《8.3簡單幾何體的表面積與體積》復習教案8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積學習目標核心素養(yǎng)1.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的求法．(重點)2．會求棱柱、棱錐、棱臺有關的組合體的表面積與體積．(難點、易錯點)1.借助棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過對棱柱、棱錐、棱臺的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).【自主預習】1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)；棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；棱臺的體積公式V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．其中，臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h.思考：簡單組合體分割成幾個幾何體，其表面積不變嗎？其體積呢？[提示]表面積變大了，而體積不變．1．棱長為3的正方體的表面積為()A．27B．64C．54D．36C[根據(jù)表面積的定義，組成正方體的面共6個，且每個都是邊長為3的正方形．從而，其表面積為6×32＝54.]2．長方體同一頂點上的三條棱長分別為1,2,3，則長方體的體積與表面積分別為()A．6,22B．3,22C．6,11D．3,11A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]3．棱長都是3的三棱錐的表面積S為．9eq\r(3)[因為三棱錐的四個面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).]【合作探究】簡單幾何體的表面積【例1】現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側面積．[解]如圖，設底面對角線AC＝a，BD＝b，交點為O，對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up20(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up20(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側面積S＝4×8×5＝160.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本幾何體，再通過這些基本幾何體的表面積進行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時也會用到將幾何體展開求其展開圖的面積進而得表面積．1．側面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵側面都是等腰直角三角形，故側棱長等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up20(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]簡單幾何體的體積【例2】三棱臺ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．[解]設三棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V臺－VA1-ABC－VC-A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.求幾何體體積的常用方法2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為．eq\f(1,6)[利用三棱錐的體積公式直接求解．VD1-EDF＝VF-DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]棱臺與棱錐之間關系的綜合問題【例3】已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側面積．[解]如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12.連接OE，O1E1，則OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).在本例中，把棱臺還原成棱錐，你能利用棱錐的有關知識求解嗎？[解]如圖，正四棱臺的側棱延長交于一點P.取B1C1，BC的中點E1，E，則EE1的延長線必過P點(以后可以證明)．O1，O分別是正方形A1B1C1D1與正方形ABCD的中心．由正棱錐的定義，CC1的延長線過P點，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，則有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2).所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝32×17，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S側＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).解決有關正棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到直角梯形中去解決；二是把正棱臺還原成正棱錐，利用正棱錐的有關知識來解決．1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積分別是它們側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段的長，是掌握它們的表面積有關問題的關鍵．2．計算棱柱、棱錐、棱臺的體積，關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面，將空間問題轉化為平面問題．3．在幾何體的體積計算中，注意體會“分割思想”、“補體思想”及“等價轉化思想”．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)錐體的體積等于底面積與高之積．()(2)臺體的體積，可轉化為兩個錐體體積之差．()(3)正方體的表面積為96，則正方體的體積為64.()[答案](1)×(2)√(3)√2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]3．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D4．把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為．18a2[原正方體的棱長為a，切成的27個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.]5．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.[解]三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點，△PAC作為底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》課后作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)C[∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6)B．64C．16 D．96[答案]B3．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3B[兩個錐體的側面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側面積之比為1∶8，故選B.]4．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(2,\r(3))D.eq\f(\r(3),2)A[如圖所示，正方體的A′、C′、D、B的四個頂點可構成一個正四面體，設正方體邊長為a，則正四面體邊長為eq\r(2)a.∴正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱臺的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側棱長都相等，高為z，且側面積等于兩底面積之和，則下列關系式中正確的是()A.eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D.eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)C[由條件知，各側面是全等的等腰梯形，設其高為h′，則根據(jù)條件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))2＝h′2))，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空題6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為．eq\r(6)[設長方體從一點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱長為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是，體積是．eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V體＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(2),12).]8．長方體ABCD-A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為．eq\r(74)[把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得AC1的長分別為eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).①②③由此可見圖②是最短路線，其路程的最小值為eq\r(74).]三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖．設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD-ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長方體，同理，VC-ABF＝VD-ACG＝VD-BCH＝eq\f(1,6)V長方體，∴V四面體ABCD＝V長方體－4×eq\f(1,6)V長方體＝eq\f(1,3)V長方體．而V長方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8.10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[等級過關練]1．用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是．8[如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為2eq\r(2)，其面積為8.圖①圖②]2．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[解]如圖，連接EB，EC.四棱錐E-ABCD的體積V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第1課時圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積學習目標核心素養(yǎng)1.通過對圓柱、圓錐、圓臺的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．(重點)2．會求與圓柱、圓錐、圓臺有關的組合體的表面積與體積．(難點、易錯點)1.借助圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．2．通過對圓柱、圓錐、圓臺的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).【自主預習】1．圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱底面積：S底＝πr2側面積：S側＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側面積：S側＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側面積：S側＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分別是上、下底面半徑，h是高)．1．判斷正誤(1)圓柱的表面積就是側面積．()(2)在一個圓錐中，母線長度不一定相同．()(3)圓臺是用平行于底面的平面截圓錐得到的．()[答案](1)×(2)×(3)√2．圓柱的側面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為()A.eq\f(288,π)cm3 B.eq\f(192,π)cm3C.eq\f(288,π)cm3或eq\f(192,π)cm3 D．192πcm3C[圓柱的高為8cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq\s\up20(2)×8＝eq\f(288,π)cm3，當圓柱的高為12cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq\s\up20(2)×12＝eq\f(192,π)cm3.]3．圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等于()A．72 B．42πC．67π D．72πC[表面積S＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]【合作探究】圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】(1)一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)(2)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,6，且側面面積等于兩底面面積之和．①求圓臺的母線長．②求圓臺的表面積．(1)A[設圓柱底面半徑為r，則高為2πr，表面積∶側面積＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).](2)[解]①設圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl(wèi)＝40π，∴l(xiāng)＝5，∴該圓臺的母線長為5.②由①可得圓臺的表面積為S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：(1)得到空間幾何體的平面展開圖．(2)依次求出各個平面圖形的面積．(3)將各平面圖形的面積相加．1．軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側面積是底面積的()A．4倍B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍D[由已知得l＝2r，eq\f(S側,S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2，故選D.]圓柱、圓錐、圓臺的體積【例2】圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8C[如圖，設圓錐底半徑OB＝R，高PO＝h，∵O′為PO中點，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圓錐PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圓臺O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圓錐PO′,V圓臺O′O)＝eq\f(1,7)，故選C.]求幾何體體積的常用方法2．圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故選D.]組合體的表面積與體積【例3】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周．求旋轉體的表面積和體積．[解]如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計算知，圓柱母線長eq\r(3)a，底面半徑2a，圓錐的母線長2a，底面半徑a.∴圓柱的側面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.如果將例題的梯形繞著BC邊所在直線旋轉一周，如何求旋轉體的表面積和體積？表面積和體積又分別為多少？[解]如圖所示旋轉體為一個圓錐和與它同底的一個圓柱組成，由條件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝eq\r(3)a，DC＝2a，所以該旋轉體的表面積為：S＝S圓柱底＋S圓柱側＋S圓錐側＝π·(eq\r(3)a)2＋2πeq\r(3)a·a＋π·eq\r(3)a·2a＝3πa2＋2eq\r(3)πa2＋2eq\r(3)πa2＝(3＋4eq\r(3))πa2，該旋轉體的體積為V＝V圓錐＋V圓柱＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)a)2·a＋π(eq\r(3)a)2a＝4πa3.求組合體的表面積和體積，首先要認清組合體是由哪些簡單幾何體構成的．組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和，但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和；組合體的體積是構成組合體的幾個簡單組合體的體積之和(差)．1．圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解有關問題的關鍵．2．計算柱體、錐體和臺體的體積，關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題．【課堂達標練習】1．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比為()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2C[設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，∴其母線長l＝eq\r(5)r.∴S側＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.則S底∶S側＝1∶eq\r(5).]2．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7B．6C．5D．3A[設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]3．已知圓臺上、下底面半徑分別為1,2，高為3，則圓臺體積為．7π[由已知圓臺上、下底面積分別為S上＝π，S下＝4π.則V圓臺＝eq\f(1,3)·(π＋eq\r(π·4π)＋4π)·3＝7π.]4．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為．6π[由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝2πr2＝2π，S側＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S側＝6π.]5．已知圓錐的底面半徑為2，高為5，求這個圓錐的體積．[解]由題意V錐體＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(20π,3).《8.3.2第1課時圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積》課后作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉一周，則所得幾何體的側面積為()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB[正方形繞其一邊旋轉一周，得到的是圓柱，其側面積為S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故選B.]2．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8C[圓臺的軸截面如圖，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺側＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.]3．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是()A．4πB．3πC．2π D．πC[底面圓半徑為1，高為1，側面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.]4．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(10)B．2eq\r(5)C．3 D．2A[圓柱的側面展開圖如圖，圓柱的側面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故選A.]5．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2B[由面積比為1∶3，知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1∶eq\r(3)，故截面把圓錐母線分為1∶(eq\r(3)－1)兩部分，故選B.]二、填空題6．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為．2[設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.]7．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)3[圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]8．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°(如圖)，那么圓臺的體積是．eq\f(7000π,3)eq\r(3)cm3[180°＝eq\f(20－10,l)×360°，∴l(xiāng)＝20，h＝10eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq\f(7000\r(3)π,3)(cm3)．]三、解答題9．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．[解]設圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S圓錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(\f(15,7))))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2)＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？[解]因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，設水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.故杯里的水將下降0.6cm.[等級過關練]1．已知圓柱的側面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()A.eq\f(C3,4πS) B.eq\f(4πS,C3)C.eq\f(CS,2π) D.eq\f(SC,4π)D[設圓柱底面半徑為r，高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]2．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是．eq\f(πr2a＋b,2)[采取補體方法，相當于一個母線長為a＋b的圓柱截成了兩個體積相等的部分，所以剩下部分的體積V＝eq\f(πr2a＋b,2).]第2課時球的表面積和體積學習目標核心素養(yǎng)1.了解并掌握球的體積和表面積公式．2．會用球的體積與表面積公式解決實際問題．(重點)3．會解決球的切、接問題．(難點、易混點)1.通過對球的概念的學習，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)；2．通過學習球的表面積、體積公式，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng).【自主預習】1．球的表面積設球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．思考：球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？[提示]球沒有底面，球的表面不能展開成平面圖形．2．球的體積設球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.1．若球的過球心的圓面的周長是C，則這個球的表面積是()A.eq\f(C2,4π)B.eq\f(C2,2π)C.eq\f(C2,π)D．2πC2C[由2πR＝C，得R＝eq\f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq\f(C2,π).]2．表面積為4π的球的半徑是．1[設球的半徑為R，則S＝4πR2＝4π，得R＝1.]3.若一個球的體積為36π，則它的表面積為．36π[由eq\f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面積S＝36π.]4．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是．eq\r(3,2)[設大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).]【合作探究】球的表面積與體積【例1】(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為eq\f(500,3)π，求它的表面積．[解](1)設球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的體積：V＝eq\f(4,3)×π×r3＝eq\f(256,3)π.(2)設球的半徑為R，由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，所以R＝5，所以球的表面積為：S＝4πR2＝4π×52＝100π.求球的表面積與體積的一個關鍵和兩個結論(1)關鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式V球＝eq\f(4,3)πR3是計算球的表面積和體積的關鍵，半徑與球心是確定球的條件．把握住公式，球的體積與表面積計算的相關題目也就迎刃而解了．(2)兩個結論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方．1．如果兩個球的體積之比為8∶27，那么兩個球的表面積之比為．4∶9[根據(jù)球的體積及表面積公式可知，兩個球的體積之比等于半徑之比的立方，表面積的比等于半徑之比的平方，因為兩個球的體積之比為8∶27，所以兩個球的半徑之比為2∶3，所以兩個球的表面積的比為4∶9.]球的截面問題【例2】(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π(2)已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為．(1)B(2)1或7[(1)如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.(2)若兩個平行截面在球心同側，如圖①，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個平行截面在球心異側，如圖②，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.]①②1．有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決．2．注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理．2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于．16π[如圖，圓M面積為3π，則圓M半徑MB為eq\r(3)，OA＝2，則球O的表面積等于4π×22＝16π.]與球有關的切、接問題[探究問題]1．若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則其外接球半徑R與三條棱長有何關系？[提示]2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).2．棱長為a的正方體的外接球，其半徑R與棱長a有何數(shù)量關系？其內(nèi)切球呢？[提示]外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a；內(nèi)切球半徑R＝eq\f(1,2)a.3．若一球與正方體的12條棱相切，則球半徑R與棱長a有何數(shù)量關系？[提示]R＝eq\f(\r(2),2)a.【例3】(1)一球與棱長為2的正方體的各個面相切，則該球的體積為.(2)正方體的全面積是a2，它的頂點都在一個球面上，則這個球的表面積是．(1)eq\f(4,3)π(2)eq\f(πa2,2)[(1)由題意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1，其體積為eq\f(4,3)π.(2)正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合．可見，正方體的對角線是球的直徑．設球的半徑是r，則正方體的對角線長是2r.依題意，2r＝eq\r(3)·eq\r(\f(a2,6))，即r2＝eq\f(1,8)a2，所以S球＝4πr2＝4π·eq\f(1,8)a2＝eq\f(πa2,2).]1．將本例(1)變?yōu)椋洪L方體的一個頂點處的三條棱長分別是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12πB.18πC．36πD.6πA[由題意可知，該長方體的體對角線即為球的直徑，其長度為2eq\r(3)，從而球的半徑為eq\r(3)，球表面積為12π.]2．將本例(1)變?yōu)椋簣A柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為．100π[如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面積為100π.]常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略：(1)處理有關幾何體外接球或內(nèi)切球的相關問題時，要注意球心的位置與幾何體的關系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等．(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉化為平面問題來計算．1．球的表面積、體積基本性質(zhì)是解決有關問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要方法．2．與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)球的體積之比等于半徑比的平方．()(2)球面展開一定是圓形的平面．()(3)長方體既有外接球又有內(nèi)切球．()[答案](1)×(2)×(3)×2．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為．3π[由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.]3．一個正方體的八個頂點都在體積為eq\f(4,3)π的球面上，則正方體的表面積為．8[設球的半徑為R，正方體的棱長為a，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故R＝1，由eq\r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq\f(2,\r(3))，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq\s\up20(2)＝8.]4．(1)已知球的直徑為2，求它的表面積和體積；(2)已知球的體積為eq\f(108π,3)，求它的表面積．[解](1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.(2)由V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(108,3)π，所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.《8.3.2第2課時球的表面積和體積》課后作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()A.eq\f(5,9)倍B.eq\f(9,5)倍C．2倍D．3倍B[設小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S?。玈中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).]2．把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cmD[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，檢驗知R＝12.]3．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．6πB[由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面積，S＝π