海南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考全真模擬卷（六）

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（3+41”=51,則z的共軌復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

K答案XD

（解析H???（3+4i）z=5i,

.5i_（3-4i）-5i43.

,?z―3+4「（3+4i）（3-4i）一丁引

.__43.

??z--------i,

55

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：D.

2.已知集合4={%|2<%<切2-〃2+7,%€?4*},B={%|4<%<7},若中恰有兩

個元素，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（-1,0）B,（0,1）C.[0,1]D.R

K答案工D

（解析》由中恰有兩個元素，可知Ac3={5,6},

故根2+7>6，即〃，一+1>0.

因為z\<0,

故〃/-+1>0在R上恒成立，

故實數(shù)機的取值范圍為R.

故選：D.

3.已知x>。，貝『七=1”是“2x+亍]的二項展開式中常數(shù)項為60”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

（答案』B

r6r

（解析》2x+亍］的展開式的通項為&=G（2x）61［亍］=C6a2-'-x^.

令6—5廠=0,得廠=4,貝彳2x+亍1的常數(shù)項為C>/.22=60a4=60,則。=±1,

?..“。=1”是，2%+?。莸亩椪归_式中常數(shù)項為60”的充分不必要條件.

故選:B.

4.如圖，點P,A,B均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則2pA）=（）

A.-8B.-4C.OD.4

［答案XA

K解析改口圖，以點尸為坐標原點，建立平面直角坐標系，則24=（1,-3）,。3=（6,-2,）：,

.-.PB-2PA=（6,-2）-（2,-6）=（4,4）,

PA(PB-2PA)=(1,—3)?(4,4)=—8,

故選:A.

5.等差數(shù)列｛g｝的前〃項和為5〃，已知％0=7百0=4。，則｛〃〃｝的前100項中，?！檎?/p>

數(shù)的各項之和為（）

A.1089B.1099C.1156D.1166

K答案』c

［解析］設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,

「q+9d=7N=1

由％o=7,S|o=4O,,解得：s2>

10q+45d=40J=—

”-122〃+l

所以4=l+（n—l）x—=--—.

要使4為整數(shù)，則2"+l是3的倍數(shù)，又l<“<l00,〃eN*,

所以可令“=3k—2（1<女<34,左eN*）.

記｛%,｝的前100項中的整數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為｛d｝,

則4=2（3/［2）+1=2/_1（］?］434,左eN*）,

所以｛4｝的前34項的和%=34*：+⑺=1156

故選：C.

6.在一次立體幾何模型的實踐課上，老師要求學(xué)生將邊長為4的正方形A8CD沿對角線AC

進行翻折，使得。到達DC的位置，此時平面O'AC，平面B4C，連接應(yīng)）'，得到四面體

ABCD',記四面體ABCD'的外接球球心為O,則點。到平面A5D'的距離為（）

A.班B.垣C.76D.出

33

K答案XA

（解析》根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接。8,OD',

則。4=O8=OC=O￡>'=2后，顯然四面體ABCD'的外接球球心。為AC的中點.

由于平面DAC±平面BAC,且交線為AC,OD'LAC,OB±AC,

所以O(shè)D'_LOB,

又A。'=3。'==4,S人4的，=走X42=4百?

7

▼Z\ADU4▼

設(shè)點o到平面ABiy的距離為h,則由VO_ABD,=VD._AB0,

R1^-XAX4V3=-X2V2X-X2V2X2A/2,解得八=嶇,

3323

故選:A.

7.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線。：爐=2px(p>0)的焦點為尸，過點尸且傾斜

角為120。的直線/與拋物線C交于A,8兩點，其中點A在第一象限，若|A到=8,則OBF

的面積為()

A373R9后「373973

\_X.-----

442

K答案XB

K解析》根據(jù)題意得直線/：y=-V3|x

設(shè)A（』,％）,B（X2,%）,%>0,為<°，則X+%2=gP，

8

故IAB|=玉+々+P=§P=8,

19

解得p=3,代入（*）式，解得芯

9

將9=2代入直線/的方程中，

解得為=-3后,

故SMBF=9"3yB='

故選:B.

8.若a=ln-,/?=—,c=《e—l,則”,仇c的大小關(guān)系為()

34

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

K答案1c

k解析H設(shè)〃x)=ln(x+l)—號,

Ji\L

11x

則尸(x)=」-----1=^^,

人JJx+1(x+1)2(x+1)2

.,.尤>0時，f'{x}>0,/(X)在(0,+CO)上單調(diào)遞增.

〉/(0),即Ing—)>0,

.?41

??In——>——,a>b.

34

設(shè)g(x)=e*-1-ln(x+1),則g'(x)=eT———,

x+1

.?.當x>0時，g'(x)>o,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

g(0)，Ve-l-ln1>0,

/.y/c—1>In—,即c>a..

3

綜上，c>a>b.

故選：C.

二、選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.68,60,62,78,70,84,74,46,73,81這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是78

B.若一組數(shù)據(jù)石,?，%,的方差為0.2,則5為,5々，?,5x”的方差為1

C,樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負性

D,若變量JA^（172,o-2）,P（172<^<180）=0.4,則P（J<164）=0.1

（答案］CD

(解析力對于A,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：46,60,62,68,70,73,74,78,81,

又10x80%=8,第8位數(shù)字是78,第9位數(shù)字是81,

78+8]

故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是------=79.5,故A錯誤；

2

對于B,5%,5々,,5x”的方差為5?><0.2=5，故B錯誤;

對于C,樣本相關(guān)系數(shù)廠的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性，當/?>()時，成對樣本數(shù)據(jù)正相

關(guān)，當廠<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)，故C正確；

對于D,：J~N(172,b2),尸(172<J<180)=0.4,

/.P化<164)=P記>180)=0.5-P(172<^<180)=0.5-0.4=0.1,

故D正確，

故選：CD

10.己知函數(shù)/(x)=Asin(0x+。"A〉0,o>0,解的部分圖象如圖所示，下列說法

A./(x)=2sin^2x+jj

B.直線x=q是函數(shù)/(力的一條對稱軸

C.當時，x的取值范圍為[防t,防t+m]

D.若方程/(力=相在-上有兩個不相等的實數(shù)根，則機的取值范圍為卜2,-

(答案』AD

32兀

K解析》對于A,由圖可知A=2,7至

CD=2,

/(x)=2sin(2x+。).

又方+臼=2,

即sin1《+°)=l,

兀兀

—(D——\-C27kli，左7￡Z~,

62

71

(p=—+2hi,kcZ.

?：|^|<p.-.^=j,Z./(x)=2sinf2x+-|1,故A正確;

對于B,/=2sin]—,故B錯誤;

對于C,/(x)>1,即sin[2x+1]〉g,

jrjr5IE

：.-+2kn<2x+-<—+2hi,k^Z,

636

jrjr

解得----Hku<X<—Fku,左￡Z,故C錯誤；

124

,7t?,兀27r7T

對于D,當工￡-—,0時,2%+§￡—--,J.

JT2兀71

當2%飛-5時，/（“）單調(diào)遞減;

兀，717r

當2x+§e—萬,§時，Ax）單調(diào)遞增.

jr

...要使方程〃X）=7律在-于。上有兩個不相等的實數(shù)根,

則加式一2,—Q],故D正確.

故選：AD.

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是

其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為必+：/+今=

ajx2+y2,a>0>圖形如圖所示.當。=1時，點《（玉,%）,在這條心形線C

上，且為々/0,則下列說法正確的是（）

A.若0片〃0鳥，則出國=2

B.若0PJ/0P。,貝制閭=1

C.|0制+|0閭<4

D.C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）

（答案1ACD

K解析》依題意，心形線C的直角坐標方程為f+/+y=，肥+/，

過原點0（0,0），由OPX//OP2,可知斗鳥三點共線，

可設(shè)直線*「比，由卜2+y2+y=7^7，

y-tx

消去y,得（1+一）%2一J1+/2國+比=0.

不妨設(shè)再＞。,％2＜。，

則丫_J1+＞t_-71+r2-t

%—1+7必一FP—.

|=J1+/2.|/_勺1=Jl+1.^^=2,故A正確;

|o^|.|0^1=7177.

當20時，I。用故B錯誤；

設(shè)點P(x,y)在心形線C上，ZPOx=a,角。以x軸非負半軸為起始邊，

則心形線C方程轉(zhuǎn)化為|OPF+1OP|sina=\OP\,

gp|OP|-(|OP|+sin?-l)=0,

|(?P|=l-sina<2,又玉/彳0,

.?.|Q制+|0閭<4,故C正確；

由|0尸|=商+/《2,可知一2.yW2.

2

令t=7%+/(?>0)，則心形線C的方程可化為——r+y=0,A=l—4y20：,

C1

—2WyW—,

4

當y=0,r—r=0,.」=0或t=l,進而可得％=±1或。，

當y=-1時，方程無整數(shù)解；

當y——2時，t2—2——2,故尤=0

二C上有4個整點(―1,0),(1,0),(0,0),(0,—2),故D正確,

故選:ACD.

三、填空題

12.已知函數(shù)/(x)=alnMawO),過原點作曲線y=/(%)的切線/,則切線/的斜率為

k答案》-

e

K解析』根據(jù)題意得，f'(x)=~,設(shè)切點坐標為(％,陽)，則/'(/)=’■，

XX0

a/、

所以切線/的方程為〉=一(》一%)+為，

%

將點（0,0）代入，可得0=色（0-%）+%,整理得%=a，

故aln/=〃，解得與=e,

故/@）=處,

e

即切線/的斜率為q.

e

故［答案U為：一.

e

2

13.設(shè)耳，鳥分別為橢圓C：土+/=1的左、右焦點，。為坐標原點，點P在C上，若

4-

\PO\=43,則心的內(nèi)切圓的面積為.

K答案X（7-43）兀

K解析I不妨設(shè)/可「工=”,歸國=私歸月|=”，

則加+〃=4.

在例中，由余弦定理得，222

△P/（IFXF2|）=12=m+n-2mncos0.

由PO2=PF1+PF2,且|尸@=百，

<2J

—r-c加2+/+2mncos6

可得3二-------------------，

4

即m2+n2+2mmcos8=12,

所以cos6=0,N4尸耳=90。，

所以內(nèi)切圓半徑為此包孚二L出J二2一6，

所以心的內(nèi)切圓的面積為（7—4』卜.故（答案》為：（7-473）71

14.己知數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，且乙=￡--“?力0）,則實數(shù)r的取值范圍為.

K答案U|,+°0|

K解析》???數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列,

an<a『i("22),即。_一片,

44

,1

化簡得〃-2?—1)〉—.

4

當r<o時，r—Ivo,/-的值有正有負，

,—1)>—1不恒成立；

4

當0<fWl時，/-1<0,〃-2>0，

.."0-2(/—1)〉—不成立；

4

當f>l時,r-l>0,tn-2>0

由題意得，［/"2Q—1)］.>—.

注意到函數(shù)/(力=f2(r-l)在［2,+8)上單調(diào)遞增,

故當〃=2時，1)取得最小值，

即有7—1>—,解得t>—,

44

??.實數(shù)/的取值范圍為[i+s].故K答案》為：

四、解答題

A+C

15.已知二ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為mb,c,且bsin(5+C)=asin―-一

(1)求&

(2)若點。在AC上，且人￡>=5￡)=2￡>。，求色.

C

,A+C.TI—B

解：(1)VA+B+C=71,Asin(B+C)=sinA,sin------sin-----

22

.A+C7.Ti-BB

V/?sin(B+C)=asin-----,..bsmA=asm-----—ClCOS—,

222

B

由正弦定理得，siiiBsinA=sinAcos—,

2

B

*.*0<A<TI,sinAwO,即sinB=cos—,

2

BBB

由倍角公式得2sin—cos—=cos—.

222

.cBTIB；.sin心則有0=5.

*.*0<—<一,<*.cos—wM0,

2222226

故

(2)?：AD=BD=2DC,

：.BD=AD=-b,

3

221.2

BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,

3333

A

4/

=曰朋1+：朋,3。卜053+1,。]，即=（c2+.cax；+[a2,

整理得82=7。2+;ca+a?,又由余弦定理，b2-a2+c2-2accosB>

42

?2,212,1,2

??a+c—ac——cH—ca+a,

42

口323a1

Bpn——c———etcf—————.

42c2

16.2023年杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個國家和地區(qū)的奧委

會代表參會.某校想趁此機會帶動學(xué)生的鍛煉熱情，準備開設(shè)羽毛球興趣班，在全校范圍內(nèi)

采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，調(diào)查學(xué)生是否喜歡羽

毛球運動，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.

□不喜歡□喜歡

（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)。=0.010的獨立性檢驗，推斷

是否可以認為該校學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運動有關(guān)聯(lián)；

是否喜歡羽毛球運動

性別合計

是否

男生

女生

合計

（2）已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取30

名學(xué)生，設(shè)其中喜歡羽毛球運動的學(xué)生人數(shù)為X,求P（X=。取得最大值時的左（keN*）

值.

附：

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式：

2n(ad-bc\廿上7,

Z—、/「、，其中77—Q++C+

(za+b)(c+d)(c+c)(b+d)

解：（1）由題意，根據(jù)等高堆積條形圖，完成2x2列聯(lián)表如下:

是否喜歡羽毛球運動

性別合計

是否

男生7525100

女生5545100

合計13070200

零假設(shè)為

：該校學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運動沒有關(guān)聯(lián).

200x(75>45-55x25)2

x8.791>6.635=x

100x100x130x700010

???依據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗,

我們推斷“°不成立，即能認為該校學(xué)生喜歡羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián).

13013

(2)由列聯(lián)表可知，該校學(xué)生喜歡羽毛球運動的頻率為一=—

20020

?.5eN*，，當左=20時,尸(X=@取得最大值.

17.如圖，在四棱柱ABC。-中，四邊形為菱形，四邊形ABCD為矩形,

AB=4,BC=254招用=60。，二面角R-CD-A的大小為60。，M,N分別為

BC,G。的中點.

(1)求證：ZNMC=90°；

(2)求直線A4與平面3CN所成角的正弦值.

(1)證明：取AD的中點O,連接OM,ON,AN,DN,

四邊形ABB^為菱形,A3=4,4相用=60°.

???由棱柱的性質(zhì)可得：四邊形DCGA是菱形，邊長為4，/。。1￡=60。.

又點N為GA的中點，.[DN=2Q，且。N_LCD.

又'四邊形ABC。為矩形，BC=2B

AD±CD,AD!IBC,AD=273，

故NMM即為二面角2—CD—A的平面角，則NNZM=60°,

所以△ADN為等邊三角形，ONJ_A￡),

又：在矩形ABC。中，點M為8C的中點，點。為AD的中點，??.ADLOM,

又:OMON=O,QVu平面MON,OMu平面MON,,AD_L平面MON,

又，跖Vu平面MON,，AD_LACV,

又?.AD//BC,-BCLMN,故ZWC=90°.

(2)解:由(1)可知，ADICD,DNVCD,

ADcDN=D,ADu平面ADN,NDu平面A￡W,CD_L平面ADN,

又】CDu平面ABC。，二平面AOVJ_平面ABC。，

又；平面ADNI平面ABCD=AD,ONu平面ADN,且ON_LAD,

，QV_L平面ABC。，故OA,OM,ON兩兩相互垂直，

以。為原點，以O(shè)A,OM,ON所在直線分別為尤，y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則6(百,4,0),C(-V3,4,0),N(0,0,3),￡(0,2,3),

故CB=(2百,0,0),CN=(省,—4,3),AAl=CC1=(73,-2,3),

r,、CB-n=2yf3x=0

設(shè)平面BCN的法向量〃=(%,%z),貝叫廣，

CN?〃=A/3X-4^+3Z=0

取z=4,則〃=(0,3,4),

記直線A4與平面BCN所成角為0,

|A4j-n|

|-6+12|3

則sin6=cos(A4j,n

|A41HH—V3+4+9xV9+16.10

3

故直線AA,與平面BCN所成角的正弦值為一.

10

18.已知雙曲線C：=—==1缶＞04＞0）的一條漸近線方程為y=右焦點為

ab

F（AO）.

（1）求C的標準方程；

（2）過點尸且相互垂直的兩條直線/和/'分別與C交于點A,8和點尸，Q,記A5PQ的

中點分別為M，N,求證：直線過定點.

解：（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c,

—=v212

ClCl—1

根據(jù)題意得＜C=G,解得=2,

a2+b2=c2卜=

3

2

所以c的標準方程為V-乙=1；

2

（2）當直線/和/'斜率均存在時，

1

設(shè)直線/的方程為x=my+g（m?0；),A(&yJ,B(x2,y2),中點〃(x0,九)，

x=my+y/3

由],丫2,消去X,得（2療一

)y2+46my+4=0,加w±—^-,

V—匕=1\

[2

26m_r-_G

貝|」八=16。/+1）＞0,為=----9—‘九o—+73=------—，

2m2-1002/n2-l

,,V326m'

故M—c-二一chI；

、2m2—12m2-1,

設(shè)直線/'的方程為x=〃y+6(〃W土孝且"0),「(父，4),°(",為')，中點

同理可得N

V3m22^/3m、

因為加〃二一1,所以根12—加2，2—加2)

當％0=/0'時,m=±l,此時/0=/0'=—百'直線MN的方程為