押遼寧卷第20-21題押題方向一：銳角三角函數(shù)解直角三角形3年遼寧真題考點命題趨勢2023年丹東中考第23題方位角從今年的遼寧省中考來看，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是中考中的必考題型，一般以解答題的形式出現(xiàn)，而且最近出現(xiàn)了一些和實際操作相關(guān)綜合題；預(yù)計2024年遼寧卷還將考察，熟練掌握基礎(chǔ)知識點，避免失分。2023年盤錦中考第21題仰、俯角2021年遼寧中考第21題坡度坡角1．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

2．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當他路過A，B兩點時，一架無人機從空中的C點處測得A，B兩點的俯角分別為30°和45°，AB=40m，BD=20m，∠BDF=159°，點A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無人機到平路DF的距離，求CE的長．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin21°≈0.36，

3．（2022·遼寧·中考真題）數(shù)學(xué)活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC⊥AM于點E，在A處測得大樹底端C的仰角為15°，沿水平地面前進30米到達B處，測得大樹頂端D的仰角為53°，測得山坡坡角∠CBM=30°（圖中各點均在同一平面內(nèi)）．(1)求斜坡BC的長；(2)求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43理解題目背景：首先，仔細閱讀題目，理解題目所描述的實際背景和問題要求。識別出題目中的關(guān)鍵信息，如角度、邊長、高度等。建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)題目描述，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。構(gòu)造直角三角形，并確定已知和未知的邊和角。利用銳角三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，建立方程或不等式。應(yīng)用三角函數(shù)知識：根據(jù)題目中的條件，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)（正弦、余弦、正切）進行計算。如果需要，可以使用三角函數(shù)的特殊值或基本公式進行簡化。解方程或不等式：解出建立的方程或不等式，得到未知量（如邊長、角度）的解。注意檢查解的合理性，確保符合題目中的實際條件。驗證答案：將求得的解代入原題目中，檢查是否符合題目要求。如果有條件，可以使用其他方法或工具進行驗證。注意單位換算：在實際應(yīng)用中，單位可能不同（如米、厘米、度、弧度等）。在計算過程中，要注意單位換算，確保計算結(jié)果的單位與題目要求一致。多練習(xí)：通過大量的練習(xí)，熟悉各種類型的應(yīng)用題目和解題方法1．一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當按壓柄△BCD按壓到底時，此時(1)求BD旋轉(zhuǎn)到BD(2)求點D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.952．2012年廣東陸豐漁政大隊指揮中心（A）接到海上呼救：一艘韓國貨輪在陸豐碣石灣發(fā)生船體漏水，進水速度非常迅猛，情況十分危急，18名船員需要援救．經(jīng)測量貨輪B到海岸最近的點C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′（如圖1）：①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點D，然后再派沖鋒舟前往B．已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．(sin(1)通過計算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時間忽略不計）？(2)事后，細心的小明發(fā)現(xiàn)，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應(yīng)是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點P處，點P滿足cos∠BPC=23①利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)cos∠BPC=23，計算出汽車行AP加上沖鋒舟行②在線段AC上任取一點M；然后用轉(zhuǎn)化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長．3．天柱塔，又名天中塔，駐馬店市標志性建筑，是一個地方的文化象征．如圖，某校興趣小組想測量天中塔AB的高度，塔前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米，它的坡度i=1:3．在離C點60米的D處，用測角儀測得塔頂端A的仰角為42°，測角儀DE的高為1.5米，求塔AB的高度約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan4．如圖1是某地公園里的一座紀念碑，將其抽象為圖2，已知∠A=120°，∠B=106°，∠C=128°，∠D=126°，AE=600cm，DE=400

(1)求證：AB∥(2)求紀念碑的高度．5．某學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣小組要測大樹BC的高度，他們第一次在點A測得大樹頂端B的仰角為45°，然后從距A點水平距離為9米高3米的平臺上的D點處測得樹頂端點B的仰角為22°．依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈

6．“風(fēng)電”是未來全球最重要的清潔能源之一，在我們的身邊也經(jīng)常能見到“風(fēng)電”的身影，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一架風(fēng)力發(fā)電機塔桿高度的活動報告如下：活動目的測量風(fēng)力發(fā)電機的塔桿高度測量工具無人機、皮尺等測量示意圖說明：塔桿PD安裝在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺測量出CD的長度，利用無人機分別在A點、B點（B點在A點的正上方）測量出塔桿頂端P的仰角和俯角測量數(shù)據(jù)斜坡CD的坡角30°CD的長度18米AB的長度53米點A處測量的仰角45°點B處測量的俯角18°請利用表中提供的信息，求風(fēng)力發(fā)電機的塔桿高度PD．（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，7．從2024年1月1日起，國務(wù)院、中央軍事委員會頒布的《無人駕駛航空器飛行管理暫行條例》正式實施，非經(jīng)營性活動的微型無人機適飛空域高度不超過50米．如圖，在水平地面上選擇觀測點A和B，無人機懸停在C處，此時在A處測得C的仰角為37°；無人機垂直上升10m懸停在D處，此時在B處測得D的仰角為63°．AB=20m，點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點在CD的同側(cè)．請你判斷此次無人機起飛是否在允許的范圍內(nèi)．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan63°≈2.08．位于衛(wèi)輝市東南隅的鎮(zhèn)國塔，是河南省重點保護文物．鎮(zhèn)國塔為七層六角樓閣式磚塔，塔每層的六個角上都懸掛著一個風(fēng)鈴，風(fēng)吹起的時候叮當作響，悅耳動聽．某數(shù)學(xué)小組在老師的指導(dǎo)下，測算鎮(zhèn)國塔的高度．如圖，已知AD=2m，在點D處測得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為33°，自A向鎮(zhèn)國塔走30m到達點B，測得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為60°（點A，B，C在一條直線上）．則數(shù)學(xué)小組測算的鎮(zhèn)國塔的高度CE是多少？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin9．綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量建筑物的高度．如圖，建筑物DE前有個斜坡AB，已知∠BAH=30°,AB=12m某學(xué)習(xí)小組在A處測得廣告牌底部D的仰角為45°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為27°，廣告牌CD=3m(1)求點B到地面距離BH的長；(2)設(shè)建筑物DE的高度為?（單位：m）；①用含有?的式子表示線段EH的長（結(jié)果保留根號）；②求建筑物DE的高度（tan27°取0.5,10．閱讀下列材料，回答問題．任務(wù)：利用浮球測量一個玻璃棧道的高AB，玻璃棧道橋面為透明玻璃，可觀測到玻璃棧道下方的物體．如圖1，棧道建設(shè)在兩山體之間，棧道下方為河面，玻璃棧道與河面平行，浮球A在玻璃棧道正下方的河面上．工具：如圖2，工具有一把皮尺（測量長度小于AB）、一臺測角儀及一架無人機．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離，測角儀的功能是測量俯角的大?。纾喝鐖D3，測角儀可測得∠POQ的度數(shù)，測角儀的高度忽略不計．小明利用無人機測量玻璃棧道的高AB，其測量和求解過程如下．測量過程：如圖4，任選玻璃棧道上的一點M，從橋邊（與橋高度相同）釋放無人機，無人機豎直勻速下降至水面N處停止下降，無人機的下降速度為vm/s求解過程：由題意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四邊形ABMN為①，∴AB=MN=②m．

(1)補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容．(2)小明求得AB用到的幾何知識是．(3)請你同時利用皮尺和測角儀，通過在棧道上行走并測量長度、角度等幾何量的方式，結(jié)合解直角三角形的知識，求玻璃棧道的高AB．寫出你的測量及求解過程．（注：無法確定點B的具體位置，點B不能直接使用）要求：請在圖5中畫出相應(yīng)圖形，測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．11．無人機在實際生活中已被廣泛應(yīng)用．如圖所示，某人利用無人機測大樓BC的高度，無人機在空中點A處，測得樓底B點的俯角為53°，測得樓頂C點的俯角為14°，控制無人機水平移動35米至點D處，測得樓頂C點的俯角為31°，（點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，且A，D在BC的同側(cè)），求大樓BC的高度．(tan14°≈1412．某?！熬C合與實踐”小組的同學(xué)把“民心河護坡的調(diào)研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調(diào)查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2課題民心河護坡的調(diào)研與計算調(diào)查方式資料查閱、實地查看了解調(diào)查內(nèi)容功能護坡是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物材料所需材料為石料、混凝土等護坡時剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AB和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，計算結(jié)果………13．某學(xué)校無人機社團為了提升該小組成員使用無人機的能力，特意組織成員到戶外進行實地測量小山的高度．測量時，先將無人機上升到距地面800m高度的B處，此時測得山頂A點的俯角是14°；再控制無人機水平移動至點C，測得BC=462m，此時測得山頂A點的俯角為31°，求山頂A點距地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan14°≈0.25，14．暴雨過后，校園的兩棵風(fēng)景柏樹同時側(cè)傾在一起，如圖，較低的樹CD正好抵著高樹AB的中點D．救援的小明通過測量得到了以下數(shù)據(jù)：BC=9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°，（取(1)求兩樹的支撐點D離地面高多少米？(2)求高樹比低樹高多少米（結(jié)果保留一位小數(shù)）．15．雙流區(qū)某學(xué)校無人機興趣小組在飛行物限高50米的某區(qū)域內(nèi)舉行無人機試飛比賽，該興趣小組利用所學(xué)知識對某同學(xué)的無人機高度進行了測量．如圖，他們先在點E處用高1.5m的測角儀EF測得無人機A的仰角為45°，然后沿水平方向EB前行20m到點C處，在點C處測得無人機A的仰角為65°．請你根據(jù)該小組的測量方法和數(shù)據(jù)，通過計算判斷此同學(xué)的無人機是否超過限高要求？（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.9，16．北斗衛(wèi)星是我國自主研發(fā)的地球同步軌道衛(wèi)星，位于赤道正上方，為全球用戶提供全天候、全天時、高精度的定位導(dǎo)航等服務(wù)．如圖，⊙O是地球的平面示意圖，點P是一顆北斗衛(wèi)星，在北緯60°的點A（即∠POA=60°）觀測，BC是點A處的地平線（即BC與⊙O相切于點A），測得∠PAC=16°，已知地球半徑約為6400km，圖中各點均在同一平面內(nèi)，請計算PO的長．（結(jié)果精確到1km，參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，17．項目化學(xué)習(xí)項目主題：為學(xué)校圖書館設(shè)計無障礙通道．項目背景：2023年6月28日，我國頒布《中華人民共和國無障礙環(huán)境建設(shè)法》．某?！熬C合與實踐”小組以“為學(xué)校圖書館設(shè)計無障礙通道”為主題展開項目學(xué)習(xí)．研究步驟：（1）查閱資料得知，無障礙通道有三種類型：直線形、直角形、折返形；（2）實地測量圖書館門口場地的大小；（3）為了方便師生出入圖書館，并盡量減少通道對師生其它通行的影響，研討認為設(shè)計折返形無障礙通道比較合適．設(shè)計方案：“綜合與實踐”小組為該校圖書館設(shè)計的無障礙通道如圖2所示，其中MN為地面所在水平線，CD和DF是無障礙通道，并且∠CDF=2∠DFE，立柱CG，DE均垂直于地面，GE=6米，F(xiàn)E=4米．解決問題：若原臺階坡道的長度（線段AB的長度）為5米，坡角α的度數(shù)為23°，BC∥MN，求出無障礙通道的總長（線段CD和DF的和）為多少米？（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.40，cos18．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹DE的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端D在同一水平線上的點A出發(fā)，沿斜面坡度為i=2:3的斜坡AB前進107米到達點B，再沿水平方向繼續(xù)前進一段距離后到達點C．在點C處測得古樹DE的頂端E的俯角為37°，底部D的俯角為60°，求古樹DE的高度（計算結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：19．如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂ABCD的長AB=4m，卸貨時，貨廂繞A點處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．A點處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點M處）的水平距離叫做安全軸距，測得該車的安全軸距為0.7m，貨廂對角線AC，BD的交點G可視為貨廂的重心，測得(1)若tan∠BAN=33，求點B(2)卸貨時發(fā)現(xiàn)，當A，G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆事故，若tan∠BAN=1，該貨車會發(fā)生上述事故嗎？試說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92，cos20．達坂城風(fēng)力發(fā)電站位于烏魯木齊市區(qū)與達坂城區(qū)之間的公路旁，風(fēng)區(qū)風(fēng)能資源十分豐富，光熱條件優(yōu)異，由上百座巨大的發(fā)電風(fēng)車組成，是中國最大的風(fēng)能基地，有中國“風(fēng)谷”之稱．如圖，某校學(xué)生測量其中一座風(fēng)車的輪載高度（風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)中心到基地平面的垂直距離）AB，先在點C處用測角儀測得其風(fēng)車頂端A的仰角為32°，再由點C走50米到點E處，測得風(fēng)車頂端A的仰角為45°．已知B、E、C三點在一條直線上，測角儀的高度CD=EF=1.5米，求該座風(fēng)車的輪載高度AB．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85．押題方向二：圓的綜合應(yīng)用3年遼寧真題考點命題趨勢2023年丹東卷第22題切線的證明從近年遼寧中考來看，圓的解答題考查的綜合性較強，一般會和三角形、四邊形綜合，解題時除了會用到圓本身的公式外，還經(jīng)常綜合三角形的全等和相似，勾股定理等知識點；預(yù)計2024年遼寧卷還將繼續(xù)重視對圓的考查。2023年阜新卷第19題陰影面積的計算2023年錦州卷第22題圓與三角形綜合1．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，點P是⊙O外的一點，PC⊥AB，垂足為點C，PC與BD相交于點E，連接PD，且PD=PE，延長PD交BA的延長線于點F．(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)若DF=4，PE=72，cos∠PFC=2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是⊙O上AB異側(cè)的兩點，DE⊥CB，交CB的延長線于點E，且BD平分∠ABE．

(1)求證：DE是⊙O的切線．(2)若∠ABC=60°，AB=4，求圖中陰影部分的面積．3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，AE為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AB與⊙O相切于點A，與OC延長線交于點B，過點B作BD⊥OB，交AC的延長線于點D．

(1)求證：AB=BD；(2)點F為⊙O上一點，連接EF，BF，BF與AE交于點G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O掌握圓的基本性質(zhì)和定理：圓的定義：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。切線定理：過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。圓的面積和周長公式：S=πr2和C=2πr。利用直徑和半徑：當題目中涉及直徑時，注意直徑上有個隱藏的中點（圓心），并利用直徑所對圓周角為直角來構(gòu)造直角三角形。當需要添加輔助線時，考慮連接圓心和切點，或者連接圓心和圓外的一點，或者連接兩切點。理解三角形與圓的關(guān)系：三角形內(nèi)切圓：過圓心作三角形各邊的垂線段，構(gòu)造特殊的邊角關(guān)系和三角形。三角形外接圓：利用三角形外接圓的性質(zhì)，如三角形的外心是外接圓的圓心，外心到三角形三個頂點的距離相等。利用角度和弧度的關(guān)系：圓的與角度密不可分，掌握圓心角、圓周角、同弦角和相交弦角等概念和公式。對于已知的角度信息，需要將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中的弧度制，弧度值=度數(shù)×π/180。畫圖輔助：根據(jù)題目所給信息，畫出相應(yīng)的圓、直線和角度圖形，以便更好地理解和解題。注意圖形的準確性和完整性，避免因為圖形不準確而導(dǎo)致理解偏差。1．已知，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點D，過點C作射線CP交AB的延長線于點P，且∠BCP=1(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若AC=25，tan∠BCP=12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點O在△ABC的內(nèi)部，直徑AE交線段BC于點D，點P是BC延長線上一點，連接PA，滿足∠PAC=∠ABC．(1)求證：直線PA是⊙O的切線；(2)若AB=1，AC=5?12，點C為PD3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接DB，AC，過點C作DB的垂線，交DB的延長線于點F，且∠ABD=2∠BDC．(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，tan∠BDC=124．如圖，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點，E為BD的中點，點C在BA的延長線上，且∠CDA=∠B．(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)若DE=2，5．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點D，作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點F．(1)求證：直線FE是⊙O的切線：(2)若AC=13，BC=10，求DE長．6．如圖AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧BC的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E，(1)①求證：∠DCB=∠CAD；②求證：CD(2)若DE=2，AE=4，求7．如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長AO交BC于點D，過點C作AB的垂線，交AD于點E，交AB于點F，交⊙O于點G，交過點A且與BC平行的直線于點H，連結(jié)AG．

(1)判斷AH與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠BAC=56°，求∠H和∠BAG的大小；(3)若GF=1，tan∠ABC=2，求OD8．如圖，PB是⊙O的切線，切點為B，點A在⊙O上，且PA=PB．連接AO并延長交⊙O于點C，交直線PB于點D，連接OP．(1)證明：PA是⊙O的切線；(2)證明：DB(3)若BD=4，sin∠ADP=359．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線交CB于點D，過點D作OD⊥CB交AB于點O．(1)求證：直線CD是以點O為圓心，OA為半徑的⊙O的切線；(2)如果：sin∠CAB=35，BC=310．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，BD是直徑，EF切⊙O于點A，交CB的延長線于點E，過點D作DF⊥CD，垂足為D；

(1)求證：四邊形EBDF是平行四邊形；(2)若FD=52，CD=4，求11．已知，AB是⊙O的直徑，點C是半圓AB的中點，點D在⊙O上，且點D與點C在AB的兩側(cè)，直線DE是⊙O的切線，點D是切點．

(1)如圖1，若DE∥AC，求(2)如圖2，若∠BDE=23∠ABC，BD=512．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．(1)求證：∠BAD=∠CAD；(2)連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．