8.7

曲面及其方程curvedsurfaceanditsequation

1.曲面方程的概念《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

8.7.1一般曲面如果曲面S與三元方程F(x,y,z)0有下述關(guān)系:

曲面是空間直角坐標(biāo)系中具有某種幾何性質(zhì)的點的軌跡.

(1)曲面

S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)0;

(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)0,則,稱曲面

S為方程F(x,y,z)0的圖形,稱F(x,y,z)0為曲面S

的方程.要解決兩個基本問題:

《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))建立了空間曲面與其方程的聯(lián)系,就可以通過方程的解析性質(zhì)研究曲面的幾何性質(zhì),也可以通過圖形直觀理解方程.

(1)已知曲面S上的點所滿足的幾何條件,建立曲面的方程.

(2)已知曲面的方程,研究曲面的幾何形狀.

解

在球面上任取一點

M(x,y,z),則

|M0

M|

R,由于《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

例

1

設(shè)一球面的半徑為R,球心在點M0(x0,y0,z0).求此球面的方程.所以兩邊平方,得球面上的點的坐標(biāo)所滿足此方程,不在球面上的點的坐標(biāo)都不滿足此方程,所以這個方程就是所求的球面方程.

例如,從《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

如果能從曲面方程

F(x,y,z)0

中解出

z(或y,x),則得到曲面的顯式表示

z

f(x,y)(或y

g(z,x),x

h(y,z)).解出表示中心在(x0,y0,z0)半徑為R的上(下)半球面.

設(shè)C是yOz

坐標(biāo)面上的曲線,其方程為

f(y,z)0,把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面,求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

2.旋轉(zhuǎn)曲面平面上一條曲線繞著同一平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

設(shè)

M1(0,y1,z1)為曲線

C上任意一點,則有

f(y1,z1)0,曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)時,M1點隨曲線繞z軸轉(zhuǎn)到的位置

M

(x,y,z).在旋轉(zhuǎn)過程中,動點M的z坐標(biāo)等于z1,且M到z軸的距離等于M1到z軸的距離,即代入f(y

1,z

1)0,得《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))xyzOMM1C

z

z1,

這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

同理,曲線

C繞

y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為對zOx

坐標(biāo)面上的曲線g(z,x)0繞

z軸和x

軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面,以及

xOy

坐標(biāo)面上的曲線h(x,y)0繞

x軸和y

軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面,可類似討論其方程.

解

繞

x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

例

2

將

xOz

坐標(biāo)面上的橢圓

分別繞

x軸和

z軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.繞

z軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

這兩種曲面都稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.或

z2

k2(x2

y2),其中kcot

.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

例3

直線L繞另一條與L相交的定直線旋轉(zhuǎn)一周,所得的旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線的交點稱為圓錐面的頂點,兩直線的夾角

(0<

<)稱為圓錐面的半頂角.建立頂點在坐標(biāo)原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為

的圓錐面的方程.xyzO

解

在

yOz

坐標(biāo)面上,直線

L的方程為此直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所生成的圓錐面方程為

不含z的方程F(x,y)0,表示一個母線平行于z軸,以xOy

平面上曲線F(x,y)0為準(zhǔn)線的柱面.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

3.柱面平行于定直線并沿定曲線C移動的動直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,動直線L叫做柱面的母線.xyzOCL

不含

x

的方程

H(y,z)0表示母線平行于

x軸,以yOz

平面上曲線H(y,z)0為準(zhǔn)線的柱面.不含

y的方程G(z,x)0表示母線平行于

y軸,以zOx

平面上曲線G(z,

x)0為準(zhǔn)線的柱面．《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

例如,方程y2

2x表示母線平行于

z軸的柱面,xOy

坐標(biāo)面上的拋物線是它的一條準(zhǔn)線.稱這個柱面為拋物柱面.xyzOy2

2x

表示母線平行于

z軸的橢圓柱面.

表示母線平行于

z軸的雙曲柱面.

圓柱面,拋物柱面,橢圓柱面和雙曲柱面的方程都是二次的,所以這些柱面統(tǒng)稱為二次柱面.

x2

y2

R2

表示母線平行于

z軸的圓柱面.

當(dāng)方程F(x,y,z)0的左邊是關(guān)于x,y,z

的多項式時,稱由方程F(x,y,z)0表示的曲面為代數(shù)曲面,多項式的次數(shù)稱為代數(shù)曲面的次數(shù).一次方程表示的曲面叫一次曲面,二次方程表示的曲面叫二次曲面.

《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

8.7.2二次曲面

1.曲面的分類

常見的二次曲面有:

橢球面

:(a,b,c為正數(shù)).稱a,b,c為橢球面的半軸.

《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

雙葉雙曲面

:

(a,b,c為正數(shù)).

雙曲拋物面

(馬鞍面):

(p,q為正數(shù)).

橢圓拋物面

:

(p,q同號).

二次錐面

:(a,b,c為正數(shù)).

單葉雙曲面

:

(a,b,c為正數(shù)).

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的三組平面與曲面相截,考察其交線(即截痕)的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的全貌.這種方法叫做截痕法.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

2.二次曲面的圖形例4畫出橢球面

即|x|

a,|y|b,|z|c.的圖形.

解先確定

x,y,z

的取值范圍,由方程可知《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))說明橢球面包含在一個以原點為中心的長方體內(nèi),這個長方體的六個面分別落在x

a,y

b,z

c平面上.

橢球面與三個坐標(biāo)面的交線為橢圓xyz《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))當(dāng)|z1|由0逐漸增大到c時,橢圓截面由大到小,最后縮成一點.

用平行于

xOy

面的平面

z

z1(|z1|c)截橢球面,截痕為這是z

z1

平面上的橢圓,它的中心在z軸上,兩個半軸分別為

以平面

y

y1(|y1|b)或

x

x1(|x1|a)截橢球面,可得與上述類似的結(jié)果.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))它可以看成yOz

平面上的橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面,稱其為旋轉(zhuǎn)橢球面.

當(dāng)兩個半軸相等,例如

a

b,方程成為

當(dāng)三個半軸都相等時,得球面方程《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))的圖形.

例5

畫出單葉雙曲面xyz

解

(1)用平面z

z1

截曲面,截痕為這是z

z1

平面上的橢圓,其中心位于z軸上,兩個半軸分別為

z1

0時,截得的橢圓最小,隨著

|z1|的增大,橢圓也在增大.《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))當(dāng)|y1|<b時,截痕是平面y

y1上的雙曲線,其實軸平行于x軸,虛軸平行于z軸,實半軸和虛半軸分別為

(2)用平面y

y1

截曲面,截痕為當(dāng)|y1|>b時,截痕仍是y

y1平面上的雙曲線,實軸平行于z軸,虛軸平行于x軸,實半軸和虛半軸分別為《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))

(3)用平面x

x1

截曲面,得到的結(jié)果與(2)相似.

當(dāng)

y1

b時,截痕是一對相交直線《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))一般,曲面的參數(shù)方程為含兩個參數(shù)

u,v的方程組

:

3.二次曲面的參數(shù)方程用參數(shù)方程表示曲面在應(yīng)用和作圖上有一定的優(yōu)勢.

其中u,v屬于uOv

平面上區(qū)域D.

《高等數(shù)學(xué)》課件(第八章第七節(jié))稱上式為球面x2

y2

z2

R2的參數(shù)方程.xyzMPO

考查球面方程x2

y2

z2

R2.

設(shè)M(x,y,z)是球面上一點,以

(0

)表示從z軸正向到的轉(zhuǎn)角,設(shè)P

是M在xOy平面上投影,以

(0