④．三．解答題（共10小題）19．為進一步提高課后服務質量，將“雙減”政策落地，某校利用課外活動時間開設了“A．園藝、B．廚藝、C．木工、D．編織”四大類勞動課程．為了解八年級學生對每類課程的選擇情況，隨機抽取了八年級若干名學生進行調查（每人必選且只選一類最喜歡的課程），將調查結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題；（1）隨機抽樣調查的樣本容量是400，扇形統(tǒng)計圖中“B”所對應的圓心角的度數(shù)為108°；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校八年級共有800名學生，請估計該校八年級學生選擇“廚藝”勞動課的人數(shù)．解析：解：（1）隨機抽樣調查的樣本容量是：100÷25%＝400，C所占百分比為：＝35%，扇形統(tǒng)計圖中“B”所對應的圓心角的度數(shù)為：360°×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝108°．故答案為：400，108；（2）樣本中“D”的頻數(shù)為：400×10%＝40，“B”的頻數(shù)為：400×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝120，補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）800×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝240（名），答：估計該校八年級學生選擇“廚藝”勞動課的人數(shù)大約為240名．20．主題為“安全騎行，從頭殟開始”的安全教育活動在某市全面開展．為了解市民騎電動自行車出行自覺佩戴頭盔的情況，某數(shù)學實踐探究小組在某路口進行調查，經(jīng)過連續(xù)6天的同一時段的調查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)并整理如下表：經(jīng)過路口的電動自行車數(shù)量/輛180230300260240280自覺佩戴頭盔人數(shù)/人171216285250228266自覺佩戴頭盔的頻率0.950.940.950.960.95m（1）表格中m＝0.95；（2）由此數(shù)據(jù)可估計，經(jīng)過該路口的電動自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為0.95；（結果精確到0.01）（3）若該小組某天調查到經(jīng)過該路口的電動自行車共有1200輛，請問其中佩戴了頭盔的騎行者大約有多少人？解析：解：（1）m＝266÷280＝0.95，故答案為：0.95；（2）根據(jù)實驗發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.95左右則自覺佩戴頭盔的頻率為0.95，∴經(jīng)過該路口的電動自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為0.95，故答案為：0.95；（3）1200×0.95＝1140（人），答：佩戴了頭盔的騎行者大約有1140人．21．約分：（1）；（2）．解析：解：（1）＝﹣3x2y；（2）＝＝．22．在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．解析：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴?BEFD是矩形．（2）∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，，∵DF＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，∴AF平分∠DAB．23．如圖所示，在△ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，點H在線段CE上，連接BH，點G，F(xiàn)分別為BH，CH的中點．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求BH的長．解析：（1）證明：∵點D、E分別為AB、AC的中點，點G、F分別為BH、CH的中點，∴DE是△ABC的中位線，GF是△HBC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，∴DE∥GF，DE＝GF，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG＝＝＝，∵G為BH中點，即線段BH的長度為2．24．在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知格點△ABC（頂點為網(wǎng)格線的交點）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；（2）將△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉90°得到△C1A2B2，畫出△C1A2B2；（3）若點A的坐標是（﹣1，2），則點A2的坐標是（3，﹣2）．解析：解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△C1A2B2即為所求．（3）由圖可得，點A2的坐標是（3，﹣2）．故答案為：（3，﹣2）．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．連結BF．求證：四邊形ADBF是矩形．解析：證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D是BC的中點，∴AF＝BD＝DC，∴四邊形ADBF是平行四邊形，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四邊形ADBF是矩形．26．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點D作∠ADC的角平分線交AB于點E，連接AC交DE于點O，AD∥CE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周長為36，求菱形AECD的面積．解析：（1）證明：∵AB∥CD，AD∥CE，∴四邊形AECD是平行四邊形，∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形AECD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，∵△ACD的周長為36，∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，∴OA＝OC＝8，在Rt△AOD中，由勾股