中考二輪復(fù)習(xí)：線(xiàn)段和（差）的最值問(wèn)題

一、兩條線(xiàn)段和的最小值。

基本圖形解析：

一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最??；

（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

A

A."

------?m\

、'?

?B

B

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：A、N是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

A*

B

-------------------------?m

2、在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：

B

（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

B'

（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型

1

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB

周長(zhǎng)最短.填空：最短周長(zhǎng)=

n

n

W

?AA

?B

?.m

B'

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè),在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

nn

LL

/A?

、'i

A〃

二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：

（一）動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)：

點(diǎn)B在直線(xiàn)n上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1＞兩點(diǎn)在直線(xiàn)兩側(cè)：

1n

?----------?mp\,m

9A?A

2、兩點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè)：

\/TA

e

/A?-----J---?m

?-----------?mP'S

Ar

（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)B在。。上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、點(diǎn)與圓在直線(xiàn)兩側(cè):

20\

0B

\\

?m?----pF?---?m

■A?A

2、點(diǎn)與圓在直線(xiàn)同側(cè):

三)、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線(xiàn)m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線(xiàn)m上要

求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

0?

B

過(guò)A點(diǎn)作AC〃m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線(xiàn)m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即

為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

A

m

PQ

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè):

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：

-、填空題:

1.如圖，正方形/WC。的邊長(zhǎng)為2,E為的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).則P8+PE的最小值是.

2.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上，OA_LOB,ZAOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則R4+PC的最

小值是.

3.如圖，在銳角△ABC中，AB=42,/BAC=45°,NBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,M、N分另ll是A。和AB上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是.

4.如圖，在四邊形ABC。中，N4BC=90。,BC=6,點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC

+PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為.

5.已知4—2,3),8(3,1),P點(diǎn)在X軸上，若R4+P8長(zhǎng)度最小，則最小值為..若力—P8長(zhǎng)度最大,

則最大值為.

6.如圖，是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，N4MN=30。，B為AN弧的中點(diǎn),P是直徑MN上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+P8的最小值為.

為_(kāi)____

8、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,NDAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則

4

DQ+PQ的最小值為

二、綜合題：

1.如圖，NAOB=45°,P是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=W,Q、R分另U是。A、0B上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為42,

3）,8（4,-1）

設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)

M（m,0）,/V（0,n）,使四邊形A8/WN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m

=,n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

中考賞析：

1.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km、B

到直線(xiàn)X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向4B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民

設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線(xiàn)X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和Si=R4+

PB,圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A,連接BA交直線(xiàn)X于點(diǎn)P）,P至巾、B的距離

之和S2=PA+PB.

（1）求a、S2,并比較它們的大?。?/p>

（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2=%+P8的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路丫與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線(xiàn)丫的

距離為30km,請(qǐng)你在X旁和V旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這

個(gè)最小值.

318

2.如圖，拋物線(xiàn)y=『2一5次+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn)，若

有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到X軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再

沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F）,最后又沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)4求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路

5

程的長(zhǎng).

3、在X軸的正半軸上，0A=AB=2,0C=3,過(guò)點(diǎn)B作交0A于點(diǎn)D.將NDBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、X軸的正半軸于點(diǎn)E和F.

(1)求經(jīng)過(guò)4B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)8E經(jīng)過(guò)(1)中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方)，且PQ=L

四邊形BCPQ的周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

4.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為42，-3),8(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x

軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)。為何值時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短.

5、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,

0A=3,0B=4,D為邊0B的中點(diǎn).

(1)若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小

點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)若E、F為邊0A上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊

CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第

1.直線(xiàn)2x-y-4=0上有一點(diǎn)P它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,

離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是L

2.已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),(7,4),一輛汽車(chē)(看成點(diǎn)P)在x軸上行駛.試確定下列情況

下汽車(chē)(點(diǎn)P)的位置:

(1)求直線(xiàn)AB的解析式，且確定汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、B兩村距離之差最大?

5(7,4)

6

4(2,2)

(2)汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到A、B兩村距離相等？

1

3.如圖，拋物線(xiàn)y=—丁2—*+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B.

⑴求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是X軸上任意一點(diǎn)，求證：PA—PB4AB；

⑶當(dāng)力—PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.如圖，已知直線(xiàn)y=，x+l與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)。，拋物線(xiàn)y=」x2+bx+c與直線(xiàn)交于A、E兩

22

點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).小y

5.如圖，直線(xiàn)y=—/x+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A為y軸正半軸

上的一點(diǎn)，0A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)。，直線(xiàn)BC交。4于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過(guò)。，C,。三點(diǎn)作拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使線(xiàn)段P。

與P。之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

三、其它非基本圖形類(lèi)線(xiàn)段和差最值問(wèn)題

1、求線(xiàn)段的最大值與最小值需要將該條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，

則所求線(xiàn)段的最大值為其他兩線(xiàn)段之和，最小值為其他兩線(xiàn)段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線(xiàn)及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)。

3、線(xiàn)段之和的問(wèn)題往往是將各條線(xiàn)段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩

點(diǎn)之間線(xiàn)段最短以及點(diǎn)到線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短的基本依據(jù)解決。iB

1、如圖，在△A8C中，ZC=90°,47=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y\//\軸上，當(dāng)

點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)BCR/\到原點(diǎn)

7.J一

的最大距離是（）

A.2V2+2B.2V5C=2^/6D.6

2、在Rt^ABC中，ZACB=90°,tanZBAC=-.點(diǎn)。在邊AC上(不與A,C重合)，連結(jié)BD,F為中點(diǎn).

2

(1)若過(guò)點(diǎn)。作DE_LAB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則女=；

(2)若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得。、E、B三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)F仍為B。中點(diǎn)，如圖2所示.求證：

BE-DE=2CF；

(3)若BC=6,點(diǎn)。在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線(xiàn)段A。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為B。中點(diǎn)，求線(xiàn)段CF長(zhǎng)度

的最大值.

圖1圖2備圖

3、如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A(-l,0),與y軸交于點(diǎn)C,與一次函數(shù)y=x+a

交于點(diǎn)A和點(diǎn)D.

(1)求出a、b、c的值；

(2)若直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)存在點(diǎn)E,可使得4EAD面積最大，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)F為線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F到(2)中的點(diǎn)E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d,

求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

好題賞析：

原型：已知：P是邊長(zhǎng)為1

形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)，求雨十

的最小值.

8

例題：如圖，四邊形ABC。是正方形，AABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)3。（不含8點(diǎn)）上任意

一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EMAM.CM.

（1）求證：AAMB^4ENB；

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；E

（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為S+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

變式：如圖四邊形ABC。是菱形，且/ABC=60,△ABE是等邊三角形，〃為對(duì)角線(xiàn)8。（不含2點(diǎn)）上任意

一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EMAM.CM,則下列五個(gè)結(jié)論中正確的是（）

①若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則AM+CM的最小值1；

②AAMB注AENB；E?________,n

③S四邊彩AMBE=S四邊形A?CM；④連接AN,則ANJ_BE；

⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2小時(shí)，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

A.①②③B.②④⑤C.①②⑤

中考二輪復(fù)習(xí)之線(xiàn)段和（差）的最值問(wèn)題

一、兩條線(xiàn)段和的最小值。

基本圖形解析：

一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1＞在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè):

A'

9

A、N是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

2、在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè):

B

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).則PB+PE的最小值是.

2.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)4、B、C在。。上，OA_LOB,ZAOC=60°,戶(hù)是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則以+PC的最

小值是.

3.如圖，在銳角△ABC中，＞48=42,N&4C=45°,N&4C的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)。，M、N分別是AD和上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是.

4.如圖，在四邊形ABC。中，4BC=90。，AD//BC,AD=4,4B=5,BC///、=6,點(diǎn)

P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為.

5.如圖，MN是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，/4MN=30。，----］、?B為AN

Por

弧的中點(diǎn)，P是直徑M/V上一動(dòng)點(diǎn)，則以+PB的最小值為.\I

10

6.已知A（—2,3）,8（3,1）,P點(diǎn)在X軸上，若%+PB長(zhǎng)度最小，則最小值為.若圖一PB長(zhǎng)度最大,

則最大值為.

（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB

周長(zhǎng)最短.填空：最短周長(zhǎng)=

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)

PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

1.如圖，NAOB=45°,P是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,Q、R分別是。4、OB±

的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為42,-3）,8（4,一1）

設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m,0）,A/（0,。）,使四邊形的周長(zhǎng)

最短？若存在，請(qǐng)求出m=,n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

中考賞析：

1.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km、B

到直線(xiàn)X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向4B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民

設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線(xiàn)X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和Si=R4+

PB,圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A,連接BA交直線(xiàn)X于點(diǎn)P）,P到4B的距離

11

之和S2=PA+PB.

（1）求51、$2，并比較它們的大??；

（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2=%+PB的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路丫與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線(xiàn)丫的

距離為30km,請(qǐng)你在X旁和丫旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使P、4B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這

個(gè)最小值.

318

2.如圖，拋物線(xiàn)y=b2一二x+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P,自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直

線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到X軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F）,最后又沿直線(xiàn)運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)4求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng).

二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：

（一）動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)：

點(diǎn)B在直線(xiàn)n上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、兩點(diǎn)在直線(xiàn)兩側(cè)：

1n

12\

?----------?m,------示----m

?A?A

2、兩點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè):

（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)B在。。上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、點(diǎn)與圓在直線(xiàn)兩側(cè)：

三）、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線(xiàn)m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線(xiàn)m上要

求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

B

13

過(guò)A點(diǎn)作AC〃m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線(xiàn)m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即

為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

AE

\\/I

\\/:

\\/!

■---------??m?1/：?二

PQPQ\\

?

Bf

練習(xí)題

2、如圖1,在銳角三角形ABC中，AB=4\12,ZBAC=45°,ZBAC的平分//線(xiàn)交BC

于點(diǎn)D,M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值

為_(kāi)__________________________.

3、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=50,NBAC=45,BAC的平分線(xiàn)交BC于D,M、N分另！J是AD和AB上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？

A

NB

BDC

4、如圖4所示，等邊AABC的邊長(zhǎng)為6,AD；是BC邊上的中線(xiàn),M是AD上的動(dòng)

D

7、如圖5菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60°,E是AB的中點(diǎn),P是對(duì)角線(xiàn)AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為_(kāi)______________________

R

AD

10、如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線(xiàn)段

BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為_(kāi)___

n、如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是AC上p8勺/?

一動(dòng)點(diǎn).則P8+PE的最小值是______

R

12、如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上，且DM=2,N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN

的最小值為_(kāi)_______________________

13、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,NDAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分

別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為.

14、如圖7,在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角

線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ,則4PBQ周長(zhǎng)的最小值

為cm.(結(jié)果不取近似值).

15、如圖，的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上,OA±OB,ZAOC=E>0°,P是。B上一動(dòng)點(diǎn)，則R4+PC的最

小值是___________

16、如圖8,MN是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，NAMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為()

(A)2&(B)及(C)l(D)2

解答題

2k

1、如圖9,正比例函數(shù)y=5x的圖象與反比例函數(shù)y=7(kWO)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸

的垂線(xiàn)，垂足為M,已知三角形OAM的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合),且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸

上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

22

2、如圖，一元二次方程X+2X-3=0的二根xi,x2(xi<x2)是拋物線(xiàn)y=ax+bx+c與x軸的兩個(gè)交

點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)，且此拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(3,6).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P,對(duì)稱(chēng)軸與AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

3、如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,，AAOB

的面積是“耳.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)點(diǎn)A、0、B的拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在(2)中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C,使AAOC的

小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

318

4.如圖，拋物線(xiàn)y=『2—石)+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為0A的

點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)

為點(diǎn)E),再沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),

又沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F

標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng).

16

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形0ABe的邊0A在y軸的正半軸上，0C在x軸的正半軸上，

0A=AB=2,0c=3,過(guò)點(diǎn)B作BD±BC,交GA于點(diǎn)D.將NDBC繞點(diǎn)、B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y

軸的正半軸、X軸的正半軸于點(diǎn)E和F.

(1)求經(jīng)過(guò)4B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)8E經(jīng)過(guò)(1)中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方)，且PQ=1,要使四邊形BCPQ的周長(zhǎng)最小，求

出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，-3),8(4,—1)若C(a,0),D(a+3,0)是

x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)。為何值時(shí)，四邊形A80C的周長(zhǎng)最短.

7、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,

0A=3,0B=4,D為邊0B的中點(diǎn).

(1)若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè):

解析：延長(zhǎng)AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PA—P，B<AB,而PA—PB=AB此時(shí)最大,

因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè)：

A

解析：過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)

4點(diǎn)連接AB，交點(diǎn)直線(xiàn)m于P,此

■mB1

?時(shí)PB=PB',PA-PB最大值為

BABZ

練習(xí)題

2.直線(xiàn)2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是L

2.已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),(7,4),一輛汽車(chē)(看成點(diǎn)P)在x軸上行駛.試確定下列情況

下汽車(chē)(點(diǎn)P)的位置：

(1)求直線(xiàn)AB的解析式，且確定汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、B兩村距離之差最大？

(2)汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到A、B兩村距離相等？I，5(7,4)

4(2,2)

■

~o~p

1

1.如圖，拋物線(xiàn)y=—?2—*+2的頂點(diǎn)為4與y軸交于點(diǎn)B.

⑴求點(diǎn)八、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PB<AB；

⑶當(dāng)力—PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18

2.如圖，已知直線(xiàn)y=；x+l與y軸交于點(diǎn)4與x軸交于點(diǎn)D,

拋物線(xiàn)y=_lx2+bx+c與直線(xiàn)交于4E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

2

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M,使|4W—MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

(-2,—5)；點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⑴點(diǎn)P

在何處時(shí)，PA+PB的和為最小？并求最小值。⑵點(diǎn)P在何處時(shí),

IPA-PB|最大？并求最大值。

4.如圖，直線(xiàn)y=~\/LC+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,

點(diǎn)A為y軸正半軸上向一點(diǎn)，。人經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)0,直線(xiàn)BC交

于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過(guò)O,C,。三點(diǎn)作拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使線(xiàn)段PO與P。之差的值最大？若存

在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5、拋物線(xiàn)的解析式為丁=一/+2》+3,交x軸與A與B,交y軸于C,

⑴在其對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使/APC周長(zhǎng)最小，若存在，求其坐標(biāo)。

19

⑵在其對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q,使|QB-QC|的值最大，若存在求其坐標(biāo)。

6、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，0C=3,BC=2,取AB的中點(diǎn)M,連接MC,把△MBC沿x

軸的負(fù)方向平移0C的長(zhǎng)度后得到aDAO.

(1)試直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)

的該拋物線(xiàn)上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ_Lx軸于點(diǎn)Q,連接0P.

①若以0、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

②試問(wèn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|TO-TB|的值最

大？

7、如圖，已知拋物線(xiàn)Q的解析式為y=-x2+2x+8,圖象與y軸交于

D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上.

(1)求過(guò)頂點(diǎn)A的雙曲線(xiàn)解析式；

(2)若開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)Cz與。的形狀、大小完全相同，并且C?的頂點(diǎn)P始終在C1上，證明：拋物線(xiàn)C,一

定經(jīng)過(guò)A點(diǎn)；

(3)設(shè)(2)中的拋物線(xiàn)C2的對(duì)稱(chēng)軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)交于E點(diǎn)，當(dāng)D、0、E、F四點(diǎn)組成的

四邊形的面積為16.5時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線(xiàn)y=x上求一點(diǎn)M,使的值最大.

8、如圖，已知拋物)，=｝：+bx+c經(jīng)過(guò)A(3,0),B(0,4),(1).求此拋物線(xiàn)

解析式

(2)若拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)

(3)若點(diǎn)。是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以。為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)E、F、9問(wèn)在拋物線(xiàn)

的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,使得|PH-%I的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20

好題賞析：

原型：已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)，求R4+P8+PC的最小值.

四邊形A8C。是正方形，△A8E是等邊三角形,〃為對(duì)角線(xiàn)8。(不含8點(diǎn))

一點(diǎn)，將AW繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM.CM.

(1)求證：AAMB名AENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；

②當(dāng)〃點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)AM+BW+CM的最小值為S+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

變式：如圖四邊形ABC。是菱形，且/ABC=60,△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)(不含2點(diǎn))上任意

一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EMAM.CM,則下列五個(gè)結(jié)論中正確的是()

①若菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,則AM+CM的最小值1；

②￡\AMBmAENB；

③S四邊形AMBE=S四邊形ADCM；④連接AN,則ANJ_2E;

⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2小時(shí)，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

A.①②③B.②④⑤C.①②⑤

三、其它非基本圖形類(lèi)線(xiàn)段和差最值問(wèn)題

1、求線(xiàn)段的最大值與最小值需要將該條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是己知的,

則所求線(xiàn)段的最大值為其他兩線(xiàn)段之和，最小值為其他兩線(xiàn)段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線(xiàn)及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)。

21

3、線(xiàn)段之和的問(wèn)題往往是將各條線(xiàn)段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短以及點(diǎn)到線(xiàn)的

距離垂線(xiàn)段最短的基本依據(jù)解決。

1、如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)