中考二輪復(fù)習(xí)之線(xiàn)段和(差)的最值問(wèn)題

一、兩條線(xiàn)段和的最小值。

基本圖形解析：

一)、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,<PA+PB最??；

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

%

&

*-------------------------*m'

?

■B

B

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：A、N是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

A

B

m

2、在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè):

IL

"Q''e\

BB

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè),一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：A

?

?p\

.4

4

f“\\?/1

B1

一“

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

B/:

_?_B：

B'

（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一:已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使

得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.填空：最短周長(zhǎng)=

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA

周長(zhǎng)最短.

二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：

（-）動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)：

點(diǎn)B在直線(xiàn)n上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小（在圖中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、兩點(diǎn)在直線(xiàn)兩側(cè)：

2、兩點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè):

（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

2

點(diǎn)B在。。上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、點(diǎn)與圓在直線(xiàn)兩側(cè)：

三）、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線(xiàn)m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度

恒定,在直線(xiàn)m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

B

過(guò)A點(diǎn)作AC〃m，且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線(xiàn)m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為

P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題（運(yùn)用三角形兩邊之差小于

第三邊）

基本圖形解析：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；

3

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè):

A

B

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：

一、填空題：

1.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，尸是AC上一動(dòng)點(diǎn).則尸B+PE的最

小值是.

2.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上，ZAOC=60°,尸是上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是.

3.如圖，在銳角△ABC中，AB=42,ZBAC=45°,NA4c的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)。，M、

N分別是4。和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是.

第1題第2題第3題第4題

4.如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,AD//BC,AD=4,AB=5,BC=6,點(diǎn)尸是

AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸C+PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為.

5.已知A(—2,3),8(3,1),尸點(diǎn)在x軸上，若E4+P8長(zhǎng)度最小，則最小值為.若

B4—PB長(zhǎng)度最大，則最大值為.

6.如圖，MN是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，NAMN=30。，8為AN弧的中點(diǎn)，

P是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.

4

7、如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120。，點(diǎn)P,Q,K分別為線(xiàn)段BC,CD,

BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為

8、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,NDAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD

和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為.

二、綜合題：

1.如圖，ZAOB=45°,尸是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=1Q,。、R分別是04、08上的動(dòng)點(diǎn)，求

△PQR周長(zhǎng)的最小值.

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2,

—3）,8（4,—1）

設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)

M（m,0）,N（0,w）,使四邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求

出m=,n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

中考賞析：

1.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同

側(cè)，AB=50km、B到直線(xiàn)X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)

區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與

直線(xiàn)X垂直，垂足為尸），尸到A、B的距離之和圖（2）是方案二的示意圖

（點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是4,連接24交直線(xiàn)X于點(diǎn)P）,尸到A、B的距離之和邑=

PA+PB.

（1）求$2，并比較它們的大??；

（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2=B4+P8的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐

標(biāo)系，8到直線(xiàn)y的距離為30km,請(qǐng)你在X旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使尸、A、B、

。組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.

5

3]8

2.如圖，拋物線(xiàn)》=尹2—-丁x+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為0A的中點(diǎn)，

若有一動(dòng)點(diǎn)P,自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E),

再沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)尸)，最后又沿直線(xiàn)運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出這個(gè)

最短路程的長(zhǎng).

3、在x軸的正半軸上，0A=AB=2,OC=3,過(guò)點(diǎn)8作BO_LBC,交。4于點(diǎn)D^ZDBC

繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)￡和足

(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)BE經(jīng)過(guò)(1)中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，求C月的長(zhǎng)；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方)，且尸。

=1,要使四邊形BCP。的周長(zhǎng)最小，求出P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo).

4.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,—3),2(4,—1)若C(a,

0),D(a+3,0)是無(wú)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形A8OC的周長(zhǎng)最短.

5、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x

軸、y軸的正半軸上，0A=3,0B=4,D為邊0B的中點(diǎn).

(1)若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小

時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)若E、F為邊0A上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊

形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

6

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

1.直線(xiàn)2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大，則P點(diǎn)

的坐標(biāo)是L

2.已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),(7,4),一輛汽車(chē)(看成點(diǎn)P)在x軸上

行駛.試確定下列情況下汽車(chē)(點(diǎn)P)的位置：

(1)求直線(xiàn)AB的解析式，且確定汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、B兩村距離之差最大？

(2)汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到A、B兩村距離相等？

3.如圖，拋物線(xiàn)y=—%2—x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)8.

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PB<AB；

(3)當(dāng)以一尸8最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4.如圖，已知直線(xiàn)y=gx+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)。，拋物線(xiàn)y=2+°x+c

與直線(xiàn)交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M,使AM—MCI的值最

大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

5.如圖，直線(xiàn)y=-J§x+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)A為y軸

正半軸上的一點(diǎn)，OA經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)。，直線(xiàn)交。A于點(diǎn)Z).

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)過(guò)。，C,。三點(diǎn)作拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使

線(xiàn)段尸。與尸。之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)尸的坐標(biāo).若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

三、其它非基本圖形類(lèi)線(xiàn)段和差最值問(wèn)題

7

1、求線(xiàn)段的最大值與最小值需要將該條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其

他兩邊是已知的，則所求線(xiàn)段的最大值為其他兩線(xiàn)段之和，最小值為其他兩線(xiàn)段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線(xiàn)及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)。

3、線(xiàn)段之和的問(wèn)題往往是將各條線(xiàn)段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

最短以及點(diǎn)到線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短的基本依據(jù)解決。y

1、如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在無(wú)軸、f

y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，點(diǎn)8到原點(diǎn)的最大距離是()\

A,272+2B.2Mc?25/6D.6,1,N,

-'ai'x~

2、在RtAABC中,ZACB=90°,tanZBAC=1.點(diǎn)D在邊AC上(不與A,

C重合)，連結(jié)8D,尸為BD中點(diǎn).

(1)若過(guò)點(diǎn)D作DE±AB于E,連結(jié)CREGCE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則k=；

(2)若將圖1中的△?!￡>￡繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得。、E、8三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)產(chǎn)仍為8。中點(diǎn)，

如圖2所示.求證：BE-DE=2CF；

(3)若BC=6,點(diǎn)。在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線(xiàn)段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)廠始終為8。

中點(diǎn)，求線(xiàn)段CF長(zhǎng)度的最大值.

圖1圖2備圖

3、如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A(-l,0),與y軸交于

點(diǎn)C,與一次函數(shù)y=x+a交于點(diǎn)A和點(diǎn)D.

(1)求出a、b、c的值；

(2)若直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)存在點(diǎn)E,可使得4EAD面積最大，求點(diǎn)E的坐

標(biāo)；

(3)點(diǎn)F為線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F到(2)中的點(diǎn)E的距離與到y(tǒng)軸的距

離之和記為d,求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

好題賞析:

8

原型：已知：尸是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)，求R1+P8+PC的最小值.

例題：如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，"為對(duì)角線(xiàn)80（不含B點(diǎn)）

上任意

一點(diǎn)，將8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM,CM.

（1）求證：AAMBmAENB；

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為W+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

變式：如圖四邊形ABCZ）是菱形，且NABC=60,△ABE是等邊三角形，〃為對(duì)角線(xiàn)8。（不

含8點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM.CM,則下列

五個(gè)結(jié)論中正確的是（）

①若菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,則AM+CM的最小值1；

②AAMB沿4ENB；

③S囚WBE=S會(huì)"加命；④連接AN,則ANLBE；

⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2小時(shí)，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

A.①②③B.②④⑤C.①②⑤

中考二輪復(fù)習(xí)之線(xiàn)段和（差）的最值問(wèn)題

、兩條線(xiàn)段和的最小值。

9

基本圖形解析：

一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

（1）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

A.

4.

m

m

B

B

（2）點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè):

B

m

A、N是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

2、在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：

B

（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

10

1.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，尸是AC上一動(dòng)點(diǎn).則PB+PE的最

小值是.

2.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上，OA_LOB,ZAOC=60°,尸是。8上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是.

3.如圖，在銳角△ABC中，AB=42,ZBAC=45°,NBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,M、

N分別是A。和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是.

第1題第2題第3題第4題

4.如圖，在四邊形A8CA中，ZABC=9Q°,AD//BC,AD=4,AB=5,

8c=6,點(diǎn)尸是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為

5.如圖，是半徑為1的。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，ZAMN=3Q°,

B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值

為.

6.已知4(一2,3),8(3,1),尸點(diǎn)在無(wú)軸上，若E4+P8長(zhǎng)度最小，則最小值為.若

B4—PB長(zhǎng)度最大，則最大值為.

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使

得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.填空：最短周長(zhǎng)=

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)m、n

分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

1.如圖，ZAOB=45°,尸是NAOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,Q、R分別是04、OB

上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

U

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2,—3）,8（4,—1）

設(shè)N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)加⑺，0）,N（0,w）,使四

邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出加=,n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

中考賞析：

1.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同

側(cè)，AB=50km、B到直線(xiàn)X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)

區(qū)尸，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與

直線(xiàn)X垂直，垂足為尸），P到A、B的距離之和Sj=%+PB,圖（2）是方案二的示意圖

（點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是4,連接54安直線(xiàn)X于點(diǎn)P）,尸到A、8的距離之和邑=

PA+PB.

（1）求斗、邑,并比較它們的大小;

（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2=R1+PB的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐

標(biāo)系，8到直線(xiàn)Y的距離為30km,請(qǐng)你在X旁和丫旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使尸、A、B、

。組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.

E

3ig

2.如圖，拋物線(xiàn)》=產(chǎn)一下+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為0A的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P,自

M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上

的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)尸），最后又沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)廠

的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng).

二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：

（一）動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)：

點(diǎn)B在直線(xiàn)n上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小（在圖中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、兩點(diǎn)在直線(xiàn)兩側(cè)：

2、兩點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè):

（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)B在。。上運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）

1、點(diǎn)與圓在直線(xiàn)兩側(cè)：

13

三)、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線(xiàn)m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度

恒定,在直線(xiàn)m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

B>

B

過(guò)A點(diǎn)作AC〃m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線(xiàn)m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為

P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

練習(xí)題

2、如圖1,在銳角三角形ABC中，AB=4,ZBAC=45°,/BAC的平分

線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,M.N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值

為?

14

3、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=5j2,ZBAC=45,BAC的平分線(xiàn)交BC于D,M、

N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？

4、如圖4所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線(xiàn),M是

AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EMiCM的最小值為.

7、如圖5菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線(xiàn)AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為.

10、如圖，菱形ABCD中，AB=2,/A=120。，點(diǎn)P,Q,K分別為線(xiàn)

段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為

11、如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為2,E為的中點(diǎn)，尸是AC上一動(dòng)點(diǎn).則

PB+PE的最小值是

12、如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上，且DM=2,N是AC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為.

13、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,/DAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)

P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為.

14、如圖7,在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為

對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ,則4PBQ周長(zhǎng)的最小值

為cm.（結(jié)果不取近似值）.

15

15、如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上，OALOB,ZAOC=60°,尸是OB上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是.

16、如圖8,MN是半徑為1的。0的直徑，點(diǎn)A在。。上，ZAMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn)，

P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為()

(A)2(B)(01(D)2

解答題

1、如圖9,正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=(kWO)在第一象限的圖象交于A

點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M,已知三角形OAM的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

2、如圖，一元二次方程xz+2x-3=0的二根x,x(x<x)是拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c

1212

與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)，且此拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(3,6).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P,對(duì)稱(chēng)軸與AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

16

3、如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,),ZSAOB的面積是

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)點(diǎn)A、0、B的拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在(2)中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的

周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

31Q

4.如圖，拋物線(xiàn)'=尹2—亍x+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA

的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P,自"點(diǎn)處出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的

某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E),再沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)(設(shè)

為點(diǎn)尸)，最后又沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的總路程最

短的點(diǎn)E,點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng).

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，直角梯形0ABe的邊0A在y軸的正半軸上，OC

在x軸的正半軸上，OA=AB=2,OC=3,過(guò)點(diǎn)B作BO_LBC,交OA于點(diǎn)D將NOBC繞點(diǎn)

8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和足

(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)BE■經(jīng)過(guò)(1)中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，求C歹的長(zhǎng)；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取兩點(diǎn)P、。(點(diǎn)。在點(diǎn)P的上方)，且尸。=1,要使四邊形BCPQ

的周長(zhǎng)最小，求出P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo).

17

6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,—3),B(4,—1)若C(a,

0),。(“+3,0)是無(wú)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形A8OC的周長(zhǎng)最短.

7、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x

軸、y軸的正半軸上,0A=3,0B=4,D為邊0B的中點(diǎn).

(1)若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)若E、F為邊0A上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、

F的坐標(biāo).

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大;

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

B

解析：延長(zhǎng)AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P'B<AB,而PA

—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

18

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè):

A

A

*

解析:過(guò)B

直線(xiàn)

.m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

BB\連接AB，

交點(diǎn)直線(xiàn)m

于P,此時(shí)PB=PB\PA-PB最大值為AB'

練習(xí)題

2.直線(xiàn)2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大，則P點(diǎn)

的坐標(biāo)是t

2.已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),(7,4),一輛汽車(chē)(看成點(diǎn)P)在x軸上

行駛.試確定下列情況下汽車(chē)(點(diǎn)P)的位置：

(1)求直線(xiàn)AB的解析式，且確定汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、B兩村距離之差最大?

(2)汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到A、B兩村距離相等？

1.如圖，拋,物線(xiàn)尸一；x2—x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)用

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PB<AB-,

(3)當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖，已知直線(xiàn)y=；x+l與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)。，

拋物線(xiàn)>=；了2+云+。與直線(xiàn)交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于8、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,

0).

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)使必加一MCI的值最大，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo).

3、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(—4,—1)和(-2,-5)；點(diǎn)「是y軸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⑴點(diǎn)P在何處時(shí)，PA+PB的和為最??？并求最小

值。⑵點(diǎn)P在何處時(shí)，IPA—PBI最大？并求最大值。

4.如圖，直線(xiàn)y=—5尤+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)8,

點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，OA經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)。，直線(xiàn)BC交

QA于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)過(guò)0,C,。三點(diǎn)作拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使線(xiàn)段尸0與尸。

之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)尸的坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5、拋物線(xiàn)的解析式為y=-％2+2%+3,交x軸與A與B,交y軸于C,

⑴在其對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使力APC周長(zhǎng)最小，若存在，求其坐標(biāo)。

⑵在其對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q,使IQB—QCI的值最大，若存在求一

其坐標(biāo)。

x=1

6、已知：如圖，把矩形0CBA放置于直角坐標(biāo)系中，0C=3,BC=2,

取AB的中點(diǎn)M,連接MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移0C

的長(zhǎng)度后得到△DAO.

(1)試直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線(xiàn)上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)

P作PQ_Lx軸于點(diǎn)Q,連接0P.

①若以0、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試問(wèn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)T,使得ITO-TBI的值最大？

7、如圖，已知拋物線(xiàn)］的解析式為y=-x2+2x+8,圖象與y軸交于D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲

線(xiàn)上.

(1)求過(guò)頂點(diǎn)A的雙曲線(xiàn)解析式；

(2)若開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)C與C的形狀、大小完全相同，并且C的頂點(diǎn)P始終在C1上，

212

證明：拋物線(xiàn)C一定經(jīng)過(guò)A點(diǎn)；

2

(3)設(shè)(2)中的拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)交于E點(diǎn)，當(dāng)D、0、

2

E、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線(xiàn)y=x上求一點(diǎn)使

MD-MPl的值最大.

8、如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(3,0),B(0,4),

(1).求此拋物線(xiàn)解析式

(2)若拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)

(3)若點(diǎn)。是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以。為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)￡、

F、H,問(wèn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)尸，使得必|的值最大？若存在，求

出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

3

好題賞析：

原型：已知：尸是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)，求R1+P8+PC的最小值.

例題：如圖，四邊形ABC。是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角

線(xiàn)BD(不含8點(diǎn))上任意

一點(diǎn)，將繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM.CM.

(1)求證：△AMBQdENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)AM+8M+CM的最小值為，§+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

變式：如圖四邊形A8C￡＞是菱形，且/ABC=60,是等邊三角形，/為對(duì)角線(xiàn)&X不

含8點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM.CM,則下列

五個(gè)結(jié)論中正確的是()

①若菱形48cA的邊長(zhǎng)為1,則AM+CM的最小值1；

②八AMBmAENB；

③SWBE=S皿皿爐④連接AN,則甌

⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2小時(shí)，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

A.①②③B.②④⑤C.①②⑤

三、其它非基本圖形類(lèi)線(xiàn)段和差最值問(wèn)題

1、求線(xiàn)段的最大值與最小值需要將該條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其

他兩邊是已知的，則所求線(xiàn)段的最大值為其他兩線(xiàn)段之和，最小值為其他兩線(xiàn)段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線(xiàn)及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)。

3、線(xiàn)段之和的問(wèn)題往往是將各條線(xiàn)段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

最短以及點(diǎn)到線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短的基本依據(jù)解決。

1、如圖，在△ABC中