2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)培優(yōu)專題真題匯編卷專題02認(rèn)識(shí)三角形考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.42一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi)）1．（2分）（2022春?邗江區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AD為∠CAB的平分線，與∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)E，BG是△ABC的外角平分線，AD與BG相交于點(diǎn)G，則∠ADC與∠GBF的和為（）A．120° B．135° C．150° D．160°解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AE，BE分別平分∠CAB，∠CBA，∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA＝45°，∵BG平分∠CBF，∴∠CBG＝∠CBF，∵∠CBE＝∠CBA，∴∠CBE＝∠CBG+∠CBE＝∠CBF+∠CBA＝90°，∴∠G＝90°﹣45°＝45°，∵∠ADC＝∠BDG，∴∠ADC+∠GBF＝∠BDG+∠DBG＝180°﹣∠G＝135°，故選：B．2．（2分）（2021春?江都區(qū)月考）如圖，將△ABC沿DE、EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，則∠C的度數(shù)為（）A．40° B．41° C．42° D．43°解：如圖，連接AO、BO．由題意EA＝EB＝EO，∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∵DO＝DA，F(xiàn)O＝FB，∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO＝100°，∴2∠DAO+2∠FBO＝100°，∴∠DAO+∠FBO＝50°，∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°，∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°，故選：A．3．（2分）（2021春?江陰市期中）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故選：C．4．（2分）（2023春?鹽城月考）如圖，∠AOB＝70°，點(diǎn)M，N分別在OA，OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M，N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于55° D．等于35°解：∵M(jìn)E平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，根據(jù)外角的定義：∠AMN＝∠AOB+∠MNO，∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，∵∠AOB＝70°，∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，根據(jù)外角的定義：∠EMN＝∠F+∠MNF，∴∠F＝35°，故選：D．5．（2分）（2021春?江陰市期中）如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE，交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H；下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（）①∠DBE＝∠F；②∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③2∠BEF＝∠BAF+∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④解：∵BD⊥AC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FEB+∠F＝90°，∠FEB+∠DBE＝90°，∴∠DBE＝∠F，故①正確；∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠ABE+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠DBE+2∠ABD+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠F+180°﹣2∠BAC+∠BAC＝180°，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故②正確；③∵∠BAF＝∠C+∠ABC，∴∠BAF＝∠C+2∠EBC，∴∠BAF+∠C＝2∠C+2∠EBC，∵∠C+∠EBC＝∠BEF，∴∠BAF+∠C＝2∠BEF；故③正確；④∠BGH＝∠FGD＝90°﹣∠F＝∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠ABE，故④正確；故選：D．6．（2分）（2021春?姑蘇區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°解：如圖：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，設(shè)∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y(tǒng)，∠ABC＝3y，由外角的性質(zhì)得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故選：C．7．（2分）（2023春?廣陵區(qū)期末）如圖，∠AOB＝70°，點(diǎn)M，N分別在OA，OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M，N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于55° D．等于35°解：∵M(jìn)E平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN＝∠MNO+∠O，即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，∴∠EMN＝∠MNF+∠O，又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN＝∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，故選：D．8．（2分）（2023春?興化市期末）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值是（）A．7 B．8 C．9 D．10解：已知4條木棍的四邊長為3、4、5、7；①選3+4、5、7作為三角形，則三邊長為7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長距離為7；②選4+5、3、7作為三角形，則三邊長為9、3、7；7﹣3＜9＜7+3，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為9；③選3+7、4、5作為三角形，則三邊長為10、4、5；4+5＜10，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；④選5+7、3、4作為三角形，則三邊長為12、3、4；而3+4＜12，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為9．故選：C．9．（2分）（2023春?睢寧縣期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C'處，此時(shí)∠C'EB＝66°（如圖3），則∠ABC的度數(shù)為（）A．66° B．23° C．46° D．69°解：由題意可得，∠C'EB＝∠CEB＝66°，設(shè)∠ABC＝x，則，∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，即20°+x＝180°﹣∠C；在△BCE中，∠CEB+∠CBE＝180°﹣∠C，即；∴，解得：x＝69°，故選：D．10．（2分）（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正確的是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：設(shè)BD交FH于點(diǎn)J．①∵BD⊥FD，∴∠FJD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BJG+∠DBE＝90°，∵∠FJD＝∠BJG，∴∠DBE＝∠F，①正確；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正確；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正確；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正確，故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）11．（2分）（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝30°．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案為：30°．12．（2分）（2022秋?清江浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．13．（2分）（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經(jīng)過點(diǎn)D，則∠EDB＝75°．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，∵∠EDF＝90°，∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，故答案為75．14．（2分）（2022春?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為120°．解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，∵∠BA'C＝120°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，故答案為：120°．15．（2分）（2023春?淮安期末）如圖，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF的度數(shù)＝70°．解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝30°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠CDA＝50°．∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝20°．∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝180°﹣∠CFD﹣∠DCF＝70°．故答案為：70°．16．（2分）（2022春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC中，∠A＝65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB′＝35°，則∠1+∠2+∠3＝265°．解：由折疊知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°．∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C．∴∠1+∠2+∠3＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°．故答案為：265°．17．（2分）（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝140°．解：如圖，∵BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由題意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案為：140．18．（2分）（2019春?崇川區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D為△ABC形外一點(diǎn)，DA平分∠BAC，且∠CBD＝50°，求∠DCB＝60°．解：如圖，延長AB到P，延長AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB＝40°+60°＝100°，∠CBD＝50°，∴∠DBC＝∠DBH，∵DF⊥BC，DH⊥BP，∴DF＝DH，又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ，∴DE＝DH，∴DE＝DF，∴CD平分∠QCB，∵∠QCB＝180°﹣60°＝120°，∴∠DCB＝60°，故答案為60°．19．（2分）（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，則∠BAC＝70°或30°．解：①如圖1，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；②如圖2，當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為70°或30°．故答案為：70°或30°．20．（2分）（2021春?靖江市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，∠BAC＞∠C，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正確的是①②③④．解：設(shè)BE交FH于點(diǎn)J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正確；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正確；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正確；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正確，故答案為：①②③④．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（6分）（2023春?高港區(qū)月考）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”嗎？為什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù)．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝30°，∴∠A+∠C＝150°，設(shè)最小的角為x，①當(dāng)30°＝3x時(shí)，x＝10°，②當(dāng)x+3x＝150°時(shí)，x＝37.5°，30＜37.5，③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°，答：△ABC中最小內(nèi)角為10°或30°．22．（6分）（2023春?沭陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）證明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度數(shù)．（1）證明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．23．（8分）（2021春?邗江區(qū)期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動(dòng)三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為30°，△AOB是．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC是（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：是．（3）①∠ACB＝3∠ABC時(shí)，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③當(dāng)∠ACB＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．24．（8分）（2023春?灌云縣月考）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC'＝58°，則∠C＝29°，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'與∠C的數(shù)量關(guān)系是∠ADC'＝2∠C；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請(qǐng)求出∠C與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵∠ADC′＝58°，∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，由折疊得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，∴∠ADC'與∠C的數(shù)量關(guān)系：∠ADC'＝2∠C．故答案為：29°，∠ADC'＝2∠C；（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，由折疊得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，∴∠C的度數(shù)為31°；（3）如圖：∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y(tǒng)，∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，由折疊得：∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）＝x﹣y，∴∠C與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：∠C＝x﹣y．25．（8分）（2020春?盱眙縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請(qǐng)用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．26．（8分）（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝130°°（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∴，，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；故答案為：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，∴，．∴∠Q＝