2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠港中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列角中終邊與相同的角是（）A． B． C． D．2．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形4．如圖，是圓的直徑，，假設(shè)你往圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．5．已知，且，那么a，b，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．6．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含7．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，按學(xué)段用分層抽樣的方法抽取該地區(qū)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，8．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．89．在中，a、b分別為內(nèi)角A、B的對(duì)邊，如果，，，則（）A． B． C． D．10．在中，角、、所對(duì)的邊長分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________.12．有6根細(xì)木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.13．已知，則的值為______14．設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=．15．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是__________（精確到）．16．若、是方程的兩根，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，是正三角形，線段和都垂直于平面，設(shè)，，且為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的較小二面角的大小18．已知.（1）求的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，其中為常數(shù)，，求的值.19．在中，已知，，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

直線MN的方程．20．已知向量，（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求的值.21．已知直線l經(jīng)過點(diǎn).（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】與30°的角終邊相同的角α的集合為{α|α=330°+k?360°，k∈Z}當(dāng)k=-1時(shí)，α=-30°，故選B2、C【解析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.3、D【解析】

由，利用正弦定理化簡可得sin2A＝sin2B，由此可得結(jié)論．【詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先根據(jù)條件計(jì)算出陰影部分的面積，然后計(jì)算出整個(gè)圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以落到陰影部分的概率?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應(yīng)用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.5、D【解析】

直接用作差法比較它們的大小得解.【詳解】；；.故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了作差法比較實(shí)數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

計(jì)算圓心距，判斷與半徑和差的關(guān)系得到位置關(guān)系.【詳解】圓心距相交故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，判斷圓心距與半徑和差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論。【詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數(shù)為人，則初中生近視人數(shù)為人，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用。8、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定（方差較小），所以甲成績的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．9、A【解析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題注意考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.10、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1．98.【解析】

本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．12、【解析】

分較長的兩條棱所在直線相交，和較長的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時(shí)，如圖所示：不妨設(shè)，，，所以較長的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時(shí)較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時(shí)，不妨設(shè)，，則，取CD的中點(diǎn)為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以O(shè)A+OB<AB，不能構(gòu)成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于常考題型.13、【解析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡，解出的值，再平方，即可求解.【詳解】由題意，可知，，平方可得則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)常用公式關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.14、2n+1【解析】由條件得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則．15、6【解析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時(shí)間.【詳解】因?yàn)樾谐套疃?，所以船?yīng)該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時(shí)間是.故答案為6【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，先證即說明，再由線面平行的判定定理說明平面．（2）延長交的延長線于，連.說明為所求二面角的平面角．再計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接.∵，∴.又，∴.∴四邊形為平行四邊形．故.∵平面，平面，∴平面.（2）延長交的延長線于，連.由，知，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴.又平面，，∴平面.∴為所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、二面角的平面角，屬于中檔題．18、（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【解析】

（1）利用題中定義結(jié)合平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列的求和公式和平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先計(jì)算出的表達(dá)式，然后分、、三種情況計(jì)算出的值.【詳解】（1）由題意得；（2）；（3）.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，同時(shí)也考查等差數(shù)列求和以及數(shù)列極限的運(yùn)算，計(jì)算時(shí)要充分利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，屬于中等題.19、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）邊AC的中點(diǎn)M在y軸上，由中點(diǎn)公式得，A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的平均數(shù)為1，同理，B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和的平均數(shù)為1．構(gòu)造方程易得C點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)公式，我們可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)式即可求出直線MN的方程．解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），∵邊AC的中點(diǎn)M在y軸上得=1，∵邊BC的中點(diǎn)N在x軸上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣5，﹣2）．（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，1），直線MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．點(diǎn)評(píng)：在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．20、（1）；（2）【解析】

（1）直接由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求解；（2）由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【詳解】（1）.（2）與垂直，，即，∴.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（2）或（2）或【解析】

（2）討論直線是否過原點(diǎn)，利用截距相等進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等，分直線平行和直線過A，B的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（2）若直線過原點(diǎn)，則設(shè)為y＝kx，則k＝2，此時(shí)直線方程為y